第3章恒定電流的場(chǎng)

第3章恒定電流的場(chǎng)黃丘林電子工程學(xué)院西安電子科技大學(xué)1本章提綱1恒定電流的電場(chǎng)2磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度3磁通連續(xù)性原理4真空中的安培環(huán)路定律5磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式6恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件7磁標(biāo)位8電感9磁場(chǎng)能量2電流就是電荷運(yùn)動(dòng)形成的電荷流，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流。要在導(dǎo)體中維持恒定電流，其內(nèi)部必須有恒定的電場(chǎng)，同時(shí)恒定電流又要在其周圍空間激發(fā)磁場(chǎng)。恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)都不隨時(shí)間變化，它們彼此獨(dú)立，互不影響。31恒定電流的電場(chǎng)電流密度在導(dǎo)體中取一截面S，若在時(shí)間

內(nèi)流過(guò)該截面的總電荷為

，則通過(guò)該截面的電流強(qiáng)度定義為：在電路分析中總認(rèn)為電流沿著一根橫向尺寸可忽略的導(dǎo)線流動(dòng)，這種電流稱為線電流。但當(dāng)導(dǎo)體的橫向尺寸不能忽略時(shí)，應(yīng)該認(rèn)為電流分布在整個(gè)導(dǎo)體的截面上，這種電流稱為體電流。如果電流在一個(gè)厚度可忽略的導(dǎo)體曲面上流動(dòng)，則稱之為面電流。（安培）（A）41恒定電流的電場(chǎng)對(duì)于體電流和面電流，電流強(qiáng)度不能確切地描述電流在導(dǎo)體中的分布情況，故引入電流密度。設(shè)

表示導(dǎo)體中

處正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，取垂直于

的小面積元，通過(guò)

的電流為

，則定義處的體電流密度：流過(guò)截面S的電流就是

對(duì)S的通量，即：（A/m2）51恒定電流的電場(chǎng)對(duì)于面電流，以

表示曲面上

處正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，取一與

垂直的線元，通過(guò)的電流為

，則定義處的面電流密度：（A/m）61恒定電流的電場(chǎng)歐姆定律與焦耳定律的微分形式歐姆定律的微分形式

其中

稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，是與導(dǎo)體材料有關(guān)的常數(shù)，其單位是西門子/米（S/m）。歐姆定律的微分形式與歐姆定律是等價(jià)的，而且它描述逐點(diǎn)處的規(guī)律，而不是整體規(guī)律。71恒定電流的電場(chǎng)對(duì)任意

成立，故81恒定電流的電場(chǎng)焦耳定律的微分形式焦耳定律描述導(dǎo)體的損耗功率與恒定電流及恒定電場(chǎng)的關(guān)系。如圖所示，沿

方向取圓柱形體積元，其兩端電壓為dU：而通過(guò)dS的電流為dI=JdS，則此體積元的損耗功率為：則單位體積內(nèi)的損耗功率為:∵（W/m3）∴91恒定電流的電場(chǎng)恒定電場(chǎng)的基本方程電流連續(xù)性方程即因積分對(duì)空間坐標(biāo)進(jìn)行，求導(dǎo)對(duì)時(shí)間進(jìn)行，可交換順序：由奧氏公式得：即——積分形式的電流連續(xù)性方程101恒定電流的電場(chǎng)因?yàn)閂是任意的，所以：對(duì)于恒定電流，導(dǎo)體中任何地方均不能有隨時(shí)間變化的電荷分布，即故，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋浩湮⒎中问綖椋阂陨瞎奖砻?，恒定電流?chǎng)是無(wú)源場(chǎng)?！⒎中问降碾娏鬟B續(xù)性方程或111恒定電流的電場(chǎng)由于載有恒定電流的導(dǎo)體上電荷不隨時(shí)間變化，因而恒定電場(chǎng)必與靜電場(chǎng)具有相同的特性，是保守場(chǎng)，所以：綜合得到，恒定電場(chǎng)的基本方程：積分形式微分形式121恒定電流的電場(chǎng)電位滿足的方程在均勻各向同性媒質(zhì)中，由

可得電位

的方程為：131恒定電流的電場(chǎng)恒定電場(chǎng)的邊界條件用完全與靜電場(chǎng)邊界條件類似的方法，可得出恒定電場(chǎng)的邊界條件：而電位的邊界條件是：141恒定電流的電場(chǎng)分析一下交界面兩側(cè)電流的關(guān)系。得即由此可看出：1o若

