2022-2023學(xué)年四川省瀘州市市合江縣合江天立學(xué)校高高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．2．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A． B． C． D．3．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．2826．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．7．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．38．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．09．若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．12．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.14．函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________．15．已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過引一條弦，使此弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為________________．16．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下：甲說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”，若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，求證：；（3）若，且不等式對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知（1）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且存在滿足，令函數(shù)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明．21．（12分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若對于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.22．（10分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．2、D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.3、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．4、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個(gè)面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點(diǎn)，其中，，，所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題6、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.8、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得為一次項(xiàng)系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯(cuò)誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯(cuò)誤；④若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個(gè)；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．9、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值．【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為，顯然不是不等式的解，當(dāng)時(shí)，，所以可變形為．令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，故，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．10、A【解析】

將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當(dāng)時(shí)，代入可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點(diǎn)斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設(shè)則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．14、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,對求導(dǎo)后在計(jì)算在處導(dǎo)函數(shù)的值,再利用點(diǎn)斜式列出方程化簡即可.【詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程問題,需要注意求導(dǎo)法則與計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程，一般利用點(diǎn)差法，也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、C【解析】

假設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的作品，判斷四位同學(xué)說對的人數(shù).【詳解】分別獲獎(jiǎng)的說對人數(shù)如下表：獲獎(jiǎng)作品ABCD甲對錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)乙錯(cuò)錯(cuò)對錯(cuò)丙對錯(cuò)對錯(cuò)丁對錯(cuò)錯(cuò)對說對人數(shù)3021故獲得一等獎(jiǎng)的作品是C.【點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理，常用方法有：1、直接推理結(jié)果，2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標(biāo)方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；（2）轉(zhuǎn)化思想，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證；（3）不等式對一切正實(shí)數(shù)恒成立，，設(shè)，分類討論進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；所以，所以的零點(diǎn)為．（2）由題意，，要證，即證，即證，令，則，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式對一切正實(shí)數(shù)恒成立，，設(shè)，，記，△，①當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增．于是當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，，又，故，又當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)△，即時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為，，又，于是，故當(dāng)時(shí)，，從而在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，于是，即舍去，綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】（1）考查函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)；（2）考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；（3）考查分類討論思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導(dǎo)；屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因?yàn)閷θ我?，都存在，使得不等式成立，等價(jià)于，根據(jù)絕對值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由得，，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價(jià)于.因?yàn)?，所以，且|，①當(dāng)時(shí)，①式等號成立，即.又因?yàn)?，②?dāng)時(shí)，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】知識：考查含兩個(gè)絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力；中檔題.20、（1）（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0（2）先判斷為一個(gè)零點(diǎn)，然后再求導(dǎo)，根據(jù)，化簡求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．[來源:Z&X&X&K]函數(shù)的對稱軸為．①，即時(shí)，，即，解之得，解集為空集；②，即時(shí)，即，解之得，所以③，即時(shí)，即，解之得，所以綜上所述，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴是方程的兩個(gè)根，且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單