高數(shù)下總復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)(下)期末復(fù)習(xí)基本概念,基本定理,基本方法第0章空間解幾與向量代數(shù)向量的概念與運(yùn)算,+,-,數(shù)乘,數(shù)量積,向量積;直角坐標(biāo)系下向量的運(yùn)算;向量的夾角,平行與垂直;平面,直線(xiàn);曲面,柱面,投影柱面,旋轉(zhuǎn)面,二次曲面圖形;曲線(xiàn),投影,參數(shù)方程.

1.向量:既有大小,又有方向的量,稱(chēng)為向量.(或矢量)

2.向量的幾何表示法:

用一條有方向的線(xiàn)段來(lái)表示向量.AB向量AB的大小叫做向量的模.記為||AB||或一、向量的基本概念1、向量加法(1)平行四邊形法則設(shè)有(若起點(diǎn)不重合,可平移至重合).作以為鄰邊的平行四邊形,對(duì)角線(xiàn)向量,稱(chēng)為的和,記作(2)三角形法則二、

向量的加減法2.向量加法的運(yùn)算規(guī)律.交換律,結(jié)合律1.定義實(shí)數(shù)與向量的為一個(gè)向量.其中:當(dāng)

>0時(shí),當(dāng)

<0時(shí),當(dāng)

=0時(shí),2.

數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律:結(jié)合律,分配律(<0)(>0)三、數(shù)與向量的乘法定理1:兩個(gè)非零向量平行存在唯一實(shí)數(shù)，使得(方向相同或相反)設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.則四.空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系的建立ozxyzxyx軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,又稱(chēng)笛卡爾坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).o向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式2.引入直角坐標(biāo)系后,向量的運(yùn)算:兩向量平行的充要條件.注:在(*)式中,規(guī)定若某個(gè)分母為零相應(yīng)的分子也為零.

a//b1.方向角:

非零向量a與x,y,z軸正向夾角,,

稱(chēng)為a的方向角.2.方向余弦:

方向角的余弦

cos,cos,cos

稱(chēng)為方向余弦.3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式ayzx0向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式cos2+cos2+cos2=1a0=(cos,cos,cos)設(shè)a0是與a同向的單位向量設(shè)有兩個(gè)向量a、b,它們的夾角為,即:ab=|a||b|cos定義:將數(shù)值|a||b|cos

稱(chēng)為a與b的數(shù)量積(或點(diǎn)積

),記作ab.內(nèi)積五、向量的數(shù)量積a

b

=axbx+ayby+az

bz推論:

兩個(gè)向量垂直axbx+ayby+az

bz=0坐標(biāo)表示式abc=ab(1)|c|=|a||b|sin(2)c與a、b所在的平面垂直,(即ca且cb).c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定.則將向量c稱(chēng)為a與b的向量積,記作:ab.即:c=ab注:

向量積的模的幾何意義.以a、b為鄰邊的平行四邊形,其面積等于|a||b|sin,所以ab的模,等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.定義:設(shè)有兩個(gè)向量a、b,夾角為,作一個(gè)向量c,使得六、兩向量的向量積向量積的性質(zhì)反交換律ab=

baa

b=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k向量積的坐標(biāo)表示式[1]點(diǎn)法式方程[2]一般方程[3]截距式方程七、空間平面方程八、空間直線(xiàn)方程[1]一般方程[2]對(duì)稱(chēng)式方程[3]直線(xiàn)的參數(shù)方程(為參數(shù))[4]直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程[2]顯函數(shù)形式

十、空間曲線(xiàn)[1]空間曲線(xiàn)的一般方程[2]空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程

十一.柱面給定空間一定曲線(xiàn)，如果直線(xiàn)沿曲線(xiàn)平行移動(dòng)，則動(dòng)直線(xiàn)所形成的曲面稱(chēng)為柱面；動(dòng)直線(xiàn)稱(chēng)為柱面的母線(xiàn)，定曲線(xiàn)稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn)。

特殊情況：柱面的母線(xiàn)平行于某坐標(biāo)軸，而準(zhǔn)線(xiàn)在與母線(xiàn)垂直的坐標(biāo)平面上的柱面。設(shè)柱面的母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是平面上的一曲線(xiàn).

