晶列晶面指數(shù)倒格空間

§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞空間點(diǎn)陣(晶格)定義：晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地作周期性的無(wú)限分布，這些點(diǎn)子的總體稱(chēng)為點(diǎn)陣(晶格)。結(jié)點(diǎn)：代表結(jié)構(gòu)中相同的位置。每個(gè)結(jié)點(diǎn)周?chē)那闆r都一樣，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)都是等價(jià)的。基元：一種或數(shù)種原子構(gòu)成的基本的結(jié)構(gòu)單元，結(jié)點(diǎn)代表基元中任意的點(diǎn)子，通常代表基元的重心。點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)概括了晶體的周期性點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)基元§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

布拉菲格子（Bravaislattice）：布拉菲格子是矢量§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞原胞：晶體中最小的周期性重復(fù)單元，當(dāng)平移布喇菲格子所有的格點(diǎn)，將精確地填滿(mǎn)整個(gè)空間，沒(méi)有重疊也沒(méi)有遺漏。一個(gè)原胞沿三維方向的重復(fù)排列構(gòu)成晶體。可分為:固體物理學(xué)原胞:只要求反映周期性的特征（即只須概括空間三個(gè)方向上的周期大?。梢匀∽钚〉闹貜?fù)單元，結(jié)點(diǎn)只在頂點(diǎn)上，內(nèi)部和面上皆不含其他結(jié)點(diǎn)。結(jié)晶學(xué)原胞:

周期性和對(duì)稱(chēng)性原胞的選取是不唯一的，原則上講只要是最小周期性單元都可以，但實(shí)際上各種晶格結(jié)構(gòu)已有習(xí)慣的原胞選取方式?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞WS原胞:

固體物理學(xué)原胞并不能反映晶格的全部宏觀對(duì)稱(chēng)性，為此，威格納和塞茲提出了另一種原胞，稱(chēng)為威格納—塞茲原胞，簡(jiǎn)寫(xiě)為WS原胞。

如圖所示，若選定某一格點(diǎn)，從格點(diǎn)出發(fā)連接其它鄰近的格點(diǎn)并作這些連線的中垂面，則被這些中垂面所圍成的多面體就是WS原胞。

顯然，WS原胞也只包含一個(gè)格點(diǎn)，因此它與固體物理學(xué)原胞的體積一樣，也是最小周期性重復(fù)單元。原胞常取以基矢為棱邊的平行六面體，體積為：

上述取法只是原胞的習(xí)慣取法，但原則上原胞可以任意多種取法，只要滿(mǎn)足是晶體的最小重復(fù)單元這個(gè)條件。無(wú)論如何選取，原胞均有相同的體積，每個(gè)原胞含有一個(gè)格點(diǎn)。對(duì)有限大的晶體（非理想晶體），所含原胞和格點(diǎn)數(shù)相等?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞艾舍爾荷蘭著名版畫(huà)大師§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞定義：（１）布喇菲格子：基元只含有一個(gè)原子的晶格，或晶格中每個(gè)原子周?chē)闆r都一樣。（２）復(fù)式格子：基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的晶格，或晶格中至少有兩類(lèi)原子，其周?chē)闆r不一樣?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞例：一維布喇菲格子

定義：由一種原子組成的一維無(wú)限周期性點(diǎn)列，周期為a。原胞：長(zhǎng)為a的一根直線段，原子在其兩端點(diǎn)。每個(gè)原胞含一個(gè)原子。原子晶格物理性質(zhì)周期性（平移對(duì)稱(chēng)性）：

Γ(x+na)=Γ(x)上式表示原胞中任一處x的物理性質(zhì)，同另一原胞相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞例：一維復(fù)式格子

定義：晶格中含有n(n≥2)類(lèi)原子，其周?chē)闆r不一樣，它們組成一維無(wú)限周期性點(diǎn)列，周期為a。晶體由同一種原子構(gòu)成，但原子周?chē)闆r并不相同，亦是復(fù)式格子。原胞：長(zhǎng)為a的一根直線段，一類(lèi)原子在其兩端點(diǎn)，其余原子在線段上。每個(gè)原胞含n個(gè)原子。周期性：Γ(x+na)=Γ(x)§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞ABaa我們具體討論三個(gè)具有不同“點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性”的三維布喇菲格子原胞:(1)簡(jiǎn)立方(2)體心立方(3)面心立方(1)簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)單立方晶格的原子在立方體的頂角上，立方單元就是最小的周期性單元，晶格基矢沿三個(gè)立方邊，長(zhǎng)短相等，三個(gè)基矢可以寫(xiě)成：a1＝ai,a2=aj,a3=ak

