計(jì)算方法-數(shù)值積分b

5.3復(fù)合求積

/*CompositeQuadrature*/高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。復(fù)合梯形公式在每個(gè)上用梯形公式：=

Tm將[a,b]區(qū)間m等分，步長h=(b-a)/m，分點(diǎn)xk=a+kh,k=0,1,…,m。用低階牛頓—柯特斯公式求子區(qū)間[xk,xk+1]上的積分值，再累加得到積分的近似值。思路復(fù)合公式的余項(xiàng)？5.3CompositeQuadrature復(fù)化Simpson公式44444=

Sm復(fù)化Cotes公式Cm

若f(x)在積分區(qū)間[a,b]上分別具有二階、四階和六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化積分公式的余項(xiàng)分別是

定理其中，ξ∈[a,b]，且當(dāng)h充分小時(shí)，又有5.3CompositeQuadrature證這里考察復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)公式，其余由同學(xué)們自己完成。因此中值定理

由余項(xiàng)公式可以看出，只要相關(guān)的各階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則當(dāng)m→∞(即h→0)時(shí)，Tm，Sm，Cm都收斂于積分真值，而且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。另有由于在[a,b]上連續(xù)，故每個(gè)小區(qū)間上的積分使用梯形公式時(shí)，有誤差為5.3CompositeQuadrature收斂速度與誤差估計(jì)：若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同定義5.3CompositeQuadratureQ:給定精度，如何取m?例如：要求，如何判斷m=？上例中若要求，則即：取m=409通常采取將區(qū)間不斷二分的方法，即取m=2k需計(jì)算導(dǎo)數(shù)不實(shí)用重復(fù)計(jì)算函數(shù)值不經(jīng)濟(jì)5.3CompositeQuadrature5.4龍貝格積分

/*RombergIntegration*/梯形法的遞推化積分區(qū)間[a,b]m等分的復(fù)化梯形公式是

如果把區(qū)間2m等分，即在原來的小區(qū)間[xk,xk+1]上增加分點(diǎn)xk+1/2=(xk

+xk+1)/2，變?yōu)閮蓚€(gè)小區(qū)間。于是有

把(T2m-Tm)/3作為誤差的修正值加到T2m上去，得到龍貝格算法5.4RombergIntegration

上式的精度完全有可能比T2m好。考察例：計(jì)算，檢驗(yàn)上述論斷。

mhTmTmSm113.1—3.133333320.53.13117653.13333333.141568640.253.13898853.14156863.141592580.1253.14094163.1415925306253.14142993.14159265—Sm

T2m=?T2m證明Tm=Sm同理，考察=Cm因此還有Romberg公式5.4RombergIntegration

Romberg

算法：………………

R4

T1

T8

T4

T2

S1

S2

C1

R1

C2

S411

T1614

R213

C412

S8梯形遞推化公式Romberg公式5.4RombergIntegration

5.5高斯型積分

/*GaussianQuadrature*/用n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)，公式稱為Gauss型求積公式。例：求的2點(diǎn)求積公式有

次代數(shù)精度。解：限定求積節(jié)點(diǎn)x0=-1,x1=1，得到插值型求積公式

1用解非線性方程組求高斯點(diǎn)的方法很困難！如果設(shè)，我們對式中的系數(shù)A0,A1和節(jié)點(diǎn)x0,x1不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所得的公式有3

次代數(shù)精度。+1-11100)()()(xfAxfAdxxf代入f(x)=1,x,x2,x3,要求準(zhǔn)確成立，得到5.5GaussianQuadrature從而有稱之為2點(diǎn)Gauss公式，具有3次代數(shù)精度。

構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的n+1點(diǎn)Gauss公式?如果式中x0…xn

為Gauss點(diǎn),則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。對任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)，P(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：0=0

x0…xn

為Gauss點(diǎn)的充要條件是

與任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)正交，即成立定理利用區(qū)間[a,b]上的n+1次正交多項(xiàng)式確定Gauss點(diǎn)；然后利用代數(shù)精度確定求積系數(shù)。作一個(gè)n+1次的多項(xiàng)式

求Gauss點(diǎn)

求w(x)5.5GaussianQuadrature高斯—勒讓德求積公式/*Gauss-Legendre

公式Legendre多項(xiàng)式族：定義在[1,1]上遞推公式

Legendre多項(xiàng)式Pn(x)對于任意n-1次的多項(xiàng)式在[-1,1]上正交。

定理5.5GaussianQuadrature

Legendre多項(xiàng)式Pn(x)對于任意n-1次的多項(xiàng)式在[-1,1]上正交。

定理證明：令有00=0k次勒讓德多項(xiàng)式的k個(gè)零點(diǎn)就是k個(gè)高斯點(diǎn)，用來構(gòu)造k點(diǎn)高斯—勒讓德求積公式。詳見教材P.140表5.1若Q(x)是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，則恒有Q(n)(x)=05.5GaussianQuadrature高斯—勒讓德求積公式n=0:一點(diǎn)公式中矩形公式?解：作變量替換x=1/2+t/2本題可以不作變量替換:例用四點(diǎn)高斯—