，求柱面方程。

只含而缺的方程表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是的柱面；類(lèi)似地，只含而缺的方程表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是的柱面；只含而缺的方程表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是的柱面。1.平行于坐標(biāo)軸的柱面2.曲線(xiàn)

十二．旋轉(zhuǎn)曲面給定空間一直線(xiàn)與空間曲線(xiàn)，曲線(xiàn)繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸。特殊情況：坐標(biāo)平面上的平面曲線(xiàn)繞該坐標(biāo)平面上的某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面.

設(shè)在平面上的曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。(1)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程(2)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程(3)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程(4)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程(5)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程(6)曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要在方程中，作如下改動(dòng)，可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程第八章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)概念(多個(gè)自變量),多元初等函數(shù);多元函數(shù)極限的概念及求法;連續(xù)性,多元初等函數(shù)的連續(xù)性;偏導(dǎo)數(shù)及幾何意義,高階偏導(dǎo)數(shù),方向?qū)?shù);全微分及與各導(dǎo)數(shù),連續(xù)的相互關(guān)系;復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意區(qū)分和；隱函數(shù)和方程組求導(dǎo)，注意用公式和不用公式的區(qū)別；曲面的切平面與法線(xiàn)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面；極值，最值，條件極值；梯度及性質(zhì)．一.二元函數(shù)的定義類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二、多元函數(shù)的極限點(diǎn)P0的鄰域內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),邊界點(diǎn),聚點(diǎn)(極限點(diǎn)),孤立點(diǎn)邊界,開(kāi)集,連通集,有界集,開(kāi)(閉)區(qū)域二.求極限方法與一元類(lèi)似:不同處:洛必達(dá)法則,單調(diào)有界法則不再有用;相同處:四則運(yùn)算,夾逼,有界與無(wú)窮小,連續(xù)等.可代換化成一元;不能用y=kx代入來(lái)求極限.注:二元函數(shù)要比一元復(fù)雜得多.關(guān)鍵在于一元中方式簡(jiǎn)單;而二元中的方式是任意的；這可用來(lái)證明二重極限不存在.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)．當(dāng)分母不為零時(shí)，商也是連續(xù)函數(shù)．

多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)．三、多元函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上必有最大值和最小值．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法注fx（x0，y0）即是對(duì)一元函數(shù)f（x，y0）在x0處求導(dǎo)數(shù)；fy（x0，y0）即是對(duì)一元函數(shù)f（x0，y）在y0處求導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處具體求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，僅對(duì)涉及的變量求導(dǎo)，其余變量當(dāng)作常數(shù)．因此＋，－，＊，／同一元．1、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在2、偏導(dǎo)數(shù)不再是微商.3、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖設(shè)M0（x0，y0，z0）是曲面z＝f（x，y）上的一點(diǎn).幾何意義:混合偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).注對(duì)于高階混合偏導(dǎo)數(shù)，若連續(xù)，則混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān).此時(shí)，z

的n階偏導(dǎo)可記為三.全微分的定義四、可微的條件習(xí)慣上，記全微分為因此，微分的＋，－，＊，／同一元．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)如圖示1.可推廣至任意中間變量和自變量情形;2.求導(dǎo)時(shí),要兼顧到每一個(gè)中間變量.隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)法則用隱函數(shù)求導(dǎo)公式時(shí)須注意:1.用隱函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo),在分子中出現(xiàn)對(duì)函數(shù)變量求導(dǎo)數(shù)時(shí),函數(shù)作為常數(shù).2.不用隱函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo),只是用思想方法求導(dǎo),當(dāng)出現(xiàn)對(duì)函數(shù)變量求導(dǎo)數(shù)時(shí),函數(shù)作為中間變量,微分法在幾何上的應(yīng)用曲線(xiàn)在M0

處的切線(xiàn)方程切向量：切線(xiàn)的方向向量稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.法平面：過(guò)M0點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的平面.一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面空間曲線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為法平面方程為法線(xiàn)方程為切平面方程為二、曲面的切平面與法線(xiàn)稱(chēng)為曲面在M處的法向量.

