函數(shù)單調(diào)性講義

學(xué)子教育學(xué)科教學(xué)案函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義;教學(xué)目標(biāo).能夠熟練應(yīng)用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性；教學(xué)目標(biāo).理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義；.學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).重點：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義；重點、難點 難點：用定義判斷函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性；運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).考點及考試要求考點一：函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(選擇、填空、解答)考點及考試要求教學(xué)內(nèi)容知識框架一、函數(shù)的單調(diào)性的定義.增減函數(shù)的定義：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(%)；如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值%，%，當(dāng)％<%時，都有f(x)<f(x)，那么就說f(%)在這個區(qū)間上是增函數(shù)； 1212 1 2如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值%，%，當(dāng)%<%時，都有f(%)>f(%)，那么就說f(%)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。 12 12 1 2.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：①在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)任取自變量%<%2；②比較f(%)與f(%)的大小:作差(作商)一一變形一一判斷符號(與1的大小)；③根據(jù)定義下結(jié)論：注明區(qū)間。二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(%)在某個區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))，就說f(%)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(%)的單調(diào)區(qū)間。.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)f[g(%)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(%),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下表：函數(shù)單調(diào)性y=f(u)增增減減u=g(%)增減增減y=f[g(%)]增減減增說明：(1)①函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，是相對于區(qū)間而言的。②函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是定義域的子區(qū)間。(2)復(fù)合函數(shù)y=f[g(%)]的單調(diào)規(guī)律是“同則增，異則減”，即f(u)與g(%)若具有相同的單調(diào)性則f[g(%)]必為增函數(shù)；若具有不同的單調(diào)性則f[g(%)]必為減函數(shù)。? ???????????????? ?????討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，并判定其單調(diào)性；③把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判定其單調(diào)性。(3)當(dāng)一個函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個時，不能并起來，只能用逗號隔開。三、應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性比較大小1、若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，a,beD，且f(a)<f(b)，則a<b；2、若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，a,beD，且f(a)>f(b)，則a>b；3、若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，a,beD，且f(a)<f(b)，則a>b；4、若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，a,beD，且f(a)>f(b)，則a<b。考點一：函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值典型例題題組一：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性八，、x+2 .1、判斷函數(shù)f(x)=--在(-8,0)上的單調(diào)性并加以證明.x-12、求證函數(shù)f(x)=x+a(a>0)在(0,、:a)上是減函數(shù)，在Qa,+8)上是增函數(shù)。x3、函數(shù)f(x)=出在區(qū)間(-2'+8)上是增函數(shù),求a的取值范圍。題組二：基本初等函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.(1)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-8,4］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 .(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的遞減區(qū)間是(-8,4］，則實數(shù)a的取值集合是..若函數(shù)y=(m-1)x2+mx+3(xeR)的圖象關(guān)于y軸對稱，則它的單調(diào)遞增區(qū)間為 ;.函數(shù)J=-X2+|x|的遞減區(qū)間是.求f(X)=X2一x一12的單調(diào)區(qū)間.已知f(X)=1ax2+2x(a中0),在［2,4］上是單調(diào)函數(shù)，求a的范圍..求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：J=<x2-2x的遞增區(qū)間是 .已知函數(shù)f(X)=x2+bx+c,對于任意實數(shù)t都有f(2+1)=f(2-1)，比較f(1),f(2),f(4)的大小。.函數(shù)J=Xx+2-6--x的值域為題組三：抽象函數(shù)的有關(guān)問題f(X)是定義在(0，+9)上的增函數(shù)，則不等式f(X)>f[8(x-2)]的解集..函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-4,7)，則j=f(x-3)的遞增區(qū)間是()A、(-2,3) B、(-1,10) C、(-1,7) D、(4,10).已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+9)上是減函數(shù)，那么f(a2-a+1)與f(|)的大小關(guān)系為。{X2+4XX>0, 八，若f(2-a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 。4X一X2X<0.已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，若a+b>0,則()A. f(a)+f(b)>f(-a)+ f(-b) B. f(a)+ f(b)>f(-a)-f(-b)C. f(a)+f(-a)>f(b)+ f(-b) D. f(a)+ f(-a)>f(b)-f(-b).設(shè)(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且\e(a,b),x2g(c,d),\<x2,則f(xj與f(x2)的大小關(guān)系是( )A、f(x1)<f(xJ B、f(x1)>f(xJ C、f(XJ=f(xJ D、不能確定.設(shè)f(x)是定義在(0,+9)上的增函數(shù)，f⑵=1,且f(XJ)=f(x)+f(J)，求滿足不等式f(X)+f(X—3)<2的X的取值范圍..設(shè)f(X)定義域為(0,+9)，且在(0,+9)上是增函數(shù)，f(-)=f(X)-f(y).y(1)求證：f(1)=0,f(Xy)=f(x)+f(y) (2)若f⑵=1,解不等式：f(x)-f(」)<2x+3.函數(shù)f(x)對任意的a,bgR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x>0時，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3..定義在R上的函數(shù)滿足：當(dāng)-<0時，f(X)>1,f(0)豐0，對于任意實數(shù)X,y，都有f(x+y)=f(x)?f(y)。(1)當(dāng)X>0時，求證0<f(X)<1；(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；(3)解不等式：f(X-4)-f(x2+2x)>1知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析

知識點：函數(shù)的單調(diào)性方法總結(jié)：圖像法易錯點：函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用針對性練習(xí)1.函數(shù)的增區(qū)間是()。B.C.SV1.函數(shù)的增區(qū)間是()。B.C.SVD.MN)./⑴二八次—工+2在S川上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()。A.a<A.a<-3C.口三5D.厘之TOC\o"1-5"\h\z.當(dāng)"蘭1時，函數(shù)〃="工+2"+1的值有正也有負(fù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )a>—- -1<￡i -1<￡1 —A.3B.岸工—1C. 3d. 3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)，在區(qū)間(b,c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,0)上( )(A)必是增函數(shù)(C)是增函數(shù)或是減函數(shù)(B)(D)必是減函數(shù)無法確定增減性5.已知函數(shù)f((A)必是增函數(shù)(C)是增函數(shù)或是減函數(shù)(B)(D)必是減函數(shù)無法確定增減性5.已知函數(shù)f(x)=ax,(a-3)x+4a,x<0,xN0.滿足對任意xi^x2,都有f(x)—f(x)1 2x—x12<0成立，的取值范圍是 ()A.(0,3) B.(1,3)C.(0,， D.(-8,3).函數(shù)f(x)在區(qū)間(一2,3)上是增函數(shù)，則y=f(x+5)的遞增區(qū)間是 ( )A.(3,8) B.(-7,-2) C.(—2,3)D.(0,5).已知定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-%5)上單調(diào)遞減，對任意實數(shù)t,都有f(5+1)=f(5-1)那么下列式子一定成立的是A.那么下列式子一定成立的是A.f(-1)<f(9)<f(13)C.f(9)<f(-1)<f(13)()B.f(13)<f(9)<f(-1)D.f(13)<f(-1)<f(9).已知一")在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且,(門>口,在其定義域內(nèi)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:①/= (厘為常數(shù))是；②y二注一義工)(厘為常數(shù))是；③ ,㈤是；④，:卜(對1是..函數(shù)f(x)=ax2+4(a+1)x—3在［2,+8