結構力學朱慈勉第二版 第9章 彎矩分配法

彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法的適用范圍：

單獨使用時，只能用于只有結點角位移而無結點線位移的結構。彎矩分配法與位移法聯(lián)合應用，可求解有結點線位移的結構。彎矩分配法的基本概念以圖示結構為例說明，所有桿件的線剛度均為，桿長均為，不計桿件軸向變形。根據(jù)位移法原理，原結構分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。只有一個位移法未知量—A結點的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結點稱為分配單元。ABCD原結構ABCD(a)狀態(tài)ABCD(b)狀態(tài)(a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結點位移——固定狀態(tài)(b)狀態(tài)：只發(fā)生結點位移，無外荷載——放松狀態(tài)相當于原結構“先固定、后放松”2/1/2023固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎矩。正負號規(guī)定：繞桿端順時針為正。ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)固定狀態(tài)內(nèi)力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負號規(guī)定非常重要！固端彎矩根據(jù)第7章位移法表7-1計算，其本質(zhì)就是位移法Mp圖的計算。

結點附加剛臂上的約束力矩稱為結點不平衡力矩。正負號規(guī)定：順時針為正。結點不平衡力矩的計算：根據(jù)固端彎矩，利用結點力矩平衡條件計算。在上述正負號規(guī)定條件下，結點不平衡力矩就是與該結點相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。

2/1/2023放松狀態(tài)就是原結構承受結點不平衡力矩的反向力矩（相當于解除約束）。ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計算。轉(zhuǎn)動剛度：AB桿件A端（又稱近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時，A端產(chǎn)生的彎矩值，稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動剛度，

記為。轉(zhuǎn)動剛度不僅與桿件的彎曲線剛度有關，而且與桿件另一端（又稱遠端）的支承條件有關。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：彎矩分配法中，結點轉(zhuǎn)動在遠端產(chǎn)生的彎矩可通過近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。2/1/2023ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析傳遞系數(shù)：AB桿件僅A端發(fā)生轉(zhuǎn)角時，B端彎矩與A端彎矩之比，稱為從A到B的彎矩傳遞系數(shù)，記為。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）AA結點力矩A結點力矩平衡方程：而，所以，得，從而，稱為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結點剛度中占的比例。每個分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即。Why?物理含義：結點力矩平衡2/1/2023ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)計算過程小結固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。固端彎矩結點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩2/1/2023ABCD原結構計算過程小結固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。固端彎矩結點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩彎矩分配法通常列表計算結點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分2/1/2023ABCD原結構彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法實質(zhì)，是在原結構上施加約束、再解除約束的過程。結點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注ABCDM圖(xql2)施加約束(固定)解除約束(放松)注意問題：彎矩分配法是數(shù)值計算方法，彎矩的方向用正負號表示，故，必須牢記正負號規(guī)定，計算過程中切勿混淆和遺漏正負號。結點不平衡力矩必須反號后才能進行分配和傳遞。彎矩分配法計算步驟：計算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計算荷載作用下的固端彎矩。將結點不平衡力矩反號后，進行力矩分配和傳遞。按疊加原理計算最終桿端彎矩。2/1/2023單結點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示剛架的彎矩圖。【解】⑴計算分配系數(shù)：ABDC桿端BAABADACCADA結點BACD分配傳遞⑵計算固端彎矩：ABDCM圖(kNm)42/1/2023單結點彎矩分配法

【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞【解】ABC只有B結點1個分配單元。ABCM圖(kNm)⑴單結點彎矩分配法計算結果是近似解嗎？答：是精確解。⑵如何通過彎矩分配過程計算B截面的轉(zhuǎn)角？答：只有放松狀態(tài)，即分配過程產(chǎn)生結點角位移。C端既無線位移又無角位移，相當于固定端，故。2/1/2023單結點彎矩分配法

【例3】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。DA結點桿端BACDBAABADACCA分配傳遞⑴AD桿件的處理：ABCDD端的鏈桿只產(chǎn)生軸力，故。⑵AC桿件的處理：（M圖略）2/1/2023單結點彎矩分配法

【例4】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。⑴幾個分配單元？2個或1個。法一：B結點和C結點2個分配單元。(多結點彎矩分配法后續(xù)介紹)法二：B結點1個分配單元。（CD彎矩靜定，原結構可簡化）ABCDABC彎矩分配法的分配單元數(shù)量與位移法的基本未知量數(shù)量是統(tǒng)一的。理論上講，彎矩分配法即適用于超靜定結構，也適用于靜定結構，但具體應用中，如結構含有內(nèi)力靜定部分，應盡可能先簡化結構，以減少計算工作量。分配傳遞⑵B結點的集中外力矩如何處理？可見，固端彎矩需改變符號后參與分配，而作用在結點上的集中力矩無需改變符號直接參與分配。ABCB點增加附加剛臂后，剛臂上的約束力矩，即結點不平衡力矩為