稱(chēng)此極限為f在P（x，y）處沿方向的方向?qū)?shù).

或存在，記為或.一、方向?qū)?shù)的定義二．方向?qū)?shù)的求法：三.三元函數(shù)情形四.多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)注判斷一個(gè)函數(shù)是否可微的策略:

①先看是否連續(xù)；②再看偏導(dǎo)是否存在；③最后用定義.方向?qū)Т嬖谄珜?dǎo)存在五、梯度的概念注六、梯度的性質(zhì)

類(lèi)似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量,其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)多元函數(shù)的極值及其求法一、極值1、定義2、多元函數(shù)取得極值的條件定義使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：求最值的一般方法：將函數(shù)在D

內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.二、多元函數(shù)的最值三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．再解方程組:

第九,十章多元函數(shù)積分學(xué)重積分，線(xiàn),面積分的定義：和式的極限；性質(zhì)同定積分，即：線(xiàn)性，區(qū)域可加性，１的積分，單調(diào)性，估值，中值定理；積分計(jì)算的基本思想是要積分變量一個(gè)不多,一個(gè)不少地跑遍積分域.二重積分計(jì)算：1)先x后y，2)先y后x，3)極坐標(biāo)；三重積分計(jì)算：1)先１后２，2)先２后１，3)柱面坐標(biāo)，４)球面坐標(biāo)；第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算：代入，下限小,上限大；第二類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算：代入，下限起點(diǎn),上限終點(diǎn);第一類(lèi)曲面積分計(jì)算：一投二代；第二類(lèi)曲面積分計(jì)算：一投二代三定號(hào);兩類(lèi)線(xiàn),曲面積分的關(guān)系:格林公式,高斯公式,斯托克斯公式(計(jì)算線(xiàn),面積分時(shí)首選).切向量法向量一、二重積分的概念可積的必要條件積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí),二重積分是曲頂柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí),二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值．總之，二重積分是曲頂柱體體積的代數(shù)和．性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若在D上特殊地則有性質(zhì)5性質(zhì)6（二重積分中值定理）（二重積分估值定理）如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù),在區(qū)間上連續(xù).三、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］二重積分化為累次積分的公式（１）區(qū)域D特征如圖多用于D是圓及圓的一部分,f含x2+y2.四、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分積分技巧點(diǎn)滴1.積分域：直角坐標(biāo)是矩形，極坐標(biāo)是圓心在原點(diǎn)的扇形，則各積分限是常數(shù)；若被積函數(shù)還是相應(yīng)一元函數(shù)的乘積，則二重積分是定積分的乘積；2.絕對(duì)值函數(shù)要分不同區(qū)域去絕對(duì)值號(hào)．3.積分次序當(dāng)被積函數(shù)是一元或二元函數(shù)時(shí),則這些變量的積分靠后.例如被積函數(shù)是x的一元函數(shù),則關(guān)于x的積分放在最后,一般來(lái)說(shuō),此類(lèi)做法可減少定積分的運(yùn)算.4.區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性,和被積函數(shù)的奇偶性.區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即邊界線(xiàn)方程用-x代x后不變,同時(shí)被積函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)即f(-x,y)=-f(x,y),則積分為零;被積函數(shù)關(guān)于x是偶函數(shù)即

