結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算的蒙特卡羅法(第二次)

ch5結(jié)構(gòu)可靠度計算的蒙特卡羅法5.1蒙特卡羅法概述5.2蒙特卡羅法的優(yōu)缺點5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法的精度5.4隨機變量的抽樣5.5蒙特卡羅法計算可靠指標(biāo)舉例5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.1蒙特卡羅法概述

對于設(shè)計階段的結(jié)構(gòu)，其功能函數(shù)及所包含變量的統(tǒng)計特征都是已知的，通過某種方法,根據(jù)已知的概率特性(統(tǒng)計特征），產(chǎn)生大量設(shè)計變量的樣本值，將其代入功能函數(shù)，“計算”結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，并對計算結(jié)果進行分析統(tǒng)計,直接計算其失效概率。5.1.1蒙特卡羅（隨機模擬法）的基本思想5.1.2對蒙特卡羅法簡明的理解1.已知2.用某種方法產(chǎn)生樣本3.計算結(jié)構(gòu)的狀態(tài)當(dāng)然，樣本的統(tǒng)計特征應(yīng)與已知值一致。統(tǒng)計時以為失效。5.1.3蒙特卡羅（隨機模擬法）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)利用隨機模擬方法研究結(jié)構(gòu)安全問題是一種很自然的方法，因為結(jié)構(gòu)建造和使用本身就是一個隨機實驗。在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，由于設(shè)計變量存在著不確定性，其具體的量值是未知的，只能通過對以往實驗、實測和調(diào)查資料的統(tǒng)計分析，從概率角度來推斷結(jié)構(gòu)未來的性狀；在結(jié)構(gòu)建成并使用到設(shè)計規(guī)定期后，設(shè)計中所用的變量都成了規(guī)定值，結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)也完全得以確定（完好或失效）；所以結(jié)構(gòu)從建造到使用期內(nèi)的表現(xiàn)，就是對所設(shè)計結(jié)構(gòu)的一次隨機實驗結(jié)果。5.1.4蒙特卡羅（隨機模擬法）

法的的數(shù)學(xué)描述從數(shù)學(xué)的角度描述為：1.利用隨機抽樣以獲得每一個變量的樣本值：，，…

，2.根據(jù)上述抽樣值，計算功能函數(shù)的值Z：3.進行了N次這樣的試驗（抽樣），則失效概率可由下式近似給出：

顯而易見，在蒙特卡羅法中，失效概率就是結(jié)構(gòu)失效次數(shù)占總試驗次數(shù)的比例，這就是該方法的基本出發(fā)點。5.2蒙特卡羅法研究結(jié)構(gòu)可靠度的優(yōu)缺點優(yōu)點：回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不需要考慮極限狀態(tài)曲面的復(fù)雜性。缺點：計算工作量大（借助于計算機）現(xiàn)狀：不作為一種常規(guī)的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法來使用，只是用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析（國防、航天領(lǐng)域）。抽樣模擬多少次？如何隨機抽樣？如何保證樣本與實際情況大體相符合？5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法精度結(jié)論：精度與抽樣模擬總數(shù)有關(guān)。換句話說，要想提高精度，必須將抽樣模擬總數(shù)提高5.4隨機變量的抽樣

