結(jié)構(gòu)力學(xué)6位移法

主編：文國治副主編：陳名弟土木工程指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范系列教材

出版社2023年2月1日結(jié)構(gòu)力學(xué)第六章位移法●基本要求

掌握位移法的基本原理和方法；熟練掌握用典型方程法計算超靜定剛架在荷載作用下的內(nèi)力；會用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下的內(nèi)力；掌握用直接平衡法計算超靜定剛架的內(nèi)力?！窠虒W(xué)內(nèi)容的重點

位移法的基本未知量；桿件的轉(zhuǎn)角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力?！窠虒W(xué)內(nèi)容的難點對位移法方程的物理意義以及方程中系數(shù)和自由項的物理意義的正確理解和確定。本章小結(jié)

目錄

§6-1概述§6-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§6-3位移法的基本概念§6-4位移法的典型方程§6-6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力§6-7直接利用平衡條件建立位移法方程§6-5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

對于線彈性結(jié)構(gòu)，體系中桿件的內(nèi)力分布與其變形之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。在結(jié)構(gòu)分析時，可以根據(jù)位移—變形—內(nèi)力之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，利用某些結(jié)點位移表達(dá)出桿件變形，據(jù)此以尋求內(nèi)力分布。

位移法計算中重要的一環(huán)內(nèi)容在于桿件變形分布的描述。關(guān)注的焦點在于桿件的桿端位移值對變形分布的影響。6.1概述

位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本的方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時，用力法計算比較繁瑣。而位移法則是以獨立的結(jié)點位移為基本未知量，未知量個數(shù)與超靜定次數(shù)無關(guān)，故對于一些高次超靜定結(jié)構(gòu)用位移法計算比較簡便。本章主要介紹位移法的原理、方法及其應(yīng)用。簡化假定：不考慮各桿件的軸向變形；不計彎曲引起的桿端接近。分析剛架中AB桿：位移法要解決的三個問題：①選取結(jié)構(gòu)上哪些結(jié)點位移作為基本未知量。②確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系(單元分析)。③建立求解基本未知量的位移法方程(整體分析)。

對圖示結(jié)構(gòu)來說，求解關(guān)鍵是如何確定基本未知量θA的值。6.1概述應(yīng)用位移法需要解決的一個關(guān)鍵問題是：確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系，即桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，也就是位移法計算中單元分析的過程?？刹樾屋d常數(shù)表確定。6.2.1桿端內(nèi)力及桿端位移的正負(fù)號規(guī)定1）桿端內(nèi)力的正負(fù)號規(guī)定

桿端彎矩對桿端而言，以順時針方向為正，反之為負(fù);對結(jié)點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負(fù)。

桿端剪力和桿端軸力正負(fù)號規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

2）桿端位移的正負(fù)號規(guī)定角位移以順時針為正，反之為負(fù)。

線位移對桿件順時針方向轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。例如，圖中，ΔAB為正。6.2.2一般等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程

位移法中內(nèi)力分布與變形對應(yīng)，而變形則會受到桿端位移的影響。在計算中一般利用一個兩端固定的桿單元來描述體系中的一般桿件，桿端位移即可以根據(jù)該桿單元的支座位移來表達(dá)。由桿端單位位移引起的桿端內(nèi)力稱為形常數(shù)，列入表6.1中。表中引入記號i=EI/l，稱為桿件的線剛度。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程利用表6.1中的形常數(shù)與載常數(shù)，可得由荷載或溫度變化引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)。其中的桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用和表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用和表示。常見荷載和溫度作用下的載常數(shù)列入表6.1中。

一般等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程：（6.1）

集中力偶以順時針為正，反之為負(fù)；集中力和分布荷載以向下為正，反之為負(fù)。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程6.2.3特殊等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程

若結(jié)構(gòu)中存在非剛性結(jié)點和非固定支座,即體系有鉸結(jié)點和定向結(jié)點(對應(yīng)于支座位置，則為可動鉸支座、固定鉸支座或定向支座),在桿端力幾個分量中出現(xiàn)某桿端力分量為已知的現(xiàn)象。

即在這樣的單元中，式（6.1）的三個函數(shù)關(guān)系將不再完全獨立，由于其中一個方程左端項（桿端力）為已知，則桿端位移中，將只能存在兩個獨立的未知桿端位移分量，剩余的另一個桿端位移一定可以由這兩個獨立桿端位移來線性描述。

