不同函數(shù)增長的差異同步練習(xí)（含答案）

不同函數(shù)增長的差異1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)當(dāng)x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)．(√)(2)函數(shù)y＝2x的增長速度越來越快．(√)(3)對任意x>0，都有eq\f(1,10)x>lgx．(×)(4)函數(shù)y＝log4x的增長速度越來越慢．(√)題型1幾類函數(shù)模型的增長差異2．當(dāng)2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是(B)A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x解析：方法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象，所以x2>2x>log2x.方法二：比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，經(jīng)計算易知選B.3．若x∈(0,1)，則下列結(jié)論正確的是(A)A．2x>xeq\s\up5(\f(1,2))>lgx B．2x>lgx>xeq\s\up5(\f(1,2))C．xeq\s\up5(\f(1,2))>2x>lgx D．lgx>xeq\s\up5(\f(1,2))>2x解析：結(jié)合y＝2x，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))及y＝lgx的圖象易知，當(dāng)x∈(0,1)時，2x>xeq\s\up5(\f(1,2))>lgx.4．根據(jù)三個函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，給出以下命題：①f(x)，g(x)，h(x)在其定義域上都是增函數(shù)；②f(x)的增長速度始終不變；③f(x)的增長速度越來越快；④g(x)的增長速度越來越快；⑤h(x)的增長速度越來越慢．其中正確的命題序號為__①②④⑤__.解析：f(x)＝2x的增長速度始終不變，g(x)的增長速度越來越快，而h(x)的增長速度越來越慢，故①②④⑤正確．題型2函數(shù)模型的選擇問題5．下面選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是(A)A．y＝10× B．y＝20＋C．y＝30＋lg(x－1) D．y＝50解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異可知從長遠(yuǎn)的角度看，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)增長是最快的，故選A.6．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x348y現(xiàn)有如下5個模擬函數(shù)：①y＝－；②y＝2x－；③y＝x2－＋8；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋.請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選__④__.(填序號)解析：描點(diǎn)如圖所示．由圖可知上述點(diǎn)大體在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．7．2017～2019年春運(yùn)期間，某市長途汽車站平均每日發(fā)送旅客數(shù)量如表所示．為了估測每年春運(yùn)期間這個汽車站平均每日發(fā)送旅客的數(shù)量，以2017～2019年三年的數(shù)據(jù)為依據(jù)，選擇函數(shù)y＝abx－2016＋c模擬平均每日發(fā)送旅客的數(shù)量y(萬人)與年份x(年)的關(guān)系．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，預(yù)測2020年春運(yùn)期間該長途汽車站平均每日發(fā)送旅客的數(shù)量為萬人.年份2017年2018年2019年平均每日發(fā)送旅客數(shù)量/萬人1解析：依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝，,ab3＋c＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝，))所以y＝－×－2016＋.當(dāng)x＝2020時，y＝－×＋＝，所以預(yù)測2020年春運(yùn)期間該長途汽車站平均每日發(fā)送旅客的數(shù)量為萬人．易錯點(diǎn)1忽略函數(shù)的增長特點(diǎn)致錯8．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個是__y＝x2__.解析：當(dāng)x變大時，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長的要快．[誤區(qū)警示]搞不清y＝x與y＝lnx的增長速度的快慢而出錯．易錯點(diǎn)2不理解函數(shù)的增長差異致錯9．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)進(jìn)水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)__(4)__；B對應(yīng)__(1)__；C對應(yīng)__(3)__；D對應(yīng)__(2)__．解析：A容器下粗上細(xì)，水高度的變化先慢后快，故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應(yīng)與(1)對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與(3)對應(yīng)，D容器慢，與(2)對應(yīng)．[誤區(qū)警示]根據(jù)容器中水高度增長的快慢對照圖形判斷．(限時30分鐘)一、選擇題1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(D)解析：設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋y，故y＝(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.2．在某實(shí)驗(yàn)中，測得變量x和變量y之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示，則x，y最合適的函數(shù)是(D)xy－＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：根據(jù)x＝，y＝－，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝，y＝，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.3．以下四種說法中，正確的是(D)A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x>0，xn>logaxC．對任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x>x0時，總有ax>xn>logax解析：對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長幅度不能比較．對于B，C，當(dāng)0<a<1時，顯然不成立．當(dāng)a>1，n>0時，一定存在x0，使得當(dāng)x>x0時，總有ax>xn>logax，但若去掉限制條件“a>1，n>0”，則結(jié)論不成立．故選D.4．函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是(A)解析：分別畫出y＝2x，y＝x2的圖象(圖略)，由圖象可知，有3個交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝2x－x2的圖象與x軸有3個交點(diǎn)，故排除B，C；當(dāng)x＝－1時，y<0，故排除D.5．某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確是(A)A．②③ B．①②C．①③ D．③④解析：由t∈[0,3]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα(0<α<1)．反映了C隨時間的變化而逐漸增長但速度越來越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停產(chǎn)，所以②③正確．6．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈，ln2≈(B)A． B．C． D．解析：由題意可知50＝10＋(90－10)e－，整理得e－＝eq\f(1,2)，即－＝lneq\f(1,2)＝－ln2＝－，解得t≈.二、填空題7．某種病菌經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt(k為常數(shù)，t為時間，單位：小時)，y表示病菌個數(shù)，則k＝__2ln_2__；經(jīng)過5小時，1個病菌能繁殖為__1_024__個．解析：設(shè)病菌原來有1個，則半小時后為2個，得2＝eeq\f(k,2)，解得k＝2ln2.當(dāng)x＝5時，y＝e(2ln2)×5＝e10ln2＝210＝1024(個)．8．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y＝a·x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件．解析：因?yàn)閥＝a·x＋b，且當(dāng)x＝1時，y＝1，當(dāng)x＝2時，y＝，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×＋b，,＝a×＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×x＋2.當(dāng)x＝3時，y＝－2×＋2＝(萬件)．三、解答題9．某人對東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個符合？并預(yù)測第8年的松樹高度.t(年)123456h(米)1解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對數(shù)型函數(shù)比較合理．將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．則當(dāng)t＝8時，h＝log3(8＋1)＝2，故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米．10．森林具有凈化空氣的功能，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，森林凈化空氣量Q與森林面積S的關(guān)系是Q＝50log2eq\f(S,10).(1)若要保證森林具有凈化效果(Q≥0)，則森林面積至少