緩沖算子、函數(shù)變換

西華師范大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所第三章提高建模精度的常見(jiàn)數(shù)據(jù)處理方法----光滑序列、緩沖算子、函數(shù)變換

在建模過(guò)程中往往先通過(guò)看級(jí)比、級(jí)必偏差、光滑比來(lái)判斷能否建模，若不能再選擇恰當(dāng)算子或變換處理后再看能否建模定義3.1.1設(shè)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),我們分別稱為序列的級(jí)比(stepwiseratio).級(jí)比偏差(stepwiseratiodispersion).

序列的級(jí)比偏差更合理，因?yàn)樵瓉?lái)只適應(yīng)單調(diào)性相同時(shí)的比較，單調(diào)性相反時(shí)，不行。3.1級(jí)比與光滑比(StepwiseandSmoothRatios)

定義3.1.1設(shè)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),我們稱為序列的光滑比(smoothratio).3.1級(jí)比與光滑比(StepwiseandSmoothRatios)定義3.1.2(傳統(tǒng)定義)若序列X滿足123<0.5

則稱X為準(zhǔn)光滑序列(quasi-smoothsequence).新定義:相對(duì)低增長(zhǎng)序列的光滑性(系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐09年8期)(魏勇)相對(duì)于齊次指數(shù)序列的光滑性(Kybernite09年8期)

相對(duì)于非齊次指數(shù)序列的光滑性(美國(guó)會(huì)議09年10月)

比較原則:光滑序列小好，級(jí)比接近1好，級(jí)比偏差接近0好就相對(duì)于低增長(zhǎng)序列的光滑性而言比較原則:X比Y好分三種情況單增之間

單減之間

一增一減也是統(tǒng)一形式《TheJornalofGreySystem》07年1、3期，08年1、4期。定理3.1.1X為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是,對(duì)于k=1,2,…,n,恒有(k)=const成立.

定義3.1.2設(shè)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),若則稱序列X具有負(fù)(降）的灰指數(shù)規(guī)律則稱序列X具有正(升）的灰指數(shù)規(guī)律則稱序列X具有絕對(duì)灰度為的灰指數(shù)規(guī)律(級(jí)比的絕對(duì)寬度)<0.5時(shí),稱X具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律(thelawofquasi-exponent)

魏勇在南京會(huì)議提出:用級(jí)比的相對(duì)寬度與發(fā)展系數(shù)的絕對(duì)寬度作為事前檢驗(yàn)方法(獲獎(jiǎng)的5篇論文之一)

反思:傳統(tǒng)檢驗(yàn)方法用于優(yōu)化模型會(huì)出現(xiàn)可以建模的判定為不宜建模,將此文方法用于傳統(tǒng)模型會(huì)將不宜建模數(shù)據(jù)判定為適宜建模數(shù)據(jù)3.2緩沖算子(bufferoperator)3.2.1序列與算子(sequenceoperator)定義3.2.1設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2),…,x(n)),若k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0則稱X為單調(diào)增長(zhǎng)序列;1中反向不等號(hào)成立,則稱X為單調(diào)衰減序列;存在k,k1,有

x(k)-x(k-1)>0x(k1)-x(k1-1)<0則稱X為振蕩序列.設(shè)

M=max{x(k)|k=1,2,…,n},m=min{x(k)|k=1,2,…,n}稱M-m為序列X的振幅.單調(diào)序列也有振幅（與物理振幅的區(qū)別。自由擺動(dòng)時(shí)振幅的大小決定了振動(dòng)的劇烈程度，用總變差或?qū)?yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)變差來(lái)刻劃但外力強(qiáng)制振動(dòng)則不然，往返的頻率則是一個(gè)重要指標(biāo)。定義3.2.2設(shè)為系統(tǒng)真實(shí)行為序列,而觀測(cè)到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為其中為沖擊擾動(dòng)項(xiàng),則稱X為沖擊擾動(dòng)序列.要從沖擊擾動(dòng)序列X出發(fā)實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)行為序列X(0)的系統(tǒng)之變化規(guī)律的正確把握和認(rèn)識(shí),必須首先跨越障礙

.如果不事先排除干擾,而用失真的數(shù)據(jù)X直接建模、預(yù)測(cè)，則會(huì)因模型所描述的并非由X(0)

所反映的系統(tǒng)真實(shí)變化規(guī)律而導(dǎo)致預(yù)測(cè)的失敗。排除方法:用緩沖算子處理數(shù)據(jù)后建模公理3.2.1(不動(dòng)點(diǎn)公理,AxiomofFixedPoints)

設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為序列算子,

則D滿足x(n)d=x(n)(因新信息優(yōu)先原理)公理3.2.2(信息充分利用公理,AxiomonSuffi-

cientUsageofInformation)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)

x(k),k=1,2,…,n,都應(yīng)充分參與算子作用.公理3.2.3(解析化、規(guī)范化公理,AxiomofAna-

lyticRepresentations)任意的x(k)d，皆可由一個(gè)統(tǒng)一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達(dá)。3.2.2緩沖算子公理(theaxiomsofbufferoperator)定義3.2.3設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為作用于X的算子,X經(jīng)過(guò)算子D作用后所得序列記為

XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)稱D為序列算子,稱XD為一階算子作用序列.