由于位移法計算過程的計算量在很大程度上取決于基本未知量的數(shù)目，上述情形的存在，使得在計算中可以根據(jù)單元桿端的約束模式，在計算前對基本未知量進(jìn)行篩選，去除非獨立的桿端位移分量，以減少計算線性方程組的工作量。由此即在一般桿元的基礎(chǔ)上衍生出了兩種特殊桿單元模型。6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程1)一端固定另一端鉸支桿單元2)一端固定另一端定向支承桿單元6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

在3種桿單元模型中，第一種即兩端固定支承梁的模型在不考慮軸向變形時具有三個未知桿端位移，它完全可以取代后兩種衍生模型。若全部用第一種單元模型進(jìn)行計算，在位移法分析時所有單元的桿端位移描述和轉(zhuǎn)角位移方程將具有一致的形式，對應(yīng)的計算方法可以較為容易地移植到計算機(jī)化的程序分析中；但用于手算時，卻會導(dǎo)致因未知量數(shù)目較多，而計算量偏大的情況。一端固定一端鉸支、一端固定一端定向支承模型的引入，則可以簡化分析計算量，所以手算時一般都會使用這兩種衍生模型來進(jìn)行計算。但應(yīng)該注意形常數(shù)與載常數(shù)的選用必須與所選擇的桿件單元模型相對應(yīng)。桿端剪力轉(zhuǎn)角位移方程可由平衡條件導(dǎo)出為：6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程6.3.1位移法的基本未知量

如果結(jié)構(gòu)中每根桿件兩端的桿端角位移和桿端相對線位移均已知則全部桿件內(nèi)力即可確定。位移法中，基本未知量應(yīng)是各結(jié)構(gòu)的角位移和線位移之和。

6.3位移法的基本概念1)結(jié)點角位移的確定

未知的獨立結(jié)點角位移對應(yīng)體系中的剛結(jié)點，若有階形桿截面改變處的轉(zhuǎn)角或抗轉(zhuǎn)動彈性支座的轉(zhuǎn)角，應(yīng)一并計入；

鉸結(jié)點或鉸支座處轉(zhuǎn)角不獨立，引入特殊桿端約束模式下桿單元模型后，其桿端轉(zhuǎn)角不再計入。結(jié)構(gòu)固定支座處轉(zhuǎn)角已知，不應(yīng)計入；——一個剛結(jié)點一個結(jié)點轉(zhuǎn)角2)結(jié)點線位移的確定

確定位移法中線位移未知量的方法：由觀察確定。即設(shè)定體系中每一個結(jié)點在平面坐標(biāo)系的兩個主軸方向上最多可能具有兩個線位移，然后篩選出其中的未知、獨立分量。主要考慮以下的篩選原則：

①因剛性支座的存在，線位移為零或為已知值（對應(yīng)于支座移動）的不計入未知量；②因軸向變形忽略不計而多個結(jié)點線位移相同的，則只計其中一個；

③定向支承桿端力已知，對應(yīng)的線位移非獨立，不計入獨立的線位移內(nèi)?！粚右粋€結(jié)點線位移(無側(cè)向約束時)6.3位移法的基本概念“鉸化結(jié)點、增加鏈桿”方法判斷結(jié)構(gòu)獨立結(jié)點線位移數(shù)目。圖6.5ABCD4321

把所有的結(jié)點和支座都改為鉸結(jié)點和鉸支座，而得到一鉸結(jié)體系，然后用增加鏈桿的方法使該體系成為幾何不變、且無多余約束的體系，所增加的最少鏈桿數(shù)目，就是結(jié)點獨立線位移的數(shù)目。

不忽略桿的軸向變形，如圖6.6所示結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移數(shù)目為二。圖6.6

ABCDEA6.3位移法的基本概念4325611236.3位移法的基本概念6.3.2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本體系

附加約束:角位移處的附加剛臂和線位移處的附加支桿。

附加剛臂:即在每個發(fā)生獨立角位移的剛結(jié)點和組合結(jié)點上,人為加上一個能控制角位移(但不阻止線位移)的附加約束。

附加支桿，即在每個發(fā)生獨立線位移的結(jié)點上沿線位移方向,人為加上一個能控制其線位移大小的附加支座鏈桿。位移法計算時通過在體系中增設(shè)附加約束來控制結(jié)點位移發(fā)生。增設(shè)了附加約束的結(jié)構(gòu)模型,即為位移法計算中的基本結(jié)構(gòu)。a)原結(jié)構(gòu)及其基本未知量b)基本結(jié)構(gòu)

