任意角設(shè)計(jì) 教學(xué)設(shè)計(jì)

第五章三角函數(shù)任意角【教學(xué)目標(biāo)】1、推廣角的概念、引入大于360°角和負(fù)角；2、理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；3、理解任意角以及象限角的概念；4、掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；【教學(xué)重難點(diǎn)】1、推廣角的概念、引入大于360°角和負(fù)角，就是通過(guò)實(shí)例的展示，使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性，從而引入大于360°角和負(fù)角；2、理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義，就是樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，并由此深刻理解推廣之后的角的概念；3、理解任意角以及象限角的概念，就是通過(guò)自主探究、合作學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)集合S中k、的準(zhǔn)確含義；4、掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法，就是明白所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法，明確終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)限多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍。【教學(xué)過(guò)程】1.導(dǎo)入新課思考題：你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？設(shè)計(jì)意圖：從生活中的例子引出課題：任意角.師生活動(dòng)：順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了30°;逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了450°。我們發(fā)現(xiàn)，校正過(guò)程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時(shí)轉(zhuǎn)不到一周，有時(shí)轉(zhuǎn)一周以上,這就是說(shuō)角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.2、新知探究問(wèn)題：初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了角的概念，它是如何定義的呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)自學(xué)，讓學(xué)生知道角的概念。師生活動(dòng)：師問(wèn)生答，總結(jié)得出：一條射線由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn).小問(wèn)題1：①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°，-45°，-150°。②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?③在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°,-150°的角的終邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的？終邊相同的角有什么關(guān)系？④所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，怎樣用一個(gè)式子表示出來(lái)？討論結(jié)果：①能.②使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.這樣:210°角是第三象限角；-45°角是第四象限角；-150°角是第三象限角.特別地，,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限,比如0°角.③210°與-150°角的終邊相同；328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍設(shè)S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z}，則328°,-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此時(shí)k=0).因此，所有與-32°角的終邊相同的角，連同-32°在內(nèi)，都是集合S的元素；反過(guò)來(lái)，集合S的任何一個(gè)元素顯然與-32°角終邊相同。④所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與整數(shù)個(gè)周角的和.適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.3、應(yīng)用示例例1在0°—360°范圍內(nèi),找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點(diǎn)評(píng):教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合.活動(dòng):終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個(gè).學(xué)生很容易分別寫(xiě)出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡(jiǎn)這兩個(gè)式子,用一個(gè)式子表示出來(lái).讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識(shí),教師再規(guī)范地板書(shū)出來(lái).并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡(jiǎn)約的形式.圖2解:在0°—360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90°和270°角,如圖2.因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí),表示方法不唯一,要注意采用簡(jiǎn)約的形式.變式訓(xùn)練①寫(xiě)出終邊在x軸上的角的集合.②寫(xiě)出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3寫(xiě)出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫(xiě)出來(lái).圖3解:如圖3,在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.變式訓(xùn)練寫(xiě)出在下列象限的角的集合:①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動(dòng):本題關(guān)鍵是寫(xiě)出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類(lèi)推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒(méi)有解題思路,或者把①中的范圍寫(xiě)成0°—90°,可引導(dǎo)學(xué)生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.4、課堂小結(jié)以提問(wèn)的方式與學(xué)生一起回顧本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡(jiǎn)要總結(jié):讓學(xué)生自己回憶：本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)？你是怎樣獲得這些新知識(shí)的？你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論：本節(jié)課推廣了角的概念，學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法，零角是射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)。一個(gè)角是第幾象限的角，關(guān)鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限