抽樣方法：首先產(chǎn)生在開區(qū)間（0，1）上的均勻樣本值（隨機數(shù)），在此基礎(chǔ)上通過一定的計算再變換成給定分布變量的隨機數(shù)。5.4.1隨機數(shù)的產(chǎn)生產(chǎn)生隨機數(shù)的方法隨機數(shù)表：將利用某種方法（高速轉(zhuǎn)盤、電子裝置）產(chǎn)生的隨機數(shù)記錄于磁盤中，使用時輸入計算機即可（一些數(shù)學(xué)手冊中還附有隨機數(shù)表）。物理方法：由物理隨機數(shù)發(fā)生器（安裝在計算機上）將具有隨機性質(zhì)的物理過程變換為隨機數(shù)。是真正的隨機數(shù)，不會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，但不便于對結(jié)果復(fù)查，也不便于對不同方法進行對比，且發(fā)生器的穩(wěn)定性檢查和維護是一項繁瑣的工作，該法不常用。數(shù)學(xué)方法：根據(jù)數(shù)論方法通過數(shù)學(xué)遞推公式運算來實現(xiàn)。速度快，即產(chǎn)即用，可重復(fù)生產(chǎn)。會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象且隨機數(shù)之間存在一定的相關(guān)性，被稱謂偽隨機數(shù)。數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機數(shù)用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機數(shù)”，由于是按確定的算法計算出來的，所以并不是真正的隨機數(shù)，但如果計算方法選擇得當(dāng)，它們就近似地是相互獨立和均勻分布的，經(jīng)得起數(shù)理統(tǒng)計中的獨立性檢驗和均勻分布檢驗。鑒于此，人們把這種數(shù)叫作偽隨機數(shù)。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機數(shù)”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余法。對偽隨機數(shù)的檢驗用這種方法產(chǎn)生的偽隨機數(shù)能否作為（0-1）均勻分布的隨機數(shù)，需要進行檢驗。可在計算機上產(chǎn)生序列，然后用統(tǒng)計檢驗方法檢驗其獨立性和均勻性。應(yīng)用《數(shù)理統(tǒng)計》的知識5.4.2隨機變量的抽樣實際工程中，所涉及的隨機變量并不服從0-1均勻分布，因此需要研究其它分布類型的隨機變量樣本值的產(chǎn)生方法?！赏ㄟ^0-1均勻分布的適當(dāng)變換得到。下面介紹幾種常用的方法連續(xù)型隨機變量的抽樣方法——反函數(shù)法、隨機變量函數(shù)法、舍選法離散型隨機變量的抽樣方法I用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機變量的抽樣基本思想：r為（0-1）均勻分布的隨機數(shù)，如果隨機變量X的概率分布函數(shù)為FX(x),則對于給定的分布函數(shù)值FX(x)=r,x的值為x=FX-1(r)1.連續(xù)型隨機變量的抽樣方法其合理性評述1）

FX(x)=r；（2）x的分布；（3）作為隨機數(shù)的可信性。I用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機變量的抽樣這就意味著,如果（r1,r2,…rn)是R的一組值，則相應(yīng)得到一組值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具有分布FX(x)。FX(x)=rI反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機變量的抽樣的實例例4-2產(chǎn)生具有指數(shù)分布概率密度的一個抽樣。設(shè)I反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機變量的抽樣——實例例4-3產(chǎn)生極值I型漸進分布的一個抽樣設(shè)同樣可以得到：II隨機變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機數(shù)基本思想：設(shè)隨機變量X是其它隨機變量Y1,Y2,…Yn的函數(shù)，即X=g(Y1,Y2,…Yn),如果能容易的產(chǎn)生Y1,Y2,…Yn的隨機數(shù)y1,y2,…yn,則可得X的隨機數(shù)x=g(y1,y2,…yn)II隨機變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機數(shù)——舉例例4-4X1,X2是兩個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的隨機變量；R1,R2是兩個相互獨立的（0，1）均勻分布隨機變量，試產(chǎn)生N(μ,σ)的隨機數(shù)。（1）可以證明右式成立（2）根據(jù)上式，由（0-1）均勻分布隨機數(shù)，再產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)。（3）再由下式得到正態(tài)分布N(μ,σ)

隨機數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與均勻分布隨機變量之間的關(guān)系。正態(tài)分布y與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x之間的關(guān)系。當(dāng)樣本點落入概率密度曲線下面時，抽樣結(jié)果才有效。III舍選法產(chǎn)生隨機數(shù)——圖示III舍選法產(chǎn)生隨機數(shù)——舉例例4.5產(chǎn)生某鋼筋屈服強度的5個樣本值。統(tǒng)計顯示鋼筋屈服強度符合上下有界的貝塔分布。貝塔分布的概率密度函數(shù)為據(jù)統(tǒng)計由于貝塔分布的分布函數(shù)不能用顯式表達——采用舍選法。（1）確定概率密度函數(shù)的最大值據(jù)得從而（2）鋼筋屈服強度樣本值的產(chǎn)生過程產(chǎn)生隨機數(shù)產(chǎn)生樣本值產(chǎn)生隨機數(shù)取舍選定的樣本6.0349x10-3229.2077.5437x10-16.3940x10-4舍