通過控制基本結(jié)構(gòu)的附加約束，令其發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，從而形成在荷載與結(jié)點位移共同作用下與原結(jié)構(gòu)變形完全相同的受力模型。該受力模型即為位移法計算中的基本體系，基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效。6.3位移法的基本概念

位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)，在確定了基本未知量后，就要附加約束以限制所有結(jié)點的位移，把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一系列相互獨立的單跨超靜定梁的組合體，即在產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移處附加剛臂以約束其轉(zhuǎn)動，在產(chǎn)生結(jié)點線位移處附加支承鏈桿以約束其線位移。

令基本結(jié)構(gòu)附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，從而形成在荷載與結(jié)點位移共同作用下與原結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)受力等效的基本體系。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念1)只有一個結(jié)點角位移的情況

圖示(a)結(jié)構(gòu),具有一個獨立的未知結(jié)點角位移,不存在結(jié)點線位移。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的概念,在角位移處增設(shè)剛臂,得基本結(jié)構(gòu)。

a)原結(jié)構(gòu)c)基本體系b)基本結(jié)構(gòu)

荷載作用下，原結(jié)構(gòu)變形圖如圖(a)所示，則其基本體系應(yīng)如圖(c)所示。當(dāng)剛臂轉(zhuǎn)角與原結(jié)構(gòu)A點轉(zhuǎn)角相同時，圖(a)與圖(c)變形、內(nèi)力均完全相同。6.3.3位移法的基本方程與基本原理基本體系與原結(jié)構(gòu)的變形完全一致，其受力也完全相同。6.3位移法的基本概念

根據(jù)疊加原理，基本體系的變形可以由荷載和角位移Z1分別作用在基本結(jié)構(gòu)這兩個獨立受力狀態(tài)下的變形結(jié)果的疊加

由于基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效，基本體系中角位移位置處附加剛臂不可能存在外力，必然有6.3位移法的基本概念

形常數(shù)，將Z1角位移作用下的變形圖利用單位角位移作用下的變形圖來表示

從而得到

這就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其實質(zhì)是表達(dá)了基本體系在結(jié)點位移處的平衡條件。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念MP圖圖M圖結(jié)構(gòu)的最后彎矩可由疊加公式計算

6.3位移法的基本概念*圖6.1

llABCq(a)原結(jié)構(gòu)ABCq（b）基本結(jié)構(gòu)位移法的基本思路：6.3位移法的基本概念分析：1）疊加兩步作用效應(yīng)，基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的荷載特征及位移特征完全一致，則其內(nèi)力狀態(tài)也完全相等；2）結(jié)點位移計算：對比兩結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，附加約束上的附加內(nèi)力應(yīng)等于0，按此可列出基本方程。實現(xiàn)位移狀態(tài)可分兩步完成：1）在可動結(jié)點上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產(chǎn)生附加約束力；2）在附加約束上施加外力，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)一致的結(jié)點位移。6.3位移法的基本概念qABCF1PF1P0ABCF11F11*圖6.1（d）*圖6.1（e）6.3位移法的基本概念

式（a）稱為位移法方程。式中：稱為系數(shù)；稱為自由項。它們的方向規(guī)定與方向相同為正，反之為負(fù)。

求出Z1后，將*圖6.1（d）,（e）兩種情況疊加，即得原結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖所示。

ABC

原結(jié)構(gòu)上原本沒有附加剛臂，故基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零。即

（a）

6.3位移法的基本概念

圖示剛架基本未知量為結(jié)點C、D的水平線位移Z1。在結(jié)點D加一附加支座鏈桿，得其基本結(jié)構(gòu)。相應(yīng)的基本體系的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同。位移法方程

2）只有一個結(jié)點線位移的情況

6.3位移法的基本概念將k11和F1P的值代入位移法方程式，解得用疊加法作彎矩圖6.3位移法的基本概念由以上分析歸納位移法計算的要點為：

1.以獨立的結(jié)點位移（包括結(jié)點角位移和結(jié)點線位移）為基本未知量。2.以一系列單跨超靜定梁的組合體為基本結(jié)構(gòu)。3.由基本結(jié)構(gòu)在附加約束處的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件建立位移法方程。先求結(jié)點位移，再計算出各桿件內(nèi)力。

