兩角和與差的正弦【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號：012課題:§兩角和與差的正弦目標(biāo)要求1、理解并掌握兩角和與差的正弦公式及三角函數(shù)輔助角公式．2、理解并掌握給角求值問題．3、理解并掌握給值求值（角）問題．4、理解并掌握輔助角公式的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學(xué)常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值求值（角）問題；難點：輔助角公式的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦兩角差的正弦【思考】對照識記兩角和與差的余弦公式的方法,你能總結(jié)一下識記兩角和與差的正弦公式的方法嗎?2.輔助角公式輔助角公式:(或),其中(或).【思考】輔助角公式是如何推導(dǎo)出來的?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.B.任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sinα+sinβ成立.C.sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°.D.sin30°cos60°+cos30°sin60°=0.題17°sin13°+sin17°cos13°的值為 ()A.B.C.D.以上都不對題3.函數(shù)y=sinx-cosx的最小正周期是 ()A. B.π π π題4.已知為銳角,是第四象限角,,則_____.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一給角求值問題(數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】題70°sin50°-cos200°sin40°的值為 ()A. B. C. D.題6.的值是 ()A. B. C. D.題7.若是第二象限角且,則________.【解題策略】解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進(jìn)行各局部的變形.(2)解決三角函數(shù)的給角求值問題的關(guān)鍵是尋求“已知角”與“所求角”之間的關(guān)系,用“已知角”表示“所求角”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題8. ()A. B. C. D.題.類型二給值求值(角)問題(數(shù)學(xué)運算)【典例】題10.設(shè),若,求的值.【變式探究】題11.設(shè),若,求的值.題12.設(shè),若為第三象限角,求的值.【解題策略】解決給值求值問題的解題策略1.當(dāng)“已知角”有兩個或多個時,“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式.2.當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根據(jù)題目合理選擇拆分方式.提醒:解題時要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約,從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值.【跟蹤訓(xùn)練】題13.已知(為銳角),則()A. B. C. D.題14.已知,且為第一象限角,為第二象限角,求的值.類型三輔助角公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.化簡的結(jié)果可以是 ()A.B.C.D.題16.若函數(shù)在時取得最小值,則等于 ()A. B. C. D.【解題策略】把形如的式子化為,可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性.【跟蹤訓(xùn)練】題17.函數(shù)的最小值為 () B. C. 題18.已知，則的值為 ()A. B. C. D.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是()A. B. C. D.題20.若的一條對稱軸方程是,則的取值范圍可以是()A. B. C. D.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題21.若是第三象限角,則 ()A. B.C. D.題22.函數(shù)的值域為 ()A. B.C. D.題155°cos35°-cos25°cos235°=________.題(45°+A)-sin(45°-A)=________.題25.已知,求.編號：012課題:§兩角和與差的正弦目標(biāo)要求1、理解并掌握兩角和與差的正弦公式及三角函數(shù)輔助角公式．2、理解并掌握給角求值問題．3、理解并掌握給值求值（角）問題．4、理解并掌握輔助角公式的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學(xué)常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值求值（角）問題；難點：輔助角公式的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦兩角差的正弦【思考】對照識記兩角和與差的余弦公式的方法,你能總結(jié)一下識記兩角和與差的正弦公式的方法嗎?提示:可簡單記為“正余余正,符號相同”,即展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相同.2.輔助角公式輔助角公式:(或),其中(或).【思考】輔助角公式是如何推導(dǎo)出來的?提示:推導(dǎo)過程:，令,則.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.B.任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sinα+sinβ成立.C.sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°.D.sin30°cos60°+cos30°sin60°=0.【答案】選AC提示:A√.根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得.B×.當(dāng)α=30°,β=0°時,sin(α+β)=sinα+sinβ.C√.因為sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式正確.D×.sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin(30°+60°)=sin90°=1.題17°sin13°+sin17°cos13°的值為 ()A.B.C.D.以上都不對【解析】選A.原式=sin(13°+17°)=sin30°=.題3.函數(shù)y=sinx-cosx的最小正周期是 ()A. B.π π π【解析】選=sinx-cosx=所以函數(shù)的最小正周期為T=2π.題4.已知為銳角,是第四象限角,,則_____.【解析】因為為銳角，且,所以.又為第四象限角,且,所以.所以.答案:0關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一給角求值問題(數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】題70°sin50°-cos200°sin40°的值為 ()A. B. C. D.【解析】選D.cos70°sin50°-cos200°sin40°=cos70°sin50°-(-sin70°)cos50°=sin(50°+70°)=sin120°=.題6.的值是 ()A. B. C. D.【解析】選A.原式題7.若是第二象限角且,則________.【解析】因為θ是第二象限角且sinθ=,所以，所以，答案:【解題策略】解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進(jìn)行各局部的變形.(2)解決三角函數(shù)的給角求值問題的關(guān)鍵是尋求“已知角”與“所求角”之間的關(guān)系,用“已知角”表示“所求角”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題8. ()A. B. C. D.【解析】選C.題.【解析】原式=.答案:-2類型二給值求值(角)問題(數(shù)學(xué)運算)【典例】題10.設(shè),若,求的值.【思路導(dǎo)引】應(yīng)用公式?注意角的范圍?所求角的正弦值.【解析】因為,所以,因為,所以.所以.【變式探究】題11.設(shè),若,求的值.【解析】.題12.設(shè),若為第三象限角,求的值.【解析】,所以s.因為為第三象限角,,所以.所以.【解題策略】解決給值求值問題的解題策略1.當(dāng)“已知角”有兩個或多個時,“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式.2.當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根據(jù)題目合理選擇拆分方式.提醒:解題時要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約,從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值.【跟蹤訓(xùn)練】題13.已知(為銳角),則()A. B. C. D.【解析】選D.因為,所以.所以，所以題14.已知,且為第一象限角,為第二象限角,求的值.【解析】因為為第一象限角,為第二象限角,,所以,所以.類型三輔助角公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.化簡的結(jié)果可以是 ()A.B.C.D.【思路導(dǎo)引】利用輔助角公式進(jìn)行變形.【解析】選B..題16.若函數(shù)在時取得最小值,則等于 ()A. B. C. D.【思路導(dǎo)引】利用輔助角公式進(jìn)行變形.【解析】選B.,其中,由題意知，得,所以.【解題策略】把形如的式子化為,可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性.【跟蹤訓(xùn)練】題17.函數(shù)的最小值為 () B. C. 【解析】選D.,因為,所以,所以f(x)的最小值為-1.題18.已知，則的值為 ()A. B. C. D.【解析】選B.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是()A. B. C. D.【解析】選A.在上單調(diào)遞減,所以,故且,解得.題20.若的一條對稱軸方程是,則的取值范圍可以是()A. B. C. D.【解析】選D.因為（且）,則,所以,即,而且,所以,所以,取,此時.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題21.若是第三象限角,則 ()A. B.C. D.【解析】選A.因為為第三象限角,所以,由兩角和的正弦公式得.題22.函數(shù)的值域為 (