第四章4.2異方差

4.2異方差異方差的概念及形式異方差的來源與后果異方差的檢驗異方差的修正方法案例分析消費模型

Ci=1+2Yi+ui同方差假設(shè)：Var（ui）＝σ2i＝1,2,…,n無論家庭處于哪一種可支配收入水平，其消費水平的分散程度或波動程度都是相同的。實際上，與可支配收入低的家庭相比，收入高的家庭消費的波動程度顯然更大一些。因而，在研究消費問題時，需要假定：

Var（ui）＝σi2即對于不同收入水平的家庭，其消費水平的波動程度也不相同，這就是所謂的異方差（heteroscedasticity）。一個例子更為接近真實的結(jié)論是什么？四川省2000年21個地市醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)對應(yīng)的模型估計結(jié)果如下：如果是正確的，上述結(jié)論：每增加1萬人口，平均增加5.373個醫(yī)療機構(gòu)？可靠嗎？同方差假定不滿足時，即存在異方差：

Var(ui)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

異方差的概念對于多元線性回歸模型：同方差的假定：

Var(ui)＝σ2(i＝1,2,…,n)解釋變量Xi是確定的，擾動項的異方差性等同于：

Var(Yi)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

更為具體的形式：

σi2＝σ2f(X1i,X2i,…,Xki)

同方差的假定即：

Var(ui)＝σ2i＝1,2,…,n

方差－協(xié)方差矩陣為：當(dāng)假定不滿足時：

Var(ui)＝σi2i＝1,2,…,n

方差－協(xié)方差矩陣為：

異方差(矩陣形式）

異方差的表現(xiàn)及分類：同方差遞增型異方差遞減型異方差復(fù)雜型異方差放松管制后，紐約股票交易所（NYSE）的經(jīng)紀(jì)人傭金（美分/每股）：

異方差的例子交易量在0~199之間的機構(gòu)投資者平均每股需付46.5美分，方差為32.22；交易量最大（10000以上）的投資者平均每股付10.1美分，方差為3.18銷售量和R&D支出：R&Di=1+2Salesi+ui上證收益率（2004年4月1日——2008年3月31日）：自回歸條件異方差（ARCH）—時間序列的異方差

一、模型中省略了某些重要的解釋變量

假設(shè)正確的計量模型是：但由于總體模型是未知的，建立模型時遺漏了X3i，而采用

此時，ui*=ui+3X3i

當(dāng)被略去的X3i與X2i有呈同方向或反方向變化的趨勢時,X3i隨X2i的有規(guī)律變化會體現(xiàn)在ui*中。異方差的來源與后果

異方差的來源二、模型的設(shè)定誤差三、數(shù)據(jù)的測量誤差四、截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異

異方差的來源1、參數(shù)估計量仍具有線性性和無偏性、一致性

異方差的后果2、參數(shù)估計量不再是有效估計量假定擾動項的方差為：

Var(ui)＝σ2Xi2

(

i＝1,2,…,n)

估計量方差為：同方差假定時的方差：根據(jù)常用的OLS方差估計公式得到的結(jié)果是錯誤的3、變量的顯著性檢驗失去意義4、區(qū)間預(yù)測失效定性分析異方差Goldfeld-Quandt檢驗White檢驗Glejser檢驗異方差的檢驗異方差性檢驗的基本思路：首先利用OLS法估計參數(shù)并計算然后通過研究是否隨著觀測點的變化而變化來推斷是否存在異方差性。

定性分析異方差（1）經(jīng)濟變量規(guī)模差別很大時容易出現(xiàn)異方差。如:個人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。用1998年四川省各地市州農(nóng)村居民家庭消費支出與家庭純收入的數(shù)據(jù)，繪制出消費支出對純收入的散點圖,其中用表示農(nóng)村家庭消費支出，表示家庭純收入。（2）利用散點圖做初步判斷。（3）利用殘差圖做初步判斷。e2Xi0e2Xi0e2Xie2Xie2Xi

戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）檢驗

該檢驗常用于檢驗遞增型的異方差，且在大樣本容量的前提下使用。H0：H1：（1）將觀測值按遞增的方差排列，根據(jù)假設(shè)，對于遞增的異方差，可以從按解釋變量X的值按升序排列。（2）略去中間C個值（約為T/4），余下的T-C個分為兩組并分別擬合出回歸方程

{X1,X2,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn-1,Xn}

(n-c)/2c

=n/4

(n-c)/2

（3）計算兩個回歸方差的殘差平方和RSS1和RSS2。

自由度v1=v2=(n-c)/2-k-1

（4）構(gòu)造統(tǒng)計量:

（5）給定顯著性水平α，查找臨界值Fα.

若：F>Fα

，則拒絕H0，認(rèn)為存在遞增型的異方差。

F<Fα

，不能拒絕H0，認(rèn)為隨機誤差項是同方差分布的。注：⑴該檢驗的功效取決于c值，c值越大，則大小方差的差異越大，檢驗功效越好⑵兩個回歸所用的觀測值的個數(shù)是否相等并不重要，因為可以通過改變自由度和統(tǒng)計量的計算公式來調(diào)整。⑶該檢驗只適用于于遞增型的異方差，且依賴于觀測值是否正確排序。⑷當(dāng)模型中包含多個解釋變量時，應(yīng)對每一個解釋變量都進(jìn)行檢驗。銷售量和R&D支出（研究了18個行業(yè)）：{X1,X2,…,X8,X9,X10,X11,…,X17,X18}