§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

原胞體積：a3

。

自然界中幾乎沒(méi)有哪一種晶體原子是按簡(jiǎn)立方排列，卻有不少?gòu)?fù)式格子的晶體可以看作是由簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)的子晶格穿套而成的。下面將要介紹的氯化銫結(jié)構(gòu)即為一典型的例子?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(2)體心立方

體心立方是一種布拉菲格子，位于頂角和體心上的同種原子是完全等價(jià)的，它們具有完全相同的周?chē)h(huán)境，實(shí)際晶體是立方單元的重復(fù)延伸。體心立方晶格的立方體單元不是最小的周期性單元。在體心立方晶格中，可以由一個(gè)立方體項(xiàng)點(diǎn)到最近的三個(gè)體心得到晶格基矢a1、a2、a3，，以它們棱形成的平行六面體構(gòu)成原胞。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞原胞的體積為:

?=a1

?(a2xa3)=a3/2

為立方單元的一半。體心立方晶格中的一個(gè)立方單元體積中，包含有兩個(gè)原子，因而所構(gòu)成的平行六面體是最小周期性單元。

a1=a/2(-i+j+k)

a2=a/2(i-j+k)a3=a/2(i+j-k)三個(gè)晶格基矢可以寫(xiě)成：

§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

a1=a/2(i+j)a2=a/2(j+k)a3=a/2(k+i)(3)面心立方

面心立方也是一種布拉菲格子，因?yàn)樘幱诿嫘牡脑优c處于頂角的同種原子是完全等價(jià)的。通常取原胞基矢（如圖）為：它們是由一個(gè)頂角到同屬一個(gè)立方單元的三個(gè)相鄰面心的矢量。容易驗(yàn)證由這三個(gè)基矢圍成的原胞的體積?=a1

?(a2xa3)=a3/4，符合布拉菲格子原胞基矢的要求。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞幾種典型的晶體結(jié)構(gòu)（復(fù)式格子）(1)氯化鈉結(jié)構(gòu)(2)氯化銫結(jié)構(gòu)(3)金剛石結(jié)構(gòu)(4)閃鋅礦結(jié)構(gòu)(5)碳60晶體結(jié)構(gòu)§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(1)氯化鈉結(jié)構(gòu)（堿金屬鹵化物晶體）氯化鈉NaCl是由氯離子和鈉離子結(jié)合而成，是典型的離子晶體。它好象是一個(gè)立方晶格，但每一行上相間地排列著正鈉離子和負(fù)的氯離子。

固體物理學(xué)原胞基矢就是面心立方的基矢，原胞內(nèi)包含兩個(gè)異號(hào)離子（氯離子和鈉離子）。

注意：不要將這種結(jié)構(gòu)視為原胞邊長(zhǎng)為a/2的簡(jiǎn)立方，因?yàn)槁入x子和鈉離子是不等價(jià)的。

由氯離子和鈉離子組成的兩個(gè)面心立方晶格，彼此沿立方體邊錯(cuò)開(kāi)a/2的距離而穿套。a為立方體邊長(zhǎng)。子晶格為面心立方的復(fù)式格子晶體結(jié)構(gòu)。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(2)氯化銫結(jié)構(gòu)

氯化銫（CsCl）晶胞是復(fù)式格子，與體心立方相仿，只是體心位置為一種離子，頂角為另一種離子。如果把整個(gè)晶格畫(huà)出來(lái)，體心位置和頂角位置實(shí)際上完全等效，各占一半，正好容納數(shù)目相等的正、負(fù)離子。氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方的子晶格彼此沿立方體空間對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成，它的固體物理學(xué)原胞是簡(jiǎn)立方（原胞內(nèi)包含兩個(gè)異號(hào)離子），因此稱(chēng)氯化銫結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞注意：按固體物理的觀點(diǎn)，復(fù)式格子總是由若干相同結(jié)構(gòu)的子晶格互相位移套構(gòu)而成，說(shuō)結(jié)構(gòu)，取原胞都是對(duì)布喇菲格子而言。因此:氯化鈉型的結(jié)構(gòu)是面心立方（而不是簡(jiǎn)立方）；氯化銫結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)立方（而不是體心立方）

