空間直角坐標(biāo)系與空間幾何體

一、空間直角坐標(biāo)系知識(shí)詮釋思維發(fā)散§9.5空間直角坐標(biāo)系與空間幾何體1.如圖所示,在空間取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為原點(diǎn)作三條互相垂直的且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸,分別稱為x軸,y軸,z軸,統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.這三個(gè)坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)平面.分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面,這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了空間坐標(biāo)系.2.在空間坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y

軸的正方向,若中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右

手直角坐標(biāo)系.3.在給定的空間直角坐標(biāo)系中,空間點(diǎn)M與有序數(shù)組(x,y,z)建

立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此,有序數(shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間

直角坐標(biāo)系的坐標(biāo),記作M(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y

叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).4.空間任意兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之間的距離|M1M2|=

.5.空間中兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(

,

,

).二、立體幾何的綜合應(yīng)用1.平行與垂直.2.幾何體的表面積和體積.3.三視圖與直觀圖中的平行與垂直.4.球的有關(guān)問題.5.立體幾何與函數(shù)、導(dǎo)數(shù).1.點(diǎn)P(a,b,c)到坐標(biāo)平面xOy的距離是

(

)(A)

.

(B)|a|.

(C)|b|.

(D)|c|.【解析】作PP1⊥xOy平面,則P1(a,b,0),|PP1|=|c|為所求.【答案】D2.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),當(dāng)|AB|取最小值時(shí),x的值為

(

)(A)19.

(B)-

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵|AB|=

=

,∴當(dāng)x=-

=

時(shí),|AB|取最小值.【答案】C3.如圖所示,在長(zhǎng)方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=

2,M是OB1與BO1的交點(diǎn),則M點(diǎn)的坐標(biāo)是

.【解析】因?yàn)閨OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,∴A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,3,0),B1(2,3,2).所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

,

,

),即(1,

,1).【答案】(1,

,1)

核心突圍技能聚合題型1空間直角坐標(biāo)系的基本問題

例1

(1)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于下列敘述:①點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(x,-y,z);②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(x,-y,-z);③點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(x,-y,z);④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(-x,-y,-z).其中敘述正確的個(gè)數(shù)是

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.(2)已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則|AB|的最小值是

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【分析】(1)點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)鍵要抓住對(duì)稱平面和對(duì)稱軸;(2)

建立關(guān)于含有t的距離表達(dá)式.【解析】(1)點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(x,-y,-z),故

①錯(cuò)誤;點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(-x,y,z),故

②錯(cuò)誤;點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(-x,y,-z),故③錯(cuò)

誤;點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(-x,-y,-z),故④正確,

所以應(yīng)選A.(2)|AB|=

=

=

≥

.【答案】(1)A

(2)C【點(diǎn)評(píng)】(1)點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)軸x軸(y軸或z軸)的對(duì)稱點(diǎn)坐

標(biāo)為x值不變(y值或z值不變),其余兩坐標(biāo)值變?yōu)樵瓉?lái)的相反

數(shù),點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz(平面xOy或平面xOz)對(duì)稱點(diǎn)

的坐標(biāo)為x值變?yōu)樵档南喾磾?shù)(z值變?yōu)樵档南喾磾?shù)或y

值變?yōu)樵档南喾磾?shù)),其余兩坐標(biāo)值不變.(2)本題體現(xiàn)了學(xué)科間的綜合問題,最終轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的最

值問題,特別是二次函數(shù)的最值問題在高中數(shù)學(xué)各章節(jié)中的

滲透無(wú)處不在,應(yīng)該把二次函數(shù)的知識(shí)靈活應(yīng)用.變式訓(xùn)練1

(1)已知ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,

1),C(3,7,-5),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(

)(A)(-3,1,5).

(B)(2,3,1).(C)(5,13,-3).

(D)(

,4,-1).(2)若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),

其中α、β∈R,則|AB|的取值范圍是

(

)(A)[0,5].

(B)[1,5].(C)(1,5).

(D)[1,25].【解析】(1)AC的中點(diǎn)與BD的中點(diǎn)重合,AC的中點(diǎn)為(

,4,-1),則2×

=2+x,2×4=-5+y,2×(-1)=1+z,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,13,-3).(2)|AB|=

=

=

.∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|AB|∈[1,5].【答案】(1)C

(2)B題型2空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,平面SAC⊥平面ABC,|SA|=|SC|=2

,D為線段AB的中點(diǎn),求證:|SA|=|SD|.