，除

外，在其它情況下，均有

。2o若

（介質(zhì)），

（導(dǎo)體），則

，

。由于

，所以，在導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度與導(dǎo)體表面不垂直?！?51恒定電流的電場(chǎng)例1

同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外半徑為b，填充非理想介質(zhì)，介電常數(shù)

，電導(dǎo)率

，求單位長(zhǎng)漏電導(dǎo)。解：設(shè)單位長(zhǎng)漏電流為I，則半徑為r的圓柱面上任一點(diǎn)處：則∴∴單位長(zhǎng)漏電導(dǎo)為：161恒定電流的電場(chǎng)例2半球形接地器的接地電阻。解：為便于計(jì)算假設(shè)電流是均勻的，在大地中距球心r處的電流密度為：故則∴接地電阻：故a越大，接地效果越好。17Tobecontinued……作業(yè)：P99：3.3,3.6,3.7.182磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，稱恒定磁場(chǎng)。下面介紹恒定磁場(chǎng)的基本概念和基本定律。安培定律安培定律是描述真空中兩個(gè)截流細(xì)導(dǎo)線回路間相互作用力的實(shí)驗(yàn)定律。設(shè)l、l′分別表示兩個(gè)閉合回路，其上電流分別為I、I′。則l中

電流I受到的l′中的電流I′的作

用力為：192磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度——真空的磁導(dǎo)率（H/m）。

R

——電流元

與

間的距離。

——由電流元

指向

的單位矢量。以上公式又可寫為：可以證明，兩回路的相互作用力大小相等、方向相反，即：如果有多個(gè)回路同時(shí)作用于l，則l所受的力等于各回路單獨(dú)作用時(shí)的力的矢量和。202磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度從場(chǎng)的角度來(lái)講，

對(duì)

的作用力

應(yīng)理解為

中的電流

在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)

的作用。把安培定律改寫為：積分號(hào)

內(nèi)可看作電流

受到的

的磁場(chǎng)的作用力。故：

——代表

磁場(chǎng)的一個(gè)物理量將其定義為

的磁場(chǎng)在

所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。212磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度畢奧-沙伐定律表示閉合回路

上的電流

在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位是特斯拉（T）或韋伯/米2（Wb/m2）。222磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度23

科學(xué)超人：尼古拉·特斯拉“只要我愿意，我可以把地球劈成兩半”2磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度l上的電流元受的力，可見和，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，最大。上式中的被積函數(shù)可看作

處電流元

在處產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即：據(jù)此，可將畢奧-沙伐定律推廣到體電流和面電流。242磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)體電流，在導(dǎo)體中處取長(zhǎng)為

，截面為

的小柱體，則其中電流：等效電流元為：該電流元在

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：則：252磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度類似地可得到面電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：例3

一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通過(guò)電流I，求空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

。解：如圖，導(dǎo)線沿z軸放置，則磁場(chǎng)與z無(wú)關(guān)，即任意點(diǎn)

處的磁場(chǎng)與

處相同。所以262磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度272磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度例4

一通過(guò)電流I的環(huán)，半徑為a，求其軸線上任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

。282磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度292磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度例5

寬度為2a的無(wú)限薄導(dǎo)體通過(guò)總電流I，電流在導(dǎo)體中沿縱向流動(dòng)并在寬度方向均勻分布，求導(dǎo)體所在平面內(nèi)距其中線d(d>a)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：處寬為的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體帶可看作無(wú)限長(zhǎng)線電流，電流為由例3的結(jié)果，它在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為302磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度例6

一無(wú)限長(zhǎng)螺線管半徑為a，每單位長(zhǎng)度繞n匝線圈，導(dǎo)線中電流為I，求其軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)例4的結(jié)果，在