2.9639x10-1287.27994.9929x10-29.3402x10-1取287.2799

2.4123x10-1276.24631.5392x10-17.9053x10-1取276.2463

2.4082x10-1276.16481.03x10-17.8920x10-1取276.1648

8.7616x10-1403.23335.2079x10-11.3442x10-1舍3.5622x10-1299.24445.2774x10-19.9861x10-1取299.2444

5.3020x10-1334.04012.7505x10-17.2184x10-1取334.0401

用該法繼續(xù)產(chǎn)生樣本值1000個，發(fā)現(xiàn)III舍選法產(chǎn)生隨機數(shù)——評價2.離散型隨機變量的抽樣方法結(jié)構(gòu)可靠度分析中存在離散隨機變量的情況：設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)可變荷載的變化次數(shù)；建筑場地一定時期內(nèi)地震的次數(shù)等。

P設(shè)隨機變量的分布律為：定義（1）一般離散型隨機變量的抽樣方法產(chǎn)生隨機數(shù)r，計算滿足條件的i值，所對應(yīng)的即為離散型隨機變量的一個樣本。該法適用于任何離散型隨機變量的情況（2）泊松分布的抽樣方法（常見的離散型隨機變量：活載變化次數(shù)、地震次數(shù)均可用此描述）N服從泊松分布，則其取值為n的概率為若產(chǎn)生隨機數(shù)滿足條件的n值，即為隨機變量N的一個樣本值。建筑結(jié)構(gòu)樓面持久活荷載是一個與時間有關(guān)的隨機過程，（即荷載變化的次數(shù)和大小是隨機的），用泊松過程來描述荷載變化的次數(shù)N，即T為設(shè)計基準(zhǔn)期，一般為50年；

