概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)第二章

第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量例

電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X

來(lái)描述：X=0，1，2，…隨機(jī)變量的概念例檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來(lái)描述:例考慮“測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以

X記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：X=t，(t≥0)設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱(chēng)S上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)英文字母X，Y

，Z，或小寫(xiě)希臘字母，，，表示隨機(jī)變量是上的映射，

此映射具有如下特點(diǎn):

定義域

事件域S

；

隨機(jī)性

隨機(jī)變量X

的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值；

概率特性

X

以一定的概率取某個(gè)值或某些值。

引入隨機(jī)變量的意義

有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。

如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X

表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。{

收到不少于1次呼叫}{沒(méi)有收到呼叫}隨機(jī)變量分類(lèi)所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉?！?.2離散型隨機(jī)變量及其分布律例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶(hù)為一開(kāi)獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元?？疾斓锚?jiǎng)金額X

。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006

若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(chēng)X

為離散型隨機(jī)變量。定義描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或

概率分布的性質(zhì)

非負(fù)性

正則性概率分布的特征例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件進(jìn)行檢驗(yàn)，令寫(xiě)出X的分布律.X的分布律為:

X

p

概率分布圖:

0.0801

xy0.92

解：兩點(diǎn)分布(0–1分布)

只取兩個(gè)值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0<p<1或應(yīng)用場(chǎng)合

凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超標(biāo)等。10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。X

可能取值為0，1，2。例2解：所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X(qián)的確切含義及其所有可能取值。例3

上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p

，某人每天買(mǎi)1張，若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買(mǎi)1張，中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)次數(shù)X的分布律。X=k表示購(gòu)買(mǎi)了k

張，前k-1張都未中獎(jiǎng)，第k

張中了獎(jiǎng)。幾何分布適用于試驗(yàn)首次成功的場(chǎng)合解：123…k-1

k×××…×√二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和，記:將

E獨(dú)立地重復(fù)

n次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為

n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,

1,2,…n

次稱(chēng)

X服從參數(shù)為

p的二項(xiàng)分布(binomial)。記作：

當(dāng)n=1時(shí)，

P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1

即0-1分布（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，

貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；

且P(A)=p

，；（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。例5

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。解:依題意，p=0.05設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)。則X~B(3,0.05),于是，所求概率為：計(jì)算例6設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由4人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。X=某人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；Ai

：第i人維護(hù)的20臺(tái)故障不能及時(shí)維修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一種方法。而X～b（20,

0.01）不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。第二種方法優(yōu)于第一種方法此時(shí)Y～b（80，0.01）

，故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算高爾頓釘板試驗(yàn)Poission分布

例單位時(shí)間內(nèi)某電話總機(jī)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。X=0，1，…其中，λ為常數(shù)稱(chēng)X服從參數(shù)為λ

的Poisson分布，記為：計(jì)算二項(xiàng)分布的Poisson近似泊松定理其中

設(shè)λ是一個(gè)正整數(shù)，，則有：n≥100，np≤10時(shí)近似效果就很好：

定理的條件意味著當(dāng)

n很大時(shí)，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n

很大，p

很小時(shí)有以下近似式：其中

計(jì)算例7

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理.問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：

設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.可見(jiàn)，X~B(n，p)，n=300，p=0.01設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，所求的是滿(mǎn)足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我們求滿(mǎn)足的最小的N.查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8個(gè)維修人員.計(jì)算x定義

設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)函數(shù)為X

的分布函數(shù)。幾何意義：Xx§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的基本性質(zhì)

單調(diào)性

有界性

右連續(xù)性鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。x

由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算：baax]aa-Δxx用分布函數(shù)表示概率請(qǐng)?zhí)羁战猓篨的分布律為

X012p7/157/151/15

例1

求例2中的分布函數(shù)并作圖.

012x

分布函數(shù)為xxxx012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，B;

（2）X落在（-1，1]內(nèi)的概率解：由性質(zhì)——柯西分布函數(shù)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pkxyy=f(x)§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度幾何意義xX返回

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)可寫(xiě)成：定義2.3其中，則稱(chēng)X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)f(x)為X

的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為密度函數(shù)或概率密度。

記為:概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。1.2.3.在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處有4.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X有：1.2.3.圖形例1

已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：(1)求常數(shù)c；

(2)計(jì)算(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管，每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立，求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率。解：(1)

令c=1000(2)

(3)設(shè)A表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y例2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)

P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:

(2)

f(x)=注意到F(x)在x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值。若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱(chēng)X

服從區(qū)間[a

，b]上的均勻分布。記作均勻分布幾個(gè)重要的連續(xù)性分布例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：即X

的取值在(a，b)內(nèi)任何長(zhǎng)為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，只與其長(zhǎng)度成正比。

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)，則稱(chēng)X

服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記為：正態(tài)分布

正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。0μμ-σμ+σxy正態(tài)分布密度函數(shù)μ00.20.40.60.811.21.4動(dòng)態(tài)演示稱(chēng)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。例：0.8413記為：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有：0x-x引理：于是：例3：

這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作“3準(zhǔn)則”

（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）?？梢哉J(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).分位點(diǎn)則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。

0常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

的分布

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？

這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的。下面進(jìn)行討論。例

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律解:X-10