處取長(zhǎng)度為

的螺線管，它可看作半徑為a，總電流為

的圓環(huán)電流，它在z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：312磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度323磁通連續(xù)性原理下面從磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式出發(fā)討論它穿過(guò)任意封閉曲面的磁通量。以線電流的磁場(chǎng)為例，因?yàn)閯t由矢量恒等式則有333磁通連續(xù)性原理考慮到矢量恒等式所以類似地，面電流和體電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度也滿足上式，這說(shuō)明任意磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過(guò)任意封閉曲面的磁通量恒等于0，這一性質(zhì)稱為磁通連續(xù)性原理。根據(jù)散度定理，有由于區(qū)域V是任意的，所以在空間任意點(diǎn)都有這是磁通連續(xù)性原理的微分形式。說(shuō)明恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)。344真空中的安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律磁力線必與電流相交鏈，無(wú)電流即無(wú)磁場(chǎng)。電流與磁場(chǎng)的關(guān)系究竟如何？這就是安培環(huán)路定律所要研究的內(nèi)容。安培環(huán)路定律的表達(dá)式如下：其中l(wèi)是任一閉合有向路徑，I是與路徑l相交鏈的總電流（穿過(guò)以l為邊界的任意曲面的電流）。當(dāng)I的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系時(shí)，I為正，反之為負(fù)。354真空中的安培環(huán)路定律可通過(guò)一簡(jiǎn)單特例加以驗(yàn)證：無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁場(chǎng)，取l為以電流線上一點(diǎn)為中心，在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)作一圓周：由安培環(huán)路定律，對(duì)右圖情況，

應(yīng)有：364真空中的安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律的應(yīng)用與靜電場(chǎng)中的高斯定理類似，對(duì)于某些特殊分布的電流，可用安培環(huán)路定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度。1o在閉合路徑l上

的數(shù)值處處相等，

的方向處處與

平行2o在l的一部分

上滿足1o，在另一部分

上處處與

垂直或

則：或37Tobecontinued……作業(yè)：P100:3.12,3.13,3.17.385磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁矢位由

可知，

是管形場(chǎng)，而根據(jù)管形場(chǎng)的充要條件，

必可表示為某矢量函數(shù)

的旋度，即：其中

稱為矢量磁位或簡(jiǎn)稱磁矢位。從線電流、面電流以及體電流磁感應(yīng)強(qiáng)度

的表達(dá)式，可以推出，它們相應(yīng)的磁矢位表達(dá)式：395磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式因?yàn)?/p>

只與源點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，上式第二項(xiàng)為0，故類似地，面電流和體電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為405磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式相應(yīng)的磁矢位分別為：有時(shí)先根據(jù)電流分布計(jì)算出磁矢位

，再由

求

是方便的。線電流：面電流：體電流：415磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁偶極子尺寸很小的小電流環(huán)稱為磁偶極子。因小電流環(huán)在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的磁場(chǎng)酷似電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的電場(chǎng)而得名。位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁偶極子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)在磁矢位和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為：其中

稱為磁偶極子的磁矩。425磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式對(duì)比電偶極子當(dāng)磁偶極子放入外磁場(chǎng)中，要受到外磁場(chǎng)對(duì)它的作用：在均勻外磁場(chǎng)中，

。外磁場(chǎng)對(duì)它的力矩為：可見，外磁場(chǎng)的作用將使

最終沿

方向取向。435磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁介質(zhì)的磁化物質(zhì)分子內(nèi)部由于電子的自旋和軌道運(yùn)動(dòng)形成電流，這種電流稱為分子電流。由于不同物質(zhì)分子內(nèi)部電子的排列不同，有的物質(zhì)分子內(nèi)所有電子運(yùn)動(dòng)形式的電流不能相互抵消，每個(gè)分子都是一個(gè)小電流環(huán)，即磁偶極子，分子具有固有磁矩。在無(wú)外加磁場(chǎng)時(shí)，由于固有磁矩的任意排列，分子電流互相抵消，物質(zhì)對(duì)外不顯示磁性。在外磁場(chǎng)作用下，分子固有磁矩都順磁場(chǎng)方向排列，分子電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)相迭加，使物質(zhì)內(nèi)部的磁場(chǎng)加強(qiáng)，這種物質(zhì)稱順磁性物質(zhì)。445磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式另一種物質(zhì)分子內(nèi)各電子運(yùn)動(dòng)所形成的電流互相抵消，分子無(wú)固有磁矩，對(duì)外不顯磁性。在外磁場(chǎng)作用在，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生變化，形成的電流不再相互抵消，形成分子電流，于是產(chǎn)生分子磁矩。這種分子磁矩與外磁場(chǎng)方向相反，產(chǎn)生的磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)相互抵消，使物質(zhì)內(nèi)部磁場(chǎng)減弱，這種物質(zhì)稱反磁物質(zhì)（或抗磁性物質(zhì)）。物質(zhì)內(nèi)部分子在外磁場(chǎng)作用下形成按一定規(guī)律排列的等效磁偶極子，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。為描述物質(zhì)的磁化程度，引入磁化強(qiáng)度：455磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式在體積元