各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動引起的桿端彎矩和桿端剪力(載、形常數(shù))的數(shù)值可查表6.1、6.2。表6.1、6.2中

i=EI/l，稱為桿件的線剛度。桿端彎矩對桿端順時針為正，對結(jié)點或支座逆時針為正；桿端剪力仍規(guī)定順時針為正。桿端角位移和線位移對桿端順時針為正。桿間荷載向下為正；集中力偶順時針為正。6.3位移法的基本概念(a)原結(jié)構(gòu)(b)基本結(jié)構(gòu)(c)基本體系基本體系上附加剛臂的反力矩F1及附加支桿的反力F2均為零即F1=0和F2=0

6.4位移法的典型方程(a)

設(shè)基本結(jié)構(gòu)由于Z1、Z2及荷載單獨作用，引起相應(yīng)于Z1的附加剛臂的反力矩分別為F11、F12及F1P，引起相應(yīng)于Z2的附加支座鏈桿的反力分別為F21、F22及F2P。根據(jù)疊加原理,可得

又設(shè)單位位移Z1=1及Z2=1單獨作用時，在基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩分別為k11及k21，在附加支座鏈桿中產(chǎn)生的反力分別為k12及k22，則有將式（b）代入式（a），得(b)位移法典型方程

其物理意義是：基本體系每個附加約束中的反力矩和反力都應(yīng)等于零。因此，它實質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。6.4位移法的典型方程聯(lián)立解以上兩個方程求出Z1和Z2后，即可按疊加原理作出彎矩圖

6.4位移法的典型方程對于具有n個獨立結(jié)點位移的結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地在基本結(jié)構(gòu)中需加入n個附加約束，根據(jù)每個附加約束的附加反力矩或附加反力都應(yīng)與原結(jié)構(gòu)反力相等的平衡條件，同樣可建立n個方程如下：

上式為典型方程的一般形式。式中主斜線上的系數(shù)kii稱為主系數(shù)或主反力；其他系數(shù)kij稱為副系數(shù)或副反力；FiP稱為自由項。

系數(shù)和自由項的符號規(guī)定：以與該附加約束所設(shè)位移方向一致者為正。主反力kii恒為正值，其方向總是與所設(shè)位移Zi的方向一致；副系數(shù)和自由項則可能為正、負(fù)或零。6.4位移法的典型方程根據(jù)反力互等定理有反力的位置引起反力的原因位移法的基本未知量——結(jié)點位移（包括獨立的結(jié)點轉(zhuǎn)角和結(jié)點線位移）。位移法的基本體系——若干單跨超靜定梁的組合體。位移法的基本方程——靜力平衡方程。6.4位移法的典型方程

②選擇基本體系。加附加約束，得到由若干基本單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結(jié)構(gòu)）；使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，即可得到基本體系。

③建立位移法的典型方程。根據(jù)附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。

④求系數(shù)和自由項。在基本結(jié)構(gòu)上分別作出各附加約束發(fā)生單位位移時的單位彎矩圖和荷載作用下的荷載彎矩圖MP圖，由結(jié)點平衡和截面平衡即可求得對應(yīng)系數(shù)和自由項。