序列算子的作用可以進(jìn)行多次,若D1,D2,D3皆為序列算子,我們稱D1D2為二階算子,并稱

XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,…,x(n)d1d2)為二階算子作用序列.定義3.2.4稱上述三個(gè)公理為緩沖算子三公理(threeaxiomsofbufferoperators),滿足緩沖算子三公理的序列算子,稱為緩沖算子,一階、二階、……緩沖算子作用后的序列稱為一階、二階、……緩沖序列(buffersequences)。定義3.2.5設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列,D為緩沖算子,當(dāng)X分別為增長(zhǎng)序列,衰減序列或振蕩序列時(shí):若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)減緩或振幅減小,我們稱緩沖算子D為弱化算子;(是各瞬時(shí)速度還是僅平均速度?有歧義!)若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)加快或振幅增大,則稱緩沖算子D為強(qiáng)化算子.定理3.2.1設(shè)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子x(k)≤x(k)dk=1,2，…n(縮小差別)D為強(qiáng)化算子x(k)≥x(k)d

k=1,2，…n(擴(kuò)大差別)

直觀意義:最左、最高點(diǎn)沒(méi)有變,其他點(diǎn)被抬高

問(wèn)題:抬得太高，改變了增減趨勢(shì)，預(yù)測(cè)無(wú)效彌補(bǔ)辦法：王正新論文《系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐》

定理3.2.2設(shè)X為單調(diào)衰減序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子x(k)≥x(k)d

(縮小差別)D為強(qiáng)化算子x(k)≤

x(k)d

(擴(kuò)大差別)3.2.3緩沖算子的性質(zhì)定理3.2.3設(shè)X為振蕩序列,XD為其緩沖序列,則有D為弱化算子(大變小,小變大)

max{x(k)}≥max{x(k)d}min{x(k)}≤min{x(k)d}(縮小差別)2D為強(qiáng)化算子(大變大,小變小)

max{x(k)}≤

max{x(k)d}min{x(k)}≥

min{x(k)d}(擴(kuò)大差別)3.2.3緩沖算子的性質(zhì)

問(wèn)題:以整體振幅變小為標(biāo)志，可能出現(xiàn)局部變化幅度增大的情形，注意《實(shí)變函數(shù)論》全變差思想，并應(yīng)用此思維方法改造緩沖算子定義3.2.3緩沖算子的性質(zhì)（續(xù)）存在緩沖算子：即緩沖算子除x(n)d=x(n)以外其余可以隨心所欲規(guī)定！仍然滿足公理2)、3）3.3.2實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造舉例定理3.3.2設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)

其中則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D皆為弱化算子(weakeningoperator).推論3.2.1對(duì)于定理3.3.2中定義的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)則D2對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)、單調(diào)衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。定理3.2.3設(shè)原始序列和其緩沖序列分別為X=(x(1),x(2),…,x(n))XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)其中x(n)d=x(n)則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列或單調(diào)衰減序列時(shí),D皆為強(qiáng)化算子(strengtheningoperator).（缺點(diǎn)：x(n)d=x(n)不自然）推論3.2.2設(shè)D為定理3.2.3中定義的強(qiáng)化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)則D2對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)序列和單調(diào)衰減序列皆為二階強(qiáng)化算子.(在強(qiáng)化基礎(chǔ)上再?gòu)?qiáng)化!)定理3.2.4

設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XDi=(x(1)di,x(2)di,…,x(n)di)其中

x(1)d1=x(1),x(1)d2=(+1)x(1)

x(n)di=x(n)i=1,2則D1對(duì)單調(diào)增長(zhǎng)序列為強(qiáng)化算子,D2對(duì)單調(diào)衰減序列為強(qiáng)化算子.（缺點(diǎn)：x(n)d=x(n)仍然是不自然）推論3.2.3對(duì)于定理3.2.4中定義的D1,D2,則,分別為單調(diào)增長(zhǎng),單調(diào)衰減序列的二階強(qiáng)化算子.現(xiàn)有緩沖算子的類型大部分是各種“平均”類型，在劉思峰教材,黨耀國(guó)、關(guān)葉青、王正新、謝乃明等人在《系統(tǒng)工程》、《系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐》、《控制與決策》、《統(tǒng)計(jì)與決策》、《中國(guó)管理科學(xué)》的文章。萬(wàn)琴構(gòu)造了近指數(shù)類型緩沖算子在英國(guó)、臺(tái)灣雜志、國(guó)際會(huì)議上發(fā)表

李俊杰、蘇海軍構(gòu)造了某種函數(shù)類型的緩沖算子在國(guó)際會(huì)議上發(fā)表魏勇構(gòu)造了幾類含參量的緩沖算子,討論強(qiáng)、弱緩沖的數(shù)字特征在《控制與決策》2010年2期上發(fā)表，如

弱化緩沖算子作用建模預(yù)測(cè)效果好，強(qiáng)化緩沖算子作用建模預(yù)測(cè)效果是否好,說(shuō)不清楚!因?yàn)閿?shù)據(jù)變化更劇烈了!甚至需要用優(yōu)化模型才行!幾個(gè)其它算子

1.級(jí)比生成算子:

概念:級(jí)比,光滑比關(guān)系:

級(jí)比生成序列就是用前后級(jí)比來(lái)推測(cè)空缺值的一種方法.(首項(xiàng)用后,末走后門用前,中間項(xiàng)前后折中)2.累加生成算子:3.累減生成算子:3.4.1傳統(tǒng)數(shù)據(jù)變換

1.對(duì)數(shù)變換

2.開(kāi)方變換

3.平移變換3.4數(shù)據(jù)變換3.4.2論文中出現(xiàn)的新數(shù)據(jù)變換

1.余弦函數(shù)變換

2.正切函數(shù)變換

3.負(fù)指數(shù)函數(shù)變換

4.冪函數(shù)變換

5.中心位似函數(shù)(序列)變換(王淑華)

3.4數(shù)據(jù)變換

6.公比單位化序列變換（黃福勇)3.4數(shù)據(jù)變換(提高光滑性、縮小級(jí)比偏差證明方法)3.4.3

單增函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差

≤＝≥F(x)/x↘

單減函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差

≤＝≥F(x)x↗

縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差≤＝≥提高