?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(3)金剛石結(jié)構(gòu)典型的、也是極為重要的晶體結(jié)構(gòu)，因?yàn)橹匾陌雽?dǎo)體材料鍺和硅就具有這種形式的結(jié)構(gòu)。金剛石結(jié)構(gòu)也可以用一立方單元表達(dá)。結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：碳原子除去占有立方體的頂角與面心外，還有四個(gè)碳原子分別占據(jù)四條體對(duì)角線上距頂角處，即對(duì)角線長(zhǎng)度的1/4處，a為立方單元邊長(zhǎng)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞每個(gè)原子有四個(gè)最近鄰，這四個(gè)最近鄰原子處在正四面體的頂角上，這是金剛石結(jié)構(gòu)的一個(gè)突出特點(diǎn)。最近鄰原子間的距離正好也就是體對(duì)角線長(zhǎng)度的1/4。金剛石結(jié)構(gòu)并不是布拉菲格子，因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)原子雖然相同卻并不等價(jià)。例如A和A‘原子?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)可看作兩個(gè)面心立方子晶格沿立方體對(duì)角線平移1/4對(duì)角線長(zhǎng)度相互穿套而成。（位于立方體頂角與面心的原子等價(jià)，位于體對(duì)角線上的原子也是等價(jià)的。）金剛石的布拉菲格子是面心立方結(jié)構(gòu)所以稱(chēng)金剛石的結(jié)構(gòu)是面心立方格子，一個(gè)晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子。固體物理學(xué)原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中包含兩個(gè)不等價(jià)的原子?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞1/201/201/201/2003/41/43/41/4原子在金剛石結(jié)構(gòu)立方晶胞中的位置分布圖圖中分?jǐn)?shù)值表示以立方體邊長(zhǎng)為單位，其原子處在基面上方的高度?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(4)閃鋅礦（立方ZnS）型結(jié)構(gòu)如果在金剛石結(jié)構(gòu)中，頂角與面心處為硫離子，而在立方單元的內(nèi)部為鋅離子，就形成閃鋅礦型結(jié)構(gòu)。閃鋅礦型結(jié)構(gòu)為由硫離子和鋅離子各自構(gòu)成的面心立方子晶格沿立方體對(duì)角線平移1/4長(zhǎng)度相互錯(cuò)開(kāi)穿套而成。其基由一對(duì)硫離子與鋅離子組成。許多重要的化合物半導(dǎo)體，如銻化銦、砷化鎵等都是閃鋅礦型結(jié)構(gòu)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(5)碳60晶體結(jié)構(gòu)（Fuller烯結(jié)構(gòu)）碳60是20世紀(jì)90年代初發(fā)現(xiàn)的由60個(gè)碳原子結(jié)合而成的分子，具有類(lèi)似于足球形狀的籠形結(jié)構(gòu)。分子直徑約為10.9納米。以碳60分子作基形成的晶體相應(yīng)的空間格子是面心立方。由60個(gè)面心立方子晶格穿套而成的復(fù)式格子，每個(gè)原胞內(nèi)均包含一個(gè)碳60分子?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞結(jié)構(gòu)類(lèi)別基元中原（離）子數(shù)點(diǎn)陣子格子數(shù)SC結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單1SC點(diǎn)陣1個(gè)格子BCC結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單1BCC點(diǎn)陣1個(gè)格子FCC結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單1FCC點(diǎn)陣1個(gè)格子金剛石結(jié)構(gòu)復(fù)式2FCC點(diǎn)陣2個(gè)格子NaCl結(jié)構(gòu)復(fù)式2FCC點(diǎn)陣2個(gè)格子CsCl結(jié)構(gòu)復(fù)式2SC點(diǎn)陣2個(gè)格子ZnS結(jié)構(gòu)復(fù)式2FCC點(diǎn)陣2個(gè)格子HCP結(jié)構(gòu)復(fù)式2簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣2個(gè)格子ABO3結(jié)構(gòu)復(fù)式5SC點(diǎn)陣5個(gè)格子§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞AOB3晶體結(jié)構(gòu)（鈣鈦礦CaTiO3結(jié)構(gòu)）重要的介電晶體具有類(lèi)似的結(jié)構(gòu):鈦酸鋇（BaTiO3