⑤解方程，求基本未知量（Zi）。

6.5.1典型方程法的計算步驟①確定基本未知量數(shù)目：n=ny+nl。6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力⑥繪內(nèi)力圖。由疊加法繪彎矩圖,由桿件平衡求桿端剪力繪剪力圖,由結(jié)點平衡求桿端軸力繪軸力圖。⑦校核。由于位移法在確定基本未知量時已滿足了變形協(xié)調(diào)條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進(jìn)行校核。6.5.2舉例【例6.1】試用典型方程法計算圖所示連續(xù)梁，并作彎矩圖，各桿EI為常數(shù)?！窘狻?1)確定基本未知量數(shù)目該連續(xù)梁的基本未知量為結(jié)點B的轉(zhuǎn)角Z1，即n=1。(2)確定基本體系。如圖所示。由于超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力分布與桿件的相對剛度相關(guān)，可令i=1，根據(jù)桿件相對剛度計算。注意：在相對剛度設(shè)定后，計算所得未知量將不再直接對應(yīng)于結(jié)點的真實位移數(shù)值，而與所設(shè)定的相對剛度對應(yīng)。(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(6)作最后彎矩圖M圖（kN·m）在本例的求解中，BC桿采用了一端固定一端鉸支的單元，減少了位移法分析的計算量，在計算中也可以直接使用一般桿單元（即兩端固定端桿元）進(jìn)行分析，只是計算量會增加，但不會改變計算結(jié)果。(5)解方程，求基本未知量將以上各系數(shù)及自由項之值代入典型方程，解得6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.2】試對上例所有桿元使用統(tǒng)一的一般桿單元模型進(jìn)行位移法分析?！窘狻?1)確定基本未知量數(shù)目本例將基本未知量確定為所有的未知結(jié)點位移，即結(jié)點B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點C的轉(zhuǎn)角Z2。因此，n=2(2)確定基本體系如圖所示。(3)建立典型方程根據(jù)結(jié)點B和結(jié)點C附加剛臂上反力偶均為零的平衡條件，有(4)求系數(shù)和自由項(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2將以上各系數(shù)及自由項之值代入典型方程，解得

(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.2】試用位移法計算圖6.11(a)所示剛架，并繪出內(nèi)力圖。

【解】1)

確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)。

圖6.11ABC4m4m4m2mEIEI2EI1EI55kN6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力2)

建立位移法方程。由1結(jié)點的附加剛臂約束力矩總和為零的條件

得ABCk11ABC55kN110kN·mF1P2i4i2i4i3i圖MF圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力ABCk112i4i2i4iABC55kN110kN·mF1P3)

求系數(shù)和自由項利用結(jié)點1的力矩平衡條件

可計算出系數(shù)和自由項如下：

3i圖MF圖4)

解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力6）校核位移法計算只需作平衡條件校核。取結(jié)點1為隔離體

圖6.115）繪制內(nèi)力圖由疊加繪出最后圖。利用桿件和結(jié)點的平衡條件繪出圖、圖，分別如圖示。6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.3】試用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。

【解】：(1)確定基本未知量數(shù)目可以利用對稱性取結(jié)構(gòu)的1/4部分進(jìn)行計算，其基本未知量只有結(jié)點A的轉(zhuǎn)角Z1。

c)基本體系d)M1圖e)

MP圖(kN·m)(2)選擇基本體系

(3)建立典型方程

(4)求系數(shù)和自由項(5)解方程，求基本未知量

(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.3】試用位移法計算圖(a)所示剛架，并繪出彎矩圖。已知各桿EI為常數(shù)?！窘狻?）選取半剛架并形成基本結(jié)構(gòu)。如圖(b)所示。分析可知用位移法求解圖(b)所示剛架時，基本未知量只有一個，基本結(jié)構(gòu)如圖(c)所示。2）建立位移法方程:

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

3）求系數(shù)和自由項。

令，分別在圖（d）、（e）中利用結(jié)點E的力矩平衡條件可計算出系數(shù)和自由項如下：

MF圖F1P4）解方程求基本未知量。

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力6）校核。在圖（f）中取結(jié)點E為隔離體，驗算其是否滿足平衡條件可知計算無誤。

5）繪制彎矩圖。由疊加可繪出左半剛架的彎矩圖，由結(jié)構(gòu)的對稱性可繪出原結(jié)構(gòu)的M圖，如圖（f）所示。6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【**例6.3】試用位移法計算圖（a）所示剛架，并繪出彎矩圖。已知各桿EI為常數(shù)。

【解】1）選取半剛架并形成基本結(jié)構(gòu)。取圖（b）所示半剛架進(jìn)行計算，此半剛架只有一個基本未知量，即結(jié)點1的角位移Z1，其基本結(jié)構(gòu)如圖（c）所示。2）建立位移法方程：

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項。分別在圖（d）、（e）中利用結(jié)點1的力矩平衡條件可計算出系數(shù)和自由項如下：MF圖(kN·m)R1F4）解方程求基本未知量。

5）繪制彎矩圖。如圖（f）所示。6）校核。6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力復(fù)習(xí):§6.3~6.5習(xí)題:6.6(a),6.7(a)預(yù)習(xí):§6.5~6.6【*例6.4】試用位移法計算圖示剛架，并繪出彎矩圖?！窘狻?）確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)。如圖所示。圖6.12EI4m20kN/mABCDE40kN10kN·m4m2m2mEI2EI2EI6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力2）建立位移法方程