f(-x,y)=f(x,y),則積分等于在一半?yún)^(qū)域上積分的兩倍.區(qū)域關(guān)于其它坐標(biāo)軸,被積函數(shù)關(guān)于相應(yīng)變量的對(duì)稱(chēng)有同樣的性質(zhì)三重積分,第一類(lèi)的線(xiàn),面積分也具有此對(duì)稱(chēng)性.5.變量的循環(huán)對(duì)稱(chēng).變量x和變量y互換,若區(qū)域不變,也是一個(gè)使用技巧的機(jī)會(huì);有時(shí),也要考慮交換積分變量的次序.使用明顯的重(形)心坐標(biāo).一、三重積分的定義與性質(zhì)Ω的體積V直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次累次積分．二、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算如圖，方法一：穿線(xiàn)法或稱(chēng)先一后二注意可見(jiàn)，重點(diǎn)確定:投影域D和上下邊界面z1,z2。方法二：切片法(截面法)或稱(chēng)先二后一Z（3）三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：

柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)系中的體積元素為柱坐標(biāo)系(先一后二)特殊,f寫(xiě)成一個(gè)一元函數(shù)和一個(gè)二元函數(shù)的乘積,D是圓的一部分.柱坐標(biāo)系(先二后一)特殊,f寫(xiě)成一個(gè)一元函數(shù)和一個(gè)二元函數(shù)的乘積,Dz是圓的一部分或Dz與z無(wú)關(guān).四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為規(guī)定：則球面坐標(biāo)系計(jì)算公式特殊,Ω是旋轉(zhuǎn)面(如繞z軸,則φ是與z軸的夾角)包圍的部分,則在某固定平面(尤其yoz面)上定r和φ的限.若Ω是繞x軸的旋轉(zhuǎn)面,則φ是與x軸的夾角,則在xoy面上定r和φ的限.球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為一.微元法把定積分的微元法推廣到積分的應(yīng)用中.

若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為則所求量為積分的應(yīng)用二.物理應(yīng)用：1.質(zhì)量元空間立體:平面薄片:直線(xiàn):曲面:曲線(xiàn):第一型曲線(xiàn)積分

一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念1.定義被積函數(shù)積分曲線(xiàn)積分和2.存在條件：3.推廣4.性質(zhì)(同定積分,重積分)二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理注意:簡(jiǎn)言之:代入空間:第二型曲線(xiàn)積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念1.定義類(lèi)似地定義2.存在條件：3.向量形式4.推廣5.性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān).其它:線(xiàn)性,連續(xù)是積分存在的充分條件等.二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理特殊情形簡(jiǎn)言之:1)代入注意:十三、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系：第一型曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的定義1.定義2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)其它性質(zhì)同定積分,重積分如線(xiàn)性,二、計(jì)算法則按照曲面的不同情況分為以下三種：(一投二代)是在XOY面上的投影二重積分則則第二型曲面積分二.概念及性質(zhì)被積函數(shù)積分曲面類(lèi)似可定義設(shè)有向曲面△S在xoy面上的投影（△S)xy，規(guī)定：3.存在條件:2.物理意義:流向曲面∑的流量4.性質(zhì):三、計(jì)算法(投影法)上+下-注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).(一投二代三定號(hào))前+后-右+左-二重積分四、兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系一、格林(Green)公式定理1Green公式及其應(yīng)用邊界曲線(xiàn)L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.二、區(qū)域連通性的分類(lèi)

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線(xiàn)所圍成的部分都屬于D,則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域,否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD三.與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題(3)(4)證一、高斯公式Gauss公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.一、斯托克斯(stokes)公式---------斯托克斯公式

是有向曲面的正向邊界曲線(xiàn)右手法則Stokes公式的實(shí)質(zhì):