。反號后，即作為結點分配力矩。B結點分配力矩為41－20＝21（M圖略）2/1/2023單結點彎矩分配法

【例5】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。ABCDCB結點桿端ABDCABBABCBDDB分配傳遞B分配單元的分配系數(shù)如何計算？（M圖略）AB桿上無荷載，不產(chǎn)生固端彎矩2/1/2023單結點彎矩分配法

【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結點連續(xù)梁的彎矩圖。如何計算轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)？分配傳遞（M圖略）ABC根據(jù)轉(zhuǎn)動剛度的定義，和分別表示B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時BA和BC的桿端彎矩。ABC時變形ABC時彎矩2/1/2023單結點彎矩分配法

【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結點連續(xù)梁的彎矩圖。錯誤。因為MDA+MEC≠M(D、E截面剪力對B點也產(chǎn)生矩)，故結點力矩M不能向D、E兩點分配。ABC時變形ABC時彎矩思考題：將結點力矩M向剛域兩側D和E點分配，計算過程如下，是否正確？為什么？ABCDE2/1/2023多結點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB固定狀態(tài)固端彎矩結點不平衡力彎矩ACDB放松狀態(tài)兩個分配單元B和C結點轉(zhuǎn)角是耦合的，如同時放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個放松。①放松C(B保持鎖定狀態(tài))此時，C結點力矩平衡，B結點不平衡力矩為-5kNm②鎖住C，放松B此時，B結點力矩平衡，C結點不平衡力矩為1.25kNm完成一輪分配由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經(jīng)過彎矩分配和傳遞后，結點不平衡力矩逐漸減小。依次經(jīng)過多輪分配，可使結構受力和變形逐步接近實際狀態(tài)。2/1/2023多結點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB上述計算過程一般通過列表進行（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）第1輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第2輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第3輪分配多結點彎矩分配法是一種漸近法，計算結果為近似解。為了使計算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：

a）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計算。

b）明確計算精度。如：計算要求保留到小數(shù)點后兩位，則應計算至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個輪次分配與傳遞需同時完成，不可以只分配不傳遞。ACDBM圖(kNm)2/1/2023多結點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）思考題一：如何通過計算過程求C結點轉(zhuǎn)角？ACDBM圖(kNm)思考題二：B支座反力為多少？BBC受力對稱剪力為荷載的一半2/1/2023多結點彎矩分配法

【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。(只分配兩輪)分配與傳遞（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）ACBDE本結構三個分配單元：B、C、D鎖C后，B、D相互之間無影響，故，可同時放松第1輪（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）第2輪ACBDEM圖(kNm)2/1/2023彎矩分配法應用拓展彎矩分配法主要適用于無結點線位移的超靜定結構，因為有結點線位移時，桿件的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)一般難以確定。對于有結點線位移的超靜定結構，彎矩分配法可以從以下兩個方面修正或拓展應用。無剪力分配法適用條件：有相對側移的桿件剪力靜定；

剪力靜不定的桿件無相對側移。例：柱子：有相對側移，但剪力靜定；橫梁：

剪力未知，但兩端無相對側移。2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法剪力靜定桿考慮兩端相對側移后的轉(zhuǎn)動剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩：對mn柱，由位移法知：根據(jù)靜力平衡條件可得：從而，剪力靜定桿的相對側移與桿端轉(zhuǎn)角是相關的，二者關系可以通過桿件剪力大小確定根據(jù)轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)的定義：比較可見：剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)與一端固定一端定向滑動約束的桿件相同固端彎矩根據(jù)剪力和反彎點位置確定2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖?！窘狻竣爬脤ΨQ性取半結構⑵計算分配系數(shù)：⑶計算固端彎矩：剪力靜定桿分配傳遞結點桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞結點桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略M圖(kNm)2/1/2023彎矩分配法應用拓展彎矩分配法與位移法聯(lián)合應用

【例】原結構基本結構Z1Mp圖M1圖既承受外荷載又發(fā)生Z1基本結構只承受外荷載基本結構只發(fā)生Z1=1Mp圖和M1圖均可利用彎矩分配法計算，計算過程略。從而，可求出和。由得最終彎矩Mp計算：

一般荷載作用下的彎矩分配法M1計算：

支座位移情況下的彎矩分配法利用哪個隔離體？哪個平衡條件？剪力分配法一、柱頂有