為活荷載單位時間內(nèi)的平均變化次數(shù)據(jù)以往統(tǒng)計居民搬家平均一次/8年例4-5試產(chǎn)生設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)樓面荷載變化次數(shù)的5個樣本值解（1）設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)樓面荷載的平均變化次數(shù)(2)首先產(chǎn)生隨機數(shù)r，然后按公式確定荷載變化次數(shù)的樣本值5.5蒙特卡羅法求解失效概率實例例4-5設(shè)某構(gòu)件正截面承載力計算的極限狀態(tài)方程為Z＝g(R,S)=R-S=0，R、S分別為正態(tài)和極值I型分布的隨機變量，其統(tǒng)計參數(shù)為R（100，20），S（80，24）。試用蒙特卡羅法求解其失效概率。5.5蒙特卡羅法求解失效概率實例4-5（一般抽樣）2.產(chǎn)生R的隨機數(shù)（R為正態(tài)分布）1.產(chǎn)生（0-1）均勻分布的隨機數(shù)3.產(chǎn)生S的隨機數(shù)（S為極值I型分布）4.將變量的隨機值代入功能函數(shù)，計算g＝R-S5.重復(fù)1～4，記錄下g<0的次數(shù)L和總次數(shù)N由（0-1）均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布隨機數(shù)5.5蒙特卡羅法求解失效概率實例4-5（一般抽樣）當(dāng)停止N1002003004005006007008009001000L26477295117138157177201224失效概率0.260.2350.240.23750.2340.230.22430.22130.22330.224Z＝g(R,S)=R-S蒙特卡羅法求解失效概率實例4-6（一般抽樣）X1服從對數(shù)正態(tài)分布，平均值和變異系數(shù)分別為：X2服從極值I型分布，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：X3服從韋布爾分布，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：已知結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為：求結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)三種分布的密度函數(shù)對數(shù)正態(tài)分布極值I型分布韋布爾分布1求分布函數(shù)（1）對于服從正態(tài)分布的X1有：（2）對于服從極值I型分布的X2有：依據(jù)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，以及對數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系代入即可求出代入即可求出1求分布函數(shù)（3）對于服從韋爾布型分布的X3有：將代入上式，得代入即可求出2.產(chǎn)生隨機數(shù)r，利用反函數(shù)法產(chǎn)生樣本（1）產(chǎn)生隨機數(shù)r1，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X1的樣本（2）產(chǎn)生隨機數(shù)r2，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X2的樣本2.產(chǎn)生隨機數(shù)r，利用反函數(shù)法產(chǎn)生樣本（3）產(chǎn)生隨機數(shù)r3，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X3的樣本（4）將第1次產(chǎn)生的隨機數(shù)，得到的第1樣本，代入功能函數(shù)可計算其值否則若（5）將第2次產(chǎn)生的隨機數(shù)，代入產(chǎn)生第二個樣本，代入功能函數(shù)可計算其值重復(fù)計算10000次，出現(xiàn)失效次數(shù)18次評述對于小概率事件的結(jié)構(gòu)失效問題，用蒙特卡羅法導(dǎo)致很大的計算量，因此（直接的）蒙特卡羅法對于結(jié)構(gòu)可靠度不高即失效概率較大的情況，有較高的效率。如何提高蒙特卡羅法的抽樣效率，成為該方法要解決的主要問題。1.5.6.1引言（1）同心圓表示聯(lián)合概率密度函數(shù)的等值線，黑點為聯(lián)合概率密度函數(shù)的最大值點，即最大似然點，該點一般在隨機變量的平均值附近。（2）當(dāng)按一般抽樣方法進行隨機抽樣時，樣本點落在最大似然點處的概率最大，所以抽樣的樣本點大部分落在該點附近。（3）按照結(jié)構(gòu)安全設(shè)計的要求，結(jié)構(gòu)失效為小概率事件，也就是設(shè)計結(jié)構(gòu)時，要使最大似然點在可靠域內(nèi)，且遠離失效邊界。5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6.1.引言（4）在這種情況下，模擬中只有少數(shù)或極少數(shù)（取決于失效概率的大?。┑臉颖韭淙胧в?，落入失效域的樣本點越少，失效概率估計值的不確定性越大，從而精度越低。例如當(dāng)進行了一定次數(shù)的模擬后仍然沒有一個樣本點落入失效域，則失效概率的估計值為0，顯然不能反映結(jié)構(gòu)失效概率的真實結(jié)果。（5）提高抽樣效率的途徑是縮減失效概率估計值的方差，為此發(fā)展了多種高效抽樣方法，其中重要抽樣法應(yīng)用最廣。根據(jù)概率論及泛函的知識可以得到，使失效概率估計值方差最小的重要抽樣函數(shù)為上式表示的抽樣函數(shù)是以功能函數(shù)小于0為條件的概率密度函數(shù)，在這一條件下，抽樣的樣本點必然會落入失效域內(nèi)。重要抽樣法的理論基礎(chǔ)用該抽樣函數(shù)可得到了失效概率精確值，即失效概率估計值的方差為0。事實上，由于該抽樣函數(shù)包括未知項，無法使用，但對于構(gòu)造其它形式的重要抽樣函數(shù)提供了啟示。5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6.2.基本概念所謂重要抽樣法，就是通過改變抽樣中心的位置或是用新的概率分布對隨機變量進行抽樣，來估計失效概率的值，從而達到縮減方差的目的。理論分析表明，只要做到以下2點均能提高抽樣效率：（1）構(gòu)造的抽樣函數(shù)要保證有一定數(shù)量的樣本點落入失效域內(nèi)；（2）構(gòu)造抽樣函數(shù)時，如能考慮極限狀態(tài)曲面的形狀，就會使抽樣效率得到提高。從這兩個基本原則出發(fā)，目前已發(fā)展了多種重要抽樣方法：直接重要抽樣法、更新重要抽樣法、漸進重要抽樣法和方向重要抽樣法。5.6.3直接重要抽樣法的思路從兩方面考慮，一是增大樣本點落入失效域的機會；二是使示性函數(shù)具有較大的權(quán)重（——不考慮極限狀態(tài)曲面形狀時提高抽樣效率的方法）。具體做法：將重要抽樣隨機變量的中心（即平均值）選在對結(jié)構(gòu)影響最大的點（該點可通過理論分析確定，具體見有關(guān)文獻，也可選在依據(jù)一次二階距分析得到的驗算點）上，而重要抽樣隨機變量的方差可以取原隨機變量的方差，概率分布可以取原來的概率分布，也可以取為其它便于抽樣的分布（實際分析中，多取為正態(tài)分布，因為其有許多標(biāo)準(zhǔn)抽樣方法且具有良好的性能）。5