例2

【分析】本題一方面可運(yùn)用立體幾何知識(shí)求解,但需要添加

一些輔助線;另一方面也可根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)

系,將幾何證明問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題.【解析】取AC的中點(diǎn)為O,連接OS,OB.∵|SA|=|SC|,|AB|=|BC|,∴AC⊥SO,且AC⊥OB.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC.∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥OB.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OS所在的直線分別為x軸、y軸

、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則易得A(2,0,0),B(0,2

,0),S(0,0,2

),∴D(1,

,0).|SD|=

=2

.又|SA|=2

,∴|SA|=|SD|.【點(diǎn)評(píng)】依據(jù)面面垂直建立空間直角坐標(biāo)系,將幾何證明化歸為代數(shù)計(jì)算,是解決此類問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練2

如圖,正方形ABCD、正方形ABEF的邊長(zhǎng)都是

1,且平面ABCD、平面ABEF互相垂直,點(diǎn)M在AC上移動(dòng),點(diǎn)N

在BF上移動(dòng),若CM=BN=a(0<a<

).(1)求線段MN的長(zhǎng);(2)當(dāng)a為何值時(shí),線段MN的長(zhǎng)最小,最小值為多少?【解析】(1)如圖,以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA、BE、BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.易得M(

a,0,1-

a),N(

a,

a,0).|MN|=

=

.故線段MN的長(zhǎng)為

(0<a<

).(2)由(1),知MN=

.∴當(dāng)a=

時(shí),|MN|取得最小值

,即M、N分別移動(dòng)到AC,BF的中點(diǎn)時(shí),線段MN的長(zhǎng)最小,最小值為

.題型3探索性問題

例3在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),試問:(1)在y軸上是否存在點(diǎn)M,滿足|MA|=|MB|?(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使△MAB為等邊三角形?若存在,試

求出點(diǎn)M的坐標(biāo).【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)相等關(guān)系列出方程(組).求出

點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】(1)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M,滿足|MA|=|MB|.∵M(jìn)在y軸上,可設(shè)M(0,y,0).由|MA|=|MB|,可得

=

.顯然,此式對(duì)任意y∈R恒成立.這就是說(shuō)y軸上所有點(diǎn)都滿足

關(guān)系|MA|=|MB|.(2)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M(0,y,0),使△MAB為等邊三角形.由(1)可知,y軸上任一點(diǎn)都有|MA|=|MB|,∴只要|MA|=|AB|,就可以使得△MAB為等邊三角形.|MA|=

=

,|AB|=

=2

,由

=2

,解得y=±

.故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB為等邊三角形,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,

,0)或(0,-

,0).【點(diǎn)評(píng)】由此可見,利用空間兩點(diǎn)間的距離公式可以探索點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的問題,而且方法簡(jiǎn)捷.變式訓(xùn)練3如圖所示,正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)

棱長(zhǎng)也為a,E為線段SC的中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)O,問在線段

BD上是否存在一點(diǎn)F,使得|EF|=

a?若存在,找出點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】以O(shè)為原點(diǎn),線段AB、BC的中垂線所在直線為x軸

、y軸,OS所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-

xyz,則A(

,-

,0),B(

,

,0),C(-

,

,0),D(-

,-

,0).∵|SO|=

=

=

a,∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為(0,0,

a).∵E為線段SC的中點(diǎn),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-

,

,

a).假設(shè)在BD上存在一點(diǎn)F(x,x,0),x∈[-

,

],使得|EF|=

a.由空間兩點(diǎn)間的距離公式,得

=

a.整理,得2x2+

=

,∴x=±

a∈[-

,

].故在線段BD上存在點(diǎn)F(

a,

a,0)或(-

a,-

a,0)滿足題意.本知識(shí)點(diǎn)主要包括空間直角坐標(biāo)系和空間兩點(diǎn)間的距離公

式.空間直角坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系有很多相似的地方,平面直角坐標(biāo)系中的一些結(jié)論可以類似地在空間直角坐標(biāo)系

中得到.空間兩點(diǎn)間的距離公式可以用來(lái)求兩點(diǎn)間的距離,也

可以由距離求點(diǎn)的坐標(biāo);結(jié)合具體圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角

坐標(biāo)系,可以求圖形中一些特殊點(diǎn)之間的距離,與在平面直角

坐標(biāo)系中一樣,在空間直角坐標(biāo)系中,也可以求滿足一定條件

的點(diǎn)的軌跡方程.

例已知A-BCD為正四面體,且A(0,0,0),B(0,2,0),C(

,1,0),求點(diǎn)D的坐標(biāo).【錯(cuò)解】A-BCD為正四面體,設(shè)D(x,y,z),則|AD|=|BD|=|CD|=|AB|,即x2+y2+z2=x2+(y-2)2+z2

=(x-

)2+(y-1)2+z2=4.