）、鋯酸鉛（PbZrO3

）等。立方體頂角上是鋇，體心是鈦、面心上是三組氧。五個(gè)簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)子晶格套構(gòu)而成?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞習(xí)題：P41,1（1），（2），（3）結(jié)構(gòu)的致密度：晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.4晶列晶面指數(shù)晶體的基本特征是具有方向性，沿晶體的不同方向，晶體性質(zhì)不同。聯(lián)結(jié)任意二個(gè)格點(diǎn)的一條直線上包含無(wú)限個(gè)相同格點(diǎn)，這樣的一條直線稱(chēng)為晶列。同一個(gè)格子可以形成方向不同的晶列。

每一個(gè)晶列定義了一個(gè)方向，稱(chēng)為晶向，它的確定依賴(lài)于晶體單胞的基矢。

所有與該晶列平行的全同晶列（有無(wú)窮多個(gè)）的集合稱(chēng)為晶列族。1、晶列和晶列族

晶列族2、標(biāo)示晶列的方法：

固體物理學(xué)原胞基矢表示：

取晶列上的某個(gè)原子或格點(diǎn)為原點(diǎn)O

同一列上的另一個(gè)原子A的位置矢量可表示為（任一格矢）

Rl=l1a1+l2a2+l3a3

若l1l2l3是互質(zhì)整數(shù)，則［l1l2l3］表征了晶列的方向，稱(chēng)為晶向指數(shù)。A§1.4晶列晶面指數(shù)結(jié)晶學(xué)原胞基矢表示a、b、c為坐標(biāo)系三個(gè)軸，任一格矢

a、b、c并非原胞基矢，故m’n’p’并不一定是一組整數(shù)；但m’n’p’是有理數(shù)，可以取三個(gè)互質(zhì)整數(shù)m、n、p,使m:n:p=m’:n’:p’，則［m、n、p］表征了晶列的方向，稱(chēng)為晶列的指數(shù)?！?.4晶列晶面指數(shù)(0,1,1)(1,0,0)§1.4晶列晶面指數(shù)

晶向上原子排列規(guī)律相同但空間方位不同的晶向?qū)儆谕痪蜃澹?lt;uvw>表示。

立方邊一共有六個(gè)不同的晶向，如圖：§1.4晶列晶面指數(shù)由于晶格的對(duì)稱(chēng)性，晶體在這六個(gè)晶向方向上的性質(zhì)是完全等效的，通常寫(xiě)成<100>。同理，沿立方體對(duì)角線的晶向共有8個(gè)，統(tǒng)稱(chēng)這些晶向時(shí)，寫(xiě)成<111>。

面對(duì)角線的晶向共有12個(gè)，只注明其中一個(gè)的晶向指數(shù)，寫(xiě)成<110>?！?.4晶列晶面指數(shù)描述一個(gè)平面的方位:在一個(gè)坐標(biāo)系中表示出該平面的法線的方向余弦；或者表示出這平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距。2、晶面和晶面族

定義:

布喇菲格子的格點(diǎn)還可以看成分布在一系列平面簇上，這個(gè)平面簇即晶面，用晶面指數(shù)(hkl)表示?！?.4晶列晶面指數(shù)

設(shè)某一族晶面的面間距為d，它的法線方向的單位矢量為n。這族晶面中，離開(kāi)原點(diǎn)的距離等于μd的晶面的方程式為晶面的表示選取某一格點(diǎn)為原點(diǎn)，原胞的三個(gè)基矢a1、a2、a3為坐標(biāo)系的三個(gè)軸，這三個(gè)軸不一定相互正交。μ為整數(shù)，x是晶面上任意點(diǎn)的位矢?！?.4晶列晶面指數(shù)設(shè)此晶面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的截距分別為：ra1、sa2、ta3,依次代入上式就得到：取a1、a2、a3為沿三個(gè)軸的自然的長(zhǎng)度單位，得：§1.4晶列晶面指數(shù)晶面的法線方向n與三個(gè)坐標(biāo)軸（基矢）的夾角的余弦之比等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比?！?.4晶列晶面指數(shù)