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EIF1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P圖MF圖圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EI圖圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力F1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P4）解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得MF圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力5）繪制彎矩圖。由疊加繪出最后圖。

6）校核。取結(jié)點B和結(jié)點C為隔離體可知計算無誤。

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.4】試用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，EI為常數(shù)?！窘狻?1)確定基本未知量數(shù)目此剛架的基本未知量為結(jié)點B和C

的角位移Z1和Z2，即n=2。(2)確定基本體系，如圖所示。

(3)建立典型方程根據(jù)基本體系每個附加剛臂的總反力矩為零的條件，可列出位移法方程如下：(4)求系數(shù)和自由項k11

=

4.8＋4＋8

=

16.8

k12

=k21=

4

k22

=8+4

=

12

F1P=50－60=－10kN·m

F2P

=

60kN·m

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(5)解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得

Z1=1.94，Z2=－5.65(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.5】試用位移法計算圖示剛架，并繪出彎矩圖。【解】1）確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)?；疚粗繛榻Y(jié)點1處的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點1、2共同的水平位移Z2。20kN/m40kN12ABEI=常數(shù)2）建立位移法方程。基本結(jié)構(gòu)的附加剛臂和附加鏈桿中的約束力為零6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項。令。k12k211.5i1.5i12AB12ABk11k212i4i3i12k21-1.5i012k220.75i3/16i圖圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力40kN12AB26.67kN20kN/m26.67kNF11MF圖26.67kN26.67kN12F2P-40kN010kN6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力4）解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得

5）繪制彎矩圖。由疊加繪出M圖，如（f）所示。R2F6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

6）校核。在圖（f）中取結(jié)點1為隔離體，由

再取桿12為隔離體，由可知計算無誤。

R2F6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.5】試用典型方程法計算圖所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，已知l=6m，除DE桿外，各桿EI為常數(shù)?！窘狻?1)確定基本未知量數(shù)目有角位移Z1;由于DE桿截面抗彎剛度無窮大，桿DE的轉(zhuǎn)角q與D（B）結(jié)點的豎向線位移D之間存在直接幾何變換關(guān)系

故本題基本未知量的數(shù)目為2

(2)確定基本體系

(a)基本體系一(b)基本體系二選擇兩個角位移作為基本未知量選擇一個角位移一個線位移作為基本未知量6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(3)建立典型方程無論是基本體系一還是基本體系二，根據(jù)位移法的基本原理，必然有(4)求系數(shù)和自由項①基本體系一②基本體系二6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(5)解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得對基本體系一，有：對基本體系二，有：(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.6】試用典型方程法計算圖示等高排架。

【解】(1)確定基本未知量數(shù)目b)基本體系一個獨立結(jié)點線位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。

(2)確定基本體系，如圖b所示(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項a)原結(jié)構(gòu)6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力再令稱為第i根柱的剪力分配系數(shù)，則各柱所分配得的柱頂剪力為

（i=1，2，3）

說明：當(dāng)?shù)雀吲偶軆H在柱頂受水平集中力作用時，可首先求出各柱的剪力分配系數(shù)；然后計算出各柱頂剪力FQi；最后把每根柱視為懸臂梁繪出其彎矩圖。這樣就可不必建立典型方程而直接得到解答。這一方法稱為剪力分配法.于是，各柱頂?shù)募袅槭街?，ri為當(dāng)排架柱頂發(fā)生單位側(cè)移時，各柱柱頂產(chǎn)生的剪力，反映了各柱抵抗水平位移的能力，稱為排架柱的側(cè)移剛度系數(shù)。(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按疊加原理即可作出彎矩圖。

6.5用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

計算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。其最后一項應(yīng)以Mc替代荷載作用時的MP，即

典型方程中的自由項不同。這里的自由項，不再是荷載引起的附加約束中的FiP，而是基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的附加約束中的反力矩或反力Fic，它可先利用形常數(shù)作出基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的彎矩圖Mc圖，然后由平衡條件求得。

用典型方程法計算超靜結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力，其基本原理和計算步驟與荷載作用時是相同的，只是需要注意:6.6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力【例6.7】試用典型方程法作如圖a所示結(jié)構(gòu)在支座移動時的彎矩圖。已知，，?！窘狻?/p>