內(nèi)的等效磁矩

產(chǎn)生的磁矢位為：其中

表示對(duì)帶“′”的坐標(biāo)的運(yùn)算?？偟拇攀肝唬?65磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式利用：以及得：比較上式與體、面電流矢位公式，上式等效于一個(gè)體電流：和一個(gè)面電流：475磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式可見，物質(zhì)磁化的效果可以用介質(zhì)內(nèi)的束縛體電流和介質(zhì)表面的束縛面電流來(lái)等效。若材料和外磁場(chǎng)是均勻的，則物質(zhì)內(nèi)部分子電流處處相互抵消，不存在

，只在表面上有

，否則，其內(nèi)部也有體電流

。485磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式安培環(huán)路定律的一般形式物質(zhì)的磁化效應(yīng)用束縛電流等效代替之后，應(yīng)用真空中的安培環(huán)路定律，應(yīng)有：即：令：——磁場(chǎng)強(qiáng)度則：——介質(zhì)中的安培環(huán)路定律（微分形式）495磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式相應(yīng)的積分形式：即：——積分形式對(duì)各向同性磁介質(zhì)：——磁化率則：——物質(zhì)的磁導(dǎo)率——相對(duì)磁導(dǎo)率對(duì)于大多數(shù)的非鐵磁性物質(zhì)，都有

。對(duì)于真空

，

，則上述安培環(huán)路定律即變?yōu)檎婵罩械陌才喹h(huán)路定律。505磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式例

一導(dǎo)體圓柱半徑為a，均勻分布電流I，柱外填充均勻磁介質(zhì)，磁導(dǎo)率為

，求柱外的

。解：無(wú)磁介質(zhì)時(shí)磁場(chǎng)為柱對(duì)稱，放入均勻磁介質(zhì)，其磁化情況也必為柱對(duì)稱，所以總磁場(chǎng)仍為柱對(duì)稱。且磁場(chǎng)與z無(wú)關(guān)。做如圖所示閉合路徑l，則：516恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件基本方程描述恒定磁場(chǎng)通量特性和環(huán)量特性基本性質(zhì)的方程即為磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律。它們就是表達(dá)恒定磁場(chǎng)的基本方程。另外，基本方程通常還包含描述物質(zhì)特性的結(jié)構(gòu)方程：或或526恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件邊界條件由于在不同磁介質(zhì)的交界面上，磁化后出現(xiàn)束縛面電流，因此在界面兩側(cè)

和

都將發(fā)生突變。的邊界條件在邊界上取一小圓柱，底面積

，高度

。∵∴∵很小，上、下底面上

、

均可認(rèn)為在

上為常矢，則：536恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件∴或即：

的法向分量連續(xù)。的邊界條件在邊界上緊貼邊界取矩形回路，長(zhǎng)邊為

，短邊

，由安培環(huán)路定律：很小，可認(rèn)為、在近似為常矢，則：546恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件∴或由矢量公式寫成矢量形式：∴∴∴在無(wú)自由面電流的分界面上：或557磁標(biāo)位因?yàn)?/p>

，故在沒有電流的區(qū)域（）：即在無(wú)電流區(qū)域內(nèi)，

可表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度：∵即∴與靜電場(chǎng)中電位的討論類似，磁標(biāo)位所滿足的邊界條件如下：——標(biāo)量磁位或簡(jiǎn)稱磁標(biāo)位——磁標(biāo)位滿足的微分方程56基本方程和邊界條件比較基本方程比較靜電場(chǎng)恒定電流場(chǎng)恒定磁場(chǎng)57基本方程和邊界條件比較邊界條件比較靜電場(chǎng)恒定電流場(chǎng)恒定磁場(chǎng)588電感設(shè)均勻各向同性的線性媒質(zhì)中有兩個(gè)鄰近的閉合回路

、

，它們所圍面積分別為

和

。若回路

中通過(guò)電流

，則它在空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

與

成正比，故穿過(guò)

和

的磁通量也與

成正比，即：如果回路由N匝導(dǎo)線繞成，且忽

略每匝之間的漏磁通，則穿過(guò)回

路C1的總磁通（或磁鏈）為：顯然：598電感可表示為：其中

是與電流無(wú)關(guān)的，而與線圈的尺寸、形狀、媒質(zhì)以及線圈匝數(shù)的函數(shù)。稱為線圈的電感。同時(shí)，

的磁場(chǎng)穿過(guò)

的磁鏈也與

成正比：是兩線圈尺寸、形狀、媒質(zhì)、匝數(shù)以及兩線圈距離的函數(shù)，稱為兩線圈的互感。（亨利）（亨利）608電感若回路

中也同時(shí)通有電流

，同樣有