解得x=

,y=1,z=

.從而D點(diǎn)的坐標(biāo)為(

,1,

).【剖析】正四面體的三個(gè)點(diǎn)確定后,第四個(gè)頂點(diǎn)的位置有兩

種可能,故本題有兩解.解題絕不能想當(dāng)然,憑主觀臆斷,而應(yīng)

多想想為什么?譬如這里的點(diǎn)D位置是一個(gè)還是兩個(gè)呢?如

果多想一想,本題就不會(huì)解錯(cuò)了.【正解】同錯(cuò)解,得x=

,y=1,z=±

.從而點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

,1,

)或(

,1,-

).1.(基礎(chǔ)再現(xiàn))點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影,則|OB|等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2,3),∴|OB|=

=

.【答案】B一、選擇題(本大題共5小題,每小題6分)基礎(chǔ)·角度·思路2.(基礎(chǔ)再現(xiàn))在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(1,

,

),過(guò)P作平面yOz的垂線PQ,則垂足Q的坐標(biāo)為

(

)(A)(0,

,0).

(B)(0,

,

).(C)(1,0,

).

(D)(1,

,0).【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的概念知,yOz平面上點(diǎn)Q的x

坐標(biāo)為0,y坐標(biāo)、z坐標(biāo)與點(diǎn)P的y坐標(biāo)

、z坐標(biāo)

分別相等,∴Q(0,

,

).【答案】B3.(基礎(chǔ)再現(xiàn))三棱錐P-ABC中,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0),P(0,0,

3),此棱錐的體積為

(

)(A)1.

(B)3.

(C)6.

(D)2.【解析】VP-ABC=

·S△ABC·PA=

×

×2×1×3=1.【答案】A4.(視角拓展)已知點(diǎn)A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的

形狀是

(

)(A)等腰三角形.

(B)等邊三角形.(C)直角三角形.

(D)等腰直角三角形.【解析】|AB|=

=

,|BC|=

=

,|AC|=

=

,∵|BC|2+|AC|2=|AB|2,∴△ABC為直角三角形.【答案】C5.(視角拓展)設(shè)y∈R,則點(diǎn)P(1,y,2)的集合為

(

)(A)垂直于xOz平面的一條直線.(B)平行于xOz平面的一條直線.(C)垂直于y軸的一個(gè)平面.(D)平行于y軸的一個(gè)平面.如圖,y變化時(shí),點(diǎn)P的x坐標(biāo)為1,z坐標(biāo)為2保持不變,點(diǎn)P在xOz平面上射影為P'(1,0,2),∴P點(diǎn)的集合為直線PP',它垂直于xOz平面.【答案】A【解析】二、填空題(本大題共4小題,每小題7分)6.(基礎(chǔ)再現(xiàn))已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,

0,2),則過(guò)點(diǎn)A的中線長(zhǎng)為

.【解析】BC的中點(diǎn)為(-1,1,-2),故過(guò)點(diǎn)A的中線長(zhǎng)為

=7.【答案】77.(視角拓展)在空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的

頂點(diǎn)A(3,-1,2),其中心M(0,1,2),則正方體的棱長(zhǎng)為

.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則對(duì)角線的長(zhǎng)|AC1|=

a=2|AM|,∴a=

=

=

.【答案】

8.(高度提升)實(shí)數(shù)x、y、z滿足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2

的最小值是

.【解析】(x-3)2+(y-4)2+z2=2表示以C(3,4,0)為球心,半徑為

的球面,u=x2+y2+z2表示球面上的點(diǎn)(x,y,z)到原點(diǎn)O(0,0,0)距離

的平方,∵|CO|=5>

,∴原點(diǎn)O在球面外,故O到球面上點(diǎn)的最小距離d=|CO|-

,∴u=d2=(5-

)2=27-10

.【答案】27-10

9.(高度提升)已知空間三點(diǎn)A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點(diǎn)Q在

直線OP上運(yùn)動(dòng)(O為原點(diǎn)).當(dāng)

·

取最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

.【解析】設(shè)Q(x,y,z),則有

=λ

,即(x,y,z)=(λ,λ,2λ),于是

=(1-λ,2-λ,3-2λ),

=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴

·

=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10,顯然當(dāng)λ=

時(shí)取最小值,此時(shí)Q(

,

,

).【答案】(

,

,

)三、解答題(本大題共3小題,每小題14分)10.(視角拓展)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在x軸上,它到點(diǎn)B(0,

,3)的距離是到點(diǎn)C(0,1,-1)的距離的2倍,求A點(diǎn)坐標(biāo).【解析】∵A點(diǎn)在x軸上,∴可設(shè)A(m,0,0).∵|AB|=2|AC|,∴

=2

,∴m2+2+9=4(m2+1+1),∴3m2=3,∴m=±1,∴A(1,0,0)或A(-1,0,0).11.(高度提升)正三棱錐P-