常微分方程數(shù)值解(第六章)

計(jì)算方法江西理工大學(xué)第六章常微分方程數(shù)值解法§6.1引言

1、

一階常微分方程初值問題的一般形式是其中:2、方程6.1解存在定理3、數(shù)值解的分類6.2.1Euler公式

假設(shè)初值問題(6.1)式~(6.2)式的解y=y(x)存在且足夠光滑，對求解區(qū)域[a,b]分成n+1個節(jié)點(diǎn):§6.2Euler方法比較6.4式和6.5式，為求得

,只需用到,這種方法稱為單步法，而6.6式需要。這種方法稱為多步法。6.4式和6.6式中的被顯式的表示出來了，故被稱為顯式公式，而6.5式的兩邊都含有項(xiàng)，因而被稱為隱式公式。hxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.10.000.000000.000000.000000.400.360850.34483-0.016030.800.513710.48780-0.025901.200.509610.49180-0.017811.600.458720.44944-0.009282.000.404190.40000-0.00419h=0.050.000.000000.000000.000000.400.352870.34483-0.008040.800.500490.48780-0.012681.200.500730.49180-0.008921.600.454250.44944-0.004812.000.402270.40000-0.00227從計(jì)算結(jié)果可見,步長h越小,數(shù)值解的精度越高.近似值準(zhǔn)確值6.2.2改進(jìn)的Euler方法xnEuler方法yn改進(jìn)Euler方法yn精確解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2662011.2649910.41.3582131.3433601.3446410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859651.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.732051從計(jì)算結(jié)果可見,改進(jìn)的Euler方法明顯地改善了精度.6.2.3Euler公式的誤差分析y(xn)表示精確值6.2.4*Taylor展開方法§6.3Runge-Kutta方法由Euler方法:nxnyny(xn)nxnyny(xn)00.01.001.030.61.48331.483210.21.18321.183240.81.61251.612520.41.34171.341651.01.73211.7321比較例6.2與例6.3的計(jì)算結(jié)果,顯然四階R-K方法的精度高.盡管四階R-K方法的計(jì)算量比改進(jìn)的Euler方法大,但由于放大了步長,在求相同節(jié)點(diǎn)上的近似值時,所需的計(jì)算量幾乎相同.以上討論的是顯式R-K方法,同樣也可以構(gòu)造隱式R-K方法,其一般形式四階Runge-Kutta算法§6.4單步方法的收斂性和穩(wěn)定性初值問題的數(shù)值解法是經(jīng)過某種離散化過程導(dǎo)出的,因此需要對數(shù)值解法進(jìn)行定性分析.本節(jié)主要討論單步方法的收斂性與穩(wěn)定性.6.4.1單步方法的收斂性定義6.1定理6.1[證明]Lipschiz條件：|f(x,y2)-f(x,y1)|≤L|y2-y1|等比數(shù)列公比為在收斂性的討論中,我們已假定差分方程是精確求解的,但實(shí)際情況并非如此.例如,初始數(shù)據(jù)可能存在誤差,計(jì)算過程中也不可避免地產(chǎn)生計(jì)算舍入誤差,這些誤差的傳播和積累都會影響到數(shù)值解.那么實(shí)際計(jì)算得出的數(shù)值解能否作為精確解的近似呢?這取決于計(jì)算誤差是否可控制,這就是數(shù)值方法穩(wěn)定性的問題.定義6.26.4.2單步方法的穩(wěn)定性方法方法的階數(shù)確定區(qū)間方法方法的階數(shù)確定區(qū)間Euler方法1（-2，0）二階R-K方法2（-2，0）梯形方法2（-∞，0）三階R-K方法3（-2.51，0）改進(jìn)Euler方法2（-2，0）四階R-K方法4（-2.78，0）綜上所述，收斂性是反映差分公式本身的截斷誤差對數(shù)值解的影響；穩(wěn)定性是反映計(jì)算過程中舍入誤差對數(shù)值解的影響。單步顯式方法的穩(wěn)定性與步長密切相關(guān)，在一種步長下是穩(wěn)定的差分公式，取大一點(diǎn)步長就可能是不穩(wěn)定的，只有既收斂又穩(wěn)定的差分公式才有實(shí)用價值?！?.5線性多步方法6.5.1利用待定參數(shù)法構(gòu)造線性多步方法6.5.2利用數(shù)值積分構(gòu)造線性多步方法Adams顯式公式：Adams隱式公式：xnR-K法yn預(yù)估值校正值yn精確值y(xn)0110.11.0954461.0954450.21.1832171.1832160.31.2649121.2649110.41.3415511.3416411.3416410.51.4140451.4142131.4142140.61.4830171.4832391.4832400.71.5489171.5491921.5491930.81.6121141.6124501.6124520.91.6729141.6733181.6733201.01.7315661.7320481.732051預(yù)校算式每一步只需重新計(jì)算f(x,y)的函數(shù)值二次，因此比四階標(biāo)準(zhǔn)R-K公式的計(jì)算量小。其缺點(diǎn)是要用其他方法計(jì)算起始值，計(jì)算過程中改變步長困難。§6.6常微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法

一階常微分方程初值問題的數(shù)值方法，原則上都可推廣到一階方程組和高階方程情形。6.6.1一階常微分方程組的數(shù)值解法考慮一階常微分方程初值問題其四階R-K方法為：6.6.2化高階方程為一階方程組xnynzny(xn)|y(xn)-yn|0.0-0.40000000-0.60000000-0.4000000000.1-0.46173334-0.63163124-0.461732973.7×10-70.2-0.52555988-0.64014895-0.525559058.3×10-70.3-0.58860144-0.61366381-0.588600051.39×10-60.40.64661231-0.53658203-0.646610282.03×10-60.5-0.69356666-0.38873810-0.693563952.71×10-60.6-0.72115190-0.14438087-0.721148493.41×10-60.7-0.718152950.2289