雙曲線及其標準方程

第二章圓錐曲線與方程2.3.1.2

雙曲線及其標準方程悲傷的雙曲線平面內(nèi)與兩個定點

F1，F(xiàn)2

的距離的差等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．1.雙曲線的定義是什么？F1MF2【問題提出】2.雙曲線的標準方程是什么？3.雙曲線的定義和標準方程是雙曲線的基本知識點，在此基礎(chǔ)上再作適當拓展，我們會對雙曲線有更深層次的認識.思考1：雙曲線的定義特征是||MF1|－|MF2||＝2a（2a＜|F1F2|），若去掉絕對值符號，則滿足|MF1|－|MF2|＝2a（2a＜|F1F2|）的點M的軌跡是什么？靠近點F2的一支單曲線.【知識探究】『知識探究（一）——雙曲線概念的拓展』F1MF2思考2：若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，則點M的軌跡是什么？線段F1F2的垂直平分線F1F2M思考3：若2a＝|F1F2|，即||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，則點M的軌跡是什么？以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線F2F1思考4：若||MF1|－|MF2||＞|F1F2|，則點M軌跡是什么？不存在

思考1：在雙曲線中，參數(shù)a，b，c的幾何意義如何？F1oF2xycab『知識探究（二）——雙曲線方程的拓展』思考2：雙曲線的焦點坐標是什么？思考3：雙曲線的焦點坐標是什么？思考4：在什么條件下，方程Ax2－By2＝1表示雙曲線？AB＞0思考5：在什么條件下，方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線？AB＜0思考6：當A、B變化時，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些類型的曲線？（1）當A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0時，方程表示兩條平行直線；（2）當A＞0，B＞0，A＝B時，方程表示圓；（3）當A＞0，B＞0，A≠B時，方程表示橢圓；（4）當AB＜0時，方程表示雙曲線.思考7：點M(x0，y0)和雙曲線什么條件下點M在雙曲線內(nèi)部？雙曲線外部？1.點P在雙曲線內(nèi)?2.點P在雙曲線上?3.點P在雙曲線外?內(nèi)外外F1oF2xy『知識探究（三）——雙曲線的漸近線』思考1：雙曲線與x軸的交點是A1(－a，0)，A2(a，0)，我們把A1，A2叫做雙曲線的頂點，線段A1

A2叫做雙曲線的實軸，那么雙曲線的實軸長是多少？雙曲還有其它頂點嗎？oxyA2A1思考2：雙曲線的實軸對應(yīng)于橢圓的長軸，類似于橢圓的短軸，我們把B1(0，－b)

，B2(0，b)對應(yīng)的線段B1

B2叫做雙曲線的虛軸，那么虛軸的端點B1，B2能叫做雙曲線的頂點嗎？oxyA2A1B2B1思考3：過雙曲線的實軸、虛軸的端點，分別作垂直于實軸與虛軸的直線，這些直線圍成一個矩形，如圖，連接這個矩形的對角線，那么對角線的方程是什么？B1oxyA2A1B2思考4：觀察直線與雙曲線的位置關(guān)系，你以猜想出什么規(guī)律？你能利用函數(shù)的知識來說明你的猜想嗎？B1oxyA2A1B2雙曲線向左右延伸時，會無限的與直線接近，但永遠不相交。思考5：我們把直線叫做雙曲線(a＞0，b＞0)的漸近線，反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，那么它的漸近線是什么？oxy思考6：漸近線方程可作哪些變形？如何與雙曲線方程聯(lián)系起來記憶？焦點在x軸的雙曲線的漸近線方程是，即思考7：焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程是什么？焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程是，即思考8：漸近線相同的雙曲線有多少條？漸近線為的雙曲線方程有何特點？（1）漸近線方程為的雙曲線方程為（2）與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（3）如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程為A2x2－B2y2＝m(m≠0)．思考9：實軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的一般式方程是什么？其漸近線方程是什么？一般式：x2－y2＝λ（λ≠0）漸近線：y＝±x

悲傷的雙曲線

如果我是雙曲線，你就是那漸近線

如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標軸

雖然我們有緣，能夠生在同一個平面

然而我們又無緣，漫漫長路無交點

為何看不見，等式成立要條件

難道正如書上說的，無限接近不能達到

為何看不見，明月也有陰晴圓缺，

此事古難全，但愿千里共嬋娟『知識探究（四）——雙曲線的離心率』思考1：與橢圓類似，把雙曲線的焦距與實軸長的比稱為雙曲線的離心率，用e表示，即，那么雙曲線的離心率e的取值范圍是什么？e∈(1,＋∞)思考2：雙曲線的離心率與其漸近線的斜率有什么關(guān)系？思考3：當離心率e在（1，+∞）內(nèi)變化時，它對雙曲線的形狀產(chǎn)生什么影響？如何用三角函數(shù)知識解釋上述現(xiàn)象？思考4：等軸雙曲線的離心率為多少？反之成立嗎？yA1A2xOF1F2B2B1離心率越大，雙曲線的開口越大『知識探究（五）——雙曲線的準線與第二定義』思考1：對于雙曲線的原始方程：變形后得到,再變形為這個方程有什么幾何意義？雙曲線上的點M(x，y)到焦點F(c，0)的距離與它到直線的距離之比等于離心率.F1oF2xyM思考2：直線l：

叫做雙曲線相應(yīng)于右焦點F2(c，0)的準線，根據(jù)對稱性，雙曲線相應(yīng)于左焦點F2(－c，0)的準線方程是什么？兩條準線大致在什么位置？F1oF2xy思考3：雙曲線的焦點到它相應(yīng)準線的距離等于多少？思考4：一般地，若點F是直線l外一定點，動點M到點F的距離與它到直線l的距離之比等于常數(shù)e（e>1），則點M的軌跡一定是雙曲線嗎？FMM

一般地，點F是定直線l外一定點，若平面內(nèi)動點M到點F的距離與它到直線l的距離之比等于常數(shù)e（e>1），則點M的軌跡是雙曲線.定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e(e>1)叫做雙曲線的離心率.雙曲線的第二定義：【題型分類深度剖析】題型1：雙曲線的漸近線方程『變式探究』3.求一條漸近線方程是3x＋4y＝0，一個焦點是