截距為（r，s，t）的晶面族中，總有兩個(gè)晶面分別通過(guò)基矢的兩端，從而這個(gè)晶面族把基矢分別截成個(gè)等長(zhǎng)的小段。晶面指數(shù)與截距的關(guān)系

由方程（2）就得到第一晶面滿(mǎn)足的方程組：由圖可以看出，該晶面系中離原點(diǎn)最近的晶面（μ

＝1）的截距分別是

§1.4晶列晶面指數(shù)晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角余弦之比等于三個(gè)整數(shù)之比?！?.4晶列晶面指數(shù)系數(shù)的倒數(shù)通常用從原點(diǎn)算起的第一個(gè)晶面的截距

使用r.s.t的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)比(h1h2h3)，可以避免當(dāng)晶面與某軸平行時(shí)出現(xiàn)的無(wú)窮大。標(biāo)志這一族晶面，記為稱(chēng)為該族晶面的晶面指數(shù)。§1.4晶列晶面指數(shù)晶面族的兩種標(biāo)示方法：

晶面族的標(biāo)示方法一：以固體物理學(xué)原胞基矢a1、a2、a3為坐標(biāo)系三個(gè)軸，用晶面族的法線的方向余弦(h1h2h3)來(lái)標(biāo)示晶面，稱(chēng)為該晶面族的晶面指數(shù)。

晶面族的標(biāo)示方法二：以結(jié)晶學(xué)原胞基矢a、b、c為坐標(biāo)系三個(gè)軸，用晶面族的法線的方向余弦(hkl)來(lái)標(biāo)示晶面，稱(chēng)為該晶面族的密勒指數(shù)?！?.4晶列晶面指數(shù)對(duì)晶面指數(shù)需作如下說(shuō)明：

h、k、l分別與X、Y、Z軸相對(duì)應(yīng)，不能隨意更換其次序。

若某一數(shù)為0，則表示晶面與該數(shù)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸是平行的。例如(h0l)表明該晶面與Y軸平行。若截某一軸為負(fù)方向截距，則在其相應(yīng)指數(shù)上冠以“-”號(hào)。

在晶體中任何一個(gè)晶面總是按一定周期重復(fù)出現(xiàn)的，它的數(shù)目可以無(wú)限多，且互相平行，故均可用同一晶面指數(shù)（hkl）表示。所以（hkl）并非只表示一個(gè)晶面，而是代表相互平行的一組晶面。§1.4晶列晶面指數(shù)

h、k、l分別表示沿三個(gè)坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度范圍內(nèi)所包含的該晶面的個(gè)數(shù)，即晶面的線密度（比例關(guān)系）。例如，(123)表示在X軸的單位長(zhǎng)度內(nèi)有1個(gè)該晶面，在Y軸單位長(zhǎng)度內(nèi)有2個(gè)該晶面，而在Z軸單位長(zhǎng)度內(nèi)有3個(gè)該晶面，而其中距原點(diǎn)最近的晶面在三坐標(biāo)軸上的截距為1、1/2、1/3。

在晶體中有些晶面具有共同的特點(diǎn)，其上原子排列和分布規(guī)律是完全相同的，晶面間距也相同，唯一不同的是晶面在空間的位向，這樣的一組等同晶面稱(chēng)為一個(gè)晶面族，用符號(hào){hkl}表示?！?.4晶列晶面指數(shù)例：晶面ABC沿單胞基矢方向的截距分別為4a,b和c，系數(shù)倒數(shù)比為1/4：1：1＝1：4：4，因而其密勒指數(shù)即為。晶面A’B’C’D’的截距為2a,4b與∞c，因而其密勒指數(shù)為；晶面EFG的密勒指數(shù)則應(yīng)為§1.4晶列晶面指數(shù)

用一組花括號(hào)來(lái)表示不同指數(shù)的等價(jià)晶面族例如:｛100｝可以代表立方對(duì)稱(chēng)晶體的（100）、（010）與（001）三組等價(jià)的晶面族。