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形另有四種形式,例如:便于記憶形式Green公式,Gauss公式,Stokes公式與N-L公式一樣,是建立函數(shù)在積分域內(nèi)部的積分與邊界上的積分之間的關(guān)系.4個(gè)公式的作用(1)理論上;(2)雙向的計(jì)算.但,Green公式,Gauss公式,Stokes公式多用于將邊界線(xiàn)(面)向積分域內(nèi)部轉(zhuǎn)化;與此同時(shí),被積函數(shù)是向求導(dǎo)的方向轉(zhuǎn)化(線(xiàn)面積分計(jì)算時(shí)首選).這時(shí)要注意,變量的取值范圍發(fā)生了改變.在遇到奇點(diǎn)或邊界不封閉時(shí),要加輔助線(xiàn),多數(shù)為由平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)組成的折線(xiàn);或加輔助面,多數(shù)為平行于坐標(biāo)面的平面.梯度通量環(huán)流量散度旋度基本概念:級(jí)數(shù)(無(wú)窮和式),收斂與發(fā)散(部分和式的極限),和s,通項(xiàng),余項(xiàng),首項(xiàng),等比級(jí)數(shù),P級(jí)數(shù),

絕對(duì)收斂,條件收斂.基本性質(zhì):線(xiàn)性,往后性,加括號(hào)性,通項(xiàng)趨于零是收斂的必要條件;正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是部分和有界;絕對(duì)收斂必收斂.正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的充分條件(三板斧):1)比值,根值法;2)比較法及極限形式;3)通項(xiàng)不趨于零是發(fā)散.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判別絕對(duì)收斂,條件收斂的充分條第十一章級(jí)數(shù)

件(三板斧):1)比值,根值法判別出絕斂和散;2)比較法及極限形式判別出絕對(duì)斂,加萊布尼茨判別法判出條件斂;3)通項(xiàng)不趨于零是發(fā)散.冪級(jí)數(shù):阿貝爾引理,收斂半徑,收斂區(qū)間,收斂域,收斂域內(nèi)可作加減法,取極限(連續(xù)),求導(dǎo).積分;求和函數(shù);間接展開(kāi)法.傅立葉級(jí)數(shù):傅立葉系數(shù),收斂性定理.三、基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的和一定發(fā)散.兩發(fā)散級(jí)數(shù)的和其斂散性則不一定.

線(xiàn)性:(往后性)

(無(wú)窮和式的結(jié)合律)

(加括號(hào)性)

注意收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.收斂的必要條件:如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;通項(xiàng)與部分和的關(guān)系:1)un＝Sn－Sn－1(n>1),1.比較審斂法推論若，則有相應(yīng)的性質(zhì).

比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散.(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(2)相當(dāng)于;(3)相當(dāng)于.注:必須是極限.若未必收斂.?￥=1nnu判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的步驟(三板斧):原級(jí)數(shù)(或適當(dāng)放大)，用比值審斂法(后項(xiàng)與前項(xiàng)比的極限是否小于1或大于1)或根值審斂法;比值(根值)=1時(shí)原級(jí)數(shù)(或適當(dāng)放大)，以P-級(jí)數(shù)為參考級(jí)數(shù),用比較審斂法;通項(xiàng),級(jí)數(shù)發(fā)散;原級(jí)數(shù)(或適當(dāng)放大)，以其它級(jí)數(shù)為參考級(jí)數(shù),用比較審斂法,或積分判別法;看部分和Sn是否有上界;用Cauchy收斂原理;用定義,求和s.un0(n→∞)二、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法判別一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的步驟(三板斧):對(duì)通項(xiàng)取絕對(duì)值(或適當(dāng)放大)后,用比值審斂法或根值審斂法(p<1斂,p>1散);p=1,對(duì)通項(xiàng)取絕對(duì)值(或適當(dāng)放大)后,以P-級(jí)數(shù)為參考級(jí)數(shù),用比較審斂法;若發(fā)散,對(duì)原級(jí)數(shù)用Leibniz判別法;通項(xiàng),級(jí)數(shù)發(fā)散;對(duì)通項(xiàng)取絕對(duì)值(或適當(dāng)放大)后,以其它級(jí)數(shù)為參考級(jí)數(shù),用比較審斂法,或積分判別法;若發(fā)散,對(duì)原級(jí)數(shù)用Leibniz判別法;用Cauchy收斂原理;用定義,求和s.un0(n→∞)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R的特征：注:該定理反之不成立.即:冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,未必和函數(shù)的分析運(yùn)算性