(18-4)/2=7c

=18/44(18-4)/2=7如果中間除去c=3個，如何進(jìn)行檢驗（假定前面有8個，后面有7個）？v1=v2=7-2=5R&Di=1+2Salesi+uiv2=5，v1=63、White檢驗以二元回歸線性回歸模型為例：H0：上式ui不存在異方差檢驗步驟：（1）首先對上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差ei（2）做如下輔助回歸（注意包括常數(shù)項，計算可決系數(shù)R2）：H1：上式ui存在異方差White檢驗由H.White1980年提出。Goldfeld-Quandt檢驗必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。Glejser檢驗通常要試擬合多個回歸式。White檢驗不需要對觀測值排序，也不依賴于隨機誤差項服從正態(tài)分布，它是通過一個輔助回歸式構(gòu)造2統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗。（3）在原假設(shè)下（不存在異方差）計算統(tǒng)計量：（5）根據(jù)臨界值進(jìn)行判斷若，則不能拒絕H0（ui具有同方差）

若，則拒絕H0（ui具有異方差）(其中p為輔助回歸中待估參數(shù)的系數(shù)，上例中p=6)注意，該檢驗可以用于檢驗各種類型的異方差，其檢驗的準(zhǔn)確性依賴于模型是否被正確設(shè)定。由于輔助回歸方程中可能有太多的解釋變量，從而使自由度減少，有時可以去掉交叉項。嬰兒死亡率（Y）、人均GDP（X1）和初等教育占人口比重（X2）的關(guān)系（n=20）：Yi=196.979-0.0033X2i-1.401X3i+eis.e=(16.12)(0.001)(0.2205)

R2=0.8024F=34.52D.W.=2.47與理論預(yù)期一致嗎？這里使用了20個國家的數(shù)據(jù)，其中5個低收入國家，5個中等偏下收入國家，5個中等偏上收入國家，5個高收入國家。由于樣本來自經(jīng)濟條件差異很大的國家，因而先驗的預(yù)期存在異方差。

戈里瑟（Glejser）檢驗

檢驗是否與解釋變量Xt存在函數(shù)關(guān)系。若有，則說明存在異方差；若無，則說明不存在異方差。基本思想：假設(shè)方差與解釋變量直接存在某種冪函數(shù)的關(guān)系。

步驟：（1）首先用OLS估計經(jīng)濟計量模型的回歸系數(shù)，求出隨機誤差項ut的估計值et。（2）用|ei|與解釋變量Xi的不同冪次進(jìn)行回歸。常用形式有：ei=a0+a1

Xiei=a0+a1Xi2ei=a0+a1,….

利用樣本可決系數(shù)R2，t統(tǒng)計量進(jìn)行顯著性檢驗，若有通過檢驗的模型，則說明原計量模型存在該種形式的異方差。特點：（1）既可以檢驗遞增型的異方差，也可以檢驗遞減型的異方差；（2）一旦發(fā)現(xiàn)異方差，同時也發(fā)行了異方差的具體表現(xiàn)形式；（3）該檢驗是探測性的，如果試驗?zāi)Ｐ瓦x擇的不好，則不易檢測出是否存在異方差。

方差2已知時，加權(quán)最小二乘法（WLS）方差2未知時，模型變換。

White異方差一致估計。取對數(shù)消除異方差。異方差的修正方差已知的加權(quán)最小二乘法（WLS）對于多元回歸模型：為修正異方差,可做一下變換:變換后的模型為（注意沒有截距項）：j＝1,2,…,k令：現(xiàn)在我們來看對加權(quán)模型的最小二乘估計（OLS）的殘差平方和

——加權(quán)殘差平方和

從這里可以看出，變化后的殘差平方和給原來的殘差進(jìn)行了加權(quán)，權(quán)數(shù)為隨機誤差項方差的倒數(shù)，來自較大方差的觀測值得到了較小的加權(quán)，而來自較小方差的觀測值得到了較大的加權(quán)。即：

誤差項方差隨一個自變量變化時的加權(quán)最小二乘法

有一種可能性是回歸模型誤差項的方差與一個解釋變量取值直接存在某種關(guān)系，特別地，假設(shè)：其中，X2i是多元線性模型中某個解釋變量：我們將模型兩側(cè)同時除以：

變換后的模型為（注意沒有截距項）：j＝1,2,…,k令：可以看出，變換后的誤差項具有相同的方差，因為：思考：為什么模型兩側(cè)不同時除以i，即，而是除以？

原來的常數(shù)項變成了偏回歸系數(shù)，而變量X2的斜率變成了新的常數(shù)項。變換后的模型具有相同的方差，OLS估計量是一個BLUE。

注意，最終給出估計模型，并對這些參數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟解釋時，要將這些參數(shù)的值代入原始的模型之中。例如，2所反映的依然是，其他條件不變的情況下，變量X2對被解釋變量Y的邊際影響。

考慮兩種特殊情況：即：

變換后的模型增加了一個解釋變量，但沒有常數(shù)項，因而，利用

Eviews進(jìn)行回歸時，注意，不要輸入代表常數(shù)項的c。XeXe銷售量和R&D支出（研究了18個行業(yè)）：R&Di=-235.61+0.036Salesi+eis.e=(383.63)(0.007)

R2=0.3549D.W.=2.89估計結(jié)果為：模型寫作：

White異方差一致估計即便存在異方差，OLS估計量依然是無偏的。但常用的方差估計公式是錯誤的，因為此時OLS估計量的方差協(xié)方差矩陣為：

如果能夠估計出矩陣2，就可以代入上面的公式，從而正確地估計出OLS估計量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，相應(yīng)的t檢驗和F檢驗就可以有效進(jìn)行。

中未知數(shù)有n個，怎么估計？

White發(fā)現(xiàn)，其實不需要估計矩陣，而通過估計矩陣