｛111｝則可概括立方晶體的四組等價(jià)晶面族。§1.4晶列晶面指數(shù)§1.4晶列晶面指數(shù)上圖中所標(biāo)出的晶面a1b1c1，相應(yīng)的截距為1/2、1/3、2/3，其倒數(shù)為2、3、3/2，化為簡(jiǎn)單整數(shù)為

4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指數(shù)為(463)。§1.4晶列晶面指數(shù)在立方系中，晶面族中所包含的各晶面其晶面指數(shù)的數(shù)字相同，但數(shù)字的排列次序和正負(fù)號(hào)不同。如圖所示，在立方系中：

{100}包括：（100）、（010）、（001）；

{110}包括：

{111}包括：§1.4晶列晶面指數(shù)六方密堆積結(jié)構(gòu)與單胞示意ABAB§1.4晶列晶面指數(shù)六方晶系的一些晶向指數(shù)與晶面指數(shù)

晶體中一些晶面的密勒指數(shù)密勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面如（100）、（010）之類(lèi)，它們面上的原子聚集的密度較大，而晶面間的距離也較大。原子聚集密度較大的晶面，它們之間的距離較大，結(jié)合力較弱，因而容易分裂開(kāi)，這樣的晶面稱(chēng)為解理面。一般而言，低指數(shù)的晶列與晶面都是比較重要的。§1.4晶列晶面指數(shù)§1.5倒格空間

在固體物理學(xué)中，為了從本質(zhì)上分析固體的性質(zhì)，經(jīng)常要研究晶體中的波。根據(jù)德布羅意在1924年提出的物質(zhì)波的概念，任何基本粒子都可以看成波，也就是具備波粒二象性。這是物理學(xué)中的基本概念，在固體物理學(xué)中也是一個(gè)貫穿始終的概念：

在研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，必須分析X射線（電磁波）在晶體中的傳播和衍射；在解釋固體熱性質(zhì)的晶格振動(dòng)理論中，原子的振動(dòng)以機(jī)械波的形式在晶體中傳播；在能帶理論中，電子的空間分布以幾率波的形式描述。

波是在晶體中傳播的，所以必然受制于晶體的結(jié)構(gòu)，與晶體的對(duì)稱(chēng)性密切相關(guān)，包括我們后面就要討論的各種平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射對(duì)稱(chēng)性。本節(jié)內(nèi)容在K空間看晶體結(jié)構(gòu)倒格子倒格子基矢正格子和倒格子之間的關(guān)系

本節(jié)討論的倒格子（倒易點(diǎn)陣、倒格空間）與后面將要提及的布里淵區(qū)，就是試圖給出晶體中傳播的波的一些普遍的幾何特性。

1913年，德國(guó)人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985）為解釋X射線的單晶衍射的結(jié)果，提出了厄瓦耳球的概念，同時(shí)引進(jìn)倒易空間的概念。

倒易空間對(duì)理解衍射問(wèn)題極有幫助，更是整個(gè)固體物理的核心概念?！?.5倒格空間

一、倒格子定義是一個(gè)晶格的基矢，該點(diǎn)陣的位移矢量為：假設(shè)原胞體積是：它們的關(guān)系滿(mǎn)足：現(xiàn)在定義另一晶格的3個(gè)基矢：則稱(chēng)這兩種格子互為正倒格子。若基矢的格子為正格子，則的格子就是倒格子。反之亦然。位移矢量就構(gòu)成了倒易點(diǎn)陣?！?.5倒格空間

b1b2b3a1a2a3式中，兩組基矢滿(mǎn)足正交歸一的關(guān)系，數(shù)學(xué)地體現(xiàn)了倒易點(diǎn)陣和布喇菲點(diǎn)陣互為傅里葉空間的關(guān)系。倒易點(diǎn)陣的物理意義晶格的Fourier變換

倒易點(diǎn)陣的物理意義和在分析周期性結(jié)構(gòu)和相應(yīng)物性中作為基本工具的作用，需要我們?cè)谑褂弥兄鸩嚼斫狻ＷC明

晶體具有平移周期性，晶體中任一處的物理量F(r)也具有周期性（質(zhì)量密度、電子云密度、離子實(shí)產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)），故可寫(xiě)成：其中§1.5倒格空間