(1)確定基本未知量

(2)選擇基本體系

b)基本結(jié)構(gòu)a)原結(jié)構(gòu)(3)建立典型方程

6.6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力(4)求系數(shù)和自由項

(5)解方程，求基本未知量(6)作最后彎矩圖

M圖(kN·m)必須注意，計算支座移動引起的桿端彎矩時，必須用實際值，而不能用各桿EI的相對值。

6.6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力【例6.8】圖示剛架的支座A下沉了0.02m，支座E沿逆時針方向轉(zhuǎn)動0.01rad，試?yán)L出剛架由此產(chǎn)生的彎矩圖。已知EI=5.0×104kN·m2。【解】(1)確定基本體系和基本未知量(2)建立位移法方程(3)求系數(shù)和自由項6.6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力(4)將系數(shù)和自由項的數(shù)值代入位移法方程，得解得Z1=－20.9，Z2=27.8（5）繪出剛架的最后彎矩圖

Mc圖

為了計算方程中的自由項，應(yīng)作出Mc圖。由表6.1和6.2的形常數(shù)可計算得到基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的各桿固端彎矩為（6）校核

6.6用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力復(fù)習(xí):§6.3~6.6習(xí)題:6.8(b),6.10預(yù)習(xí):§7.1

直接利用平衡條件建立位移法方程時，需要對每個桿件進(jìn)行受力、變形分析，找出桿端內(nèi)力與桿端位移及外荷載之間的關(guān)系表達(dá)式。此關(guān)系式稱為轉(zhuǎn)角位移方程。式6.1既為兩端固定的單跨梁各種約束桿件的轉(zhuǎn)角位移方程。

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程在位移法典型方程法中,通過增設(shè)附加約束、借助基本結(jié)構(gòu)、利用基本體系表達(dá)出原結(jié)構(gòu)變形模式，從而建立的位移法方程，實質(zhì)上就是反映原結(jié)構(gòu)的平衡條件，即有結(jié)點角位移處，是結(jié)點的力矩平衡條件；有結(jié)點線位移處，是截面的投影平衡條件。

因此，根據(jù)位移法的基本原理，也可以不通過基本結(jié)構(gòu)，而借助于桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，利用結(jié)點位移與桿端位移之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，根據(jù)先“拆散”、后“組裝”結(jié)構(gòu)的思路，直接由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點和截面平衡條件來建立位移法方程，這就是直接平衡法。【例6.9】試用直接平衡法計算圖所示剛架，并作彎矩圖。已知EI=常量

【解】(1)確定基本未知量，并繪出示意圖

(a)基本未知量(b)結(jié)點位移處的平衡條件(2)“拆散”，利用結(jié)點位移表示出各對應(yīng)桿件的桿端位移，進(jìn)行桿件分析，即根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫出桿端內(nèi)力：①對于左柱BA（視為兩端固定梁）6.7直接利用平衡條件建立位移法方程②對于橫梁BC（視為B端固定，C端鉸支）

③對于右柱CD（視為D端固定，C端鉸支）6.7直接利用平衡條件建立位移法方程(3)“組裝”，進(jìn)行整體分析，即根據(jù)結(jié)點平衡條件和截面平衡條件建立位移法方程①②取橫梁BC為隔離體，由截面平衡(a)(b)以上式（a）和式（b）即為用直接平衡法建立的位移法方程，與6.4節(jié)中用典型方程法解同一例題所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全相同。也就是說，兩種本質(zhì)上相同的解法在此殊途同歸。6.7直接利用平衡條件建立位移法方程(4)聯(lián)立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)計算桿端內(nèi)力

將Z1和Z2代回第（2）步所列出的各桿的桿端彎矩表達(dá)式，即可求得

(6)作最后彎矩圖

d)

M圖(×ql2/184)6.7直接利用平衡條件建立位移法方程

桿左端彎矩相加桿右端彎矩相加若：轉(zhuǎn)角位移方程為而桿端剪力可由平衡條件得出為

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程圖6.17一端固定、一端鉸支梁（圖6.17）的桿端彎矩為一端固定、一端定向支承梁（圖6.18）的桿端彎矩為

圖6.18各種單跨超靜定梁的桿端剪力都可由下式算出。

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程直接利用平衡條件建立圖示結(jié)構(gòu)的位移法方程。6.7直接利用平衡條件建立位移法方程由結(jié)點B的力矩平衡條件（圖b）