結(jié)構(gòu)力學(xué) 位移計(jì)算

§4.3靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對(duì)線位移、角位移等統(tǒng)稱(chēng)廣義位移線位移角位移相對(duì)線位移CDFP相對(duì)角位移制造誤差等鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:計(jì)算位移的目的引起結(jié)構(gòu)位移的原因(1)剛度要求如：載荷、溫度改變

T、支座移動(dòng)c、在工程上，吊車(chē)梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。（3）理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。位移計(jì)算的假定

(2)超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),一、位移計(jì)算的一般公式

(GeneralFormulaofDisplacements)下面從虛功方程入手，討論桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。設(shè)待求的實(shí)際廣義位移為ΔK實(shí)際位移狀態(tài)PABC虛設(shè)的力狀態(tài)PKABC

，與ΔK對(duì)應(yīng)的廣義力為P。設(shè)僅在水平力PK作用下，與之平衡的軸力、剪力和彎矩分別為若結(jié)構(gòu)有已知支座位移為ci實(shí)際位移狀態(tài)PABC虛設(shè)的力狀態(tài)PKABCdλ、dη和dθRc

，與其對(duì)應(yīng)的由廣義力PK

引起的支座反力為R又設(shè)與內(nèi)力

對(duì)應(yīng)的微段實(shí)際變形分別為dλ、dη和dθ。外力虛功W外虛=ΣRi

Ci+PKΔK由虛功方程位移計(jì)算的一般公式內(nèi)力虛功令PK=1W外虛=W內(nèi)虛則結(jié)構(gòu)虛功方程改寫(xiě)為由單位載荷Pk=1引起的內(nèi)力和反力實(shí)際狀態(tài)中的微段變形、支座位移實(shí)際狀態(tài)中擬求的位移單位載荷法——馬克斯威爾-莫爾（Maxwell-Mohr）法計(jì)算結(jié)果為正，所求的位移與單位力指向一致，否則相反公式的普遍性表現(xiàn)在：2.結(jié)構(gòu)類(lèi)型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1.位移原因：載荷、溫度改變、支座移動(dòng)等；3.材料性質(zhì)：線性、非線性；4.

變形類(lèi)型：彎曲、拉(壓)、剪切變形；5.位移種類(lèi)：線位移、角位移；相對(duì)線位移和相對(duì)角位移。BA(b)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。A(a)PK=1PK=1PK=1ABCd(c)ABC(d)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。1.、載荷作用下的位移計(jì)算對(duì)于由線彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)，由材料力學(xué)有：二、靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在載荷作用下實(shí)際狀態(tài)中微段的內(nèi)力式中：E

彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；K

截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。軸向剪切彎曲內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)者為正；彎矩只規(guī)定乘積的正負(fù)號(hào)。使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，其乘積取為正。幾點(diǎn)討論（只有荷載作用）：一般來(lái)說(shuō)，剪切變形影響很小，通常忽略不計(jì)。1.對(duì)梁和剛架：2.對(duì)桁架：3.對(duì)組合結(jié)構(gòu)：Pl/2l/2EIABx1x2求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。解：1）虛擬單位荷載m=12）MP須分段寫(xiě)例：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)（實(shí)際狀態(tài)）分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫(huà)出內(nèi)力圖）（虛擬狀態(tài)）qxxqlqlx載荷內(nèi)力圖xxlx11單位內(nèi)力圖將內(nèi)力方程代入公式，有：例2：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理有：將內(nèi)力方程代入位移計(jì)算公式,可得三鉸拱的分析同此類(lèi)似，但一般要考慮軸力對(duì)位移的貢獻(xiàn)，也即例3：求對(duì)稱(chēng)桁架D點(diǎn)的豎向位移。圖中右半部各括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件的截面積A

，設(shè)

E=210GPa。FN解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)并求出實(shí)際和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力代入公式得：N2.支座移動(dòng)時(shí)的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K實(shí)際位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)1K靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力，材料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移。（該位移也可由幾何關(guān)系求得）。例1：求CBAFP=1虛擬力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)CBAll解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)RAyRAx例2：已知l=12m,h=8m,

,求()?=D-D--=-=rad

0075.0)211(BxByiiAhlcRj3.制造誤差引起的位移制造誤差

4.靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)一般公式圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高，內(nèi)側(cè)溫度升高，求K點(diǎn)的豎向位移。設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布，桿軸溫度與上、下邊緣的溫差為：另外，溫度變化時(shí)，桿件不引起剪應(yīng)變，微段軸向伸長(zhǎng)和截面轉(zhuǎn)角為：線膨脹系數(shù)FP=1NN

圖面積對(duì)等截面直桿

圖面積將溫度引起的變形代入公式，可得上式中的正、負(fù)號(hào)：若溫度以升高為正，則軸力以拉為正；若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。

對(duì)梁和剛架：對(duì)桁架：幾種情況：溫度引起的軸向變形影響不能少。例：剛架施工時(shí)溫度為20，試求冬季外側(cè)溫度為-30，內(nèi)側(cè)溫度為-20時(shí)A點(diǎn)的豎向位移。已知l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度h=0.4m實(shí)際狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)單位荷載內(nèi)力圖為：圖圖等于0溫度支座多種因素下的位移計(jì)算一般公式例3：求實(shí)際位移狀態(tài)CBAllP解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)CBA虛擬力狀態(tài)Pk=1同時(shí)考慮載荷、溫度和支座位移的影響已有基礎(chǔ)：1.靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2.利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3.桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式,即:圖乘法及其應(yīng)用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)梁、剛架結(jié)構(gòu)一、圖乘法必須注意適用條件圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。二、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法頂點(diǎn)指曲線切線與桿軸重合或平行Ch三、注意事項(xiàng)：1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形.(1)曲-折組合例如(2)梯-梯同側(cè)組合(3)梯-梯異側(cè)組合ABCDabcd圖圖bc取負(fù)值(4)階梯形截面桿四、應(yīng)用舉例例1.設(shè)EI

為常數(shù)，求和。解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖BAq圖CABFP=1圖對(duì)嗎？應(yīng)分段！CAB圖1（

）BAq圖Pl/2l/2C例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？例2.已知EI

為常數(shù)，求剛架C、D兩點(diǎn)距離的改變。解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖2p117例3.已知EI為常數(shù)，求剛架A點(diǎn)的豎向位移，并繪出剛架的變形曲線。FP解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖在圖求面積，在圖取豎標(biāo)，有：圖EI2EI圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：

E、I、A為常數(shù)，求。ABCFPaD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖請(qǐng)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)討論！ABCFPaDABC1aD討論:如果B支座處為剛度k的彈簧，該如何計(jì)算？ABCkFP=1ABCFPk顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為

。因此，彈簧對(duì)位移的貢獻(xiàn)為。由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為例5.已知EI

為常數(shù)，求。ABCq解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABC圖A1圖一種算法：ABC結(jié)果正確否？?解法一、AqAABC圖qABC解法二、A1圖A例6.已知CD、BD桿的和AC桿的

為常數(shù)，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖例7.已知EI

為常數(shù)，求。解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖MPM分解P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2M