代表晶體中的平移矢（正格矢）。把F(r)展為傅里葉級(jí)數(shù)，得稱(chēng)為傅里葉系數(shù)，顯然由有§1.5倒格空間

引入即不是我們所要的結(jié)果。而相當(dāng)于§1.5倒格空間

因此有μ為整數(shù)。因?yàn)镽l是正格矢，這里把Kh稱(chēng)為倒格矢。將代入（4）式，得h1,h2,h3為整數(shù)，這樣可設(shè)倒格矢的基矢為：由于上式對(duì)任意整數(shù)l1,l2,l3成立，要求§1.5倒格空間

顯然，當(dāng)?shù)垢褡踊竍j(j=1,2,3)與正格子基矢ai(i=1,2,3)之間符合正交歸一關(guān)系（5）式自然滿(mǎn)足?！?.5倒格空間

同一物理量在正點(diǎn)陣中的表述和在倒易點(diǎn)陣中的表述之間服從Fourier變換關(guān)系。

一個(gè)物理問(wèn)題，既可以在正（實(shí)、坐標(biāo)）空間描寫(xiě)，也可以在倒空間描寫(xiě)。

正（實(shí)、坐標(biāo)）空間與倒（K）空間是不同的表象適當(dāng)?shù)倪x取一個(gè)表象，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，容易處理?！?.5倒格空間

實(shí)際上，晶體結(jié)構(gòu)本身就是一個(gè)具有晶格周期性的物理量，所以也可以說(shuō)：倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣的Fourier變換，晶體點(diǎn)陣則是倒易點(diǎn)陣的Fourier逆變換。正格子的量綱是長(zhǎng)度l,稱(chēng)作坐標(biāo)空間，倒格子的量鋼是長(zhǎng)度的倒數(shù)l-1，稱(chēng)作波矢空間。例如：正點(diǎn)陣取cm,倒易點(diǎn)陣是cm-1。倒易點(diǎn)陣是在晶體點(diǎn)陣（布拉菲格子）的基礎(chǔ)上定義的，所以每一種晶體結(jié)構(gòu)，都有2個(gè)點(diǎn)陣與其相聯(lián)系。一個(gè)是晶體點(diǎn)陣，反映了構(gòu)成原子在三維空間做周期排列的圖像；另一個(gè)是倒易點(diǎn)陣，反映了周期結(jié)構(gòu)物理性質(zhì)的基本特征。關(guān)于正空間與倒空間§1.5倒格空間

后面我們將看到：晶體的顯微圖像是真實(shí)晶體結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)空間的映像。晶體的衍射圖像則是晶體倒易點(diǎn)陣的映像。§1.5倒格空間

Ω為三維布拉菲點(diǎn)陣的原胞體積。以立方晶系為例，如為簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)，則有：

設(shè)某晶體結(jié)構(gòu)原胞的基矢為a1.a2.a3,則，二、正倒格子間的關(guān)系（1）倒格子基矢與正格子原胞基矢間關(guān)系：§1.5倒格空間

則倒格子基矢為：

簡(jiǎn)立方的倒格子在其所處的空間（倒空間）也是簡(jiǎn)立方。從關(guān)系式可知，倒格子只由正格子原胞基矢確定，而與具體正格子空間中的晶體結(jié)構(gòu)究竟是布喇菲格子還是復(fù)式格子無(wú)關(guān)。

如一復(fù)式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成，則其倒格子也就是此布喇菲格子的倒格子?！?.5倒格空間

普遍而言，正空間中的點(diǎn)陣與其倒易點(diǎn)陣屬于同一種晶系。一般正、倒點(diǎn)陣是同一種布喇菲點(diǎn)陣。例外的情況，面心和體心類(lèi)型的布喇菲點(diǎn)陣互為對(duì)方的倒易點(diǎn)陣?！?.5倒格空間

倒易點(diǎn)陣?yán)印?.5倒格空間

倒易點(diǎn)陣?yán)印?.5倒格空間

倒易點(diǎn)陣?yán)印?.5倒格空間

倒易點(diǎn)陣?yán)印?.5倒格空間

（2）倒格子原胞體積與正格子原胞體積互為倒數(shù)令Ω’為倒格子原胞體積，利用三重矢積公式§1.5倒格空間

Page76由圖可知，ABC面上矢量CA，CB可寫(xiě)為：（3）正格子中一族晶面（h