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第七節(jié)

斯托克斯公式散度與旋度一.斯托克斯公式二.應用三.環(huán)流量與旋度重點：斯托克斯公式的應用難點：三度、斯托克斯公式一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯(英,1819--1903)公式

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分121根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證故結論成立.另一形式便于記憶Stokes公式的實質:

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公式特殊情形如果是xOy

面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯

公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.二、應用解按斯托克斯公式,有例1解則例2即例3是曲線解例4解三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設曲面的法向量為曲線的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為令,引進一個向量記作向量rotA

稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation設某剛體繞定軸l

轉動,M為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學意義:向量場A

產生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

向量場A沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強度的旋度.解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.的外法向量,計算解:

例5.設內容小結1.斯托克斯公式也可寫成:其中A

的旋度A在

的切向量上投影在

的法向量n

上投影2.場論中的三個度設

梯度:散度:旋度:則P.225/5,6梯度場無旋，旋度場無散.斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家.他是19世紀英國數(shù)學物理學派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導出了著名的粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析

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