工程力學及其實驗 第十一章 應力狀態(tài)理論和強度理論

工程力學及其實驗

第十一章應力狀態(tài)理論和強度理論主要內容：

問題的提出

應力狀態(tài)理論強度理論§11－1問題的提出

一點的應力狀態(tài)

通過受力構件上一點的所有各個不同截面上應力的集合,稱為該點的應力狀態(tài)。

危險點的應力狀態(tài)

危險點處于純剪切應力狀態(tài)

§11－2應力狀態(tài)理論平面應力狀態(tài)的一般分析在圖a)所示單元體上取任意斜截面a,其外法線n與x軸正向的夾角為α

。規(guī)定：α角自x軸正向逆時針轉到n為正。設σx≥σy。截面ef把單元體分成兩部分,現研究aef部分的平衡(圖b))。斜截面ef上的應力以正應力σα和切應力τα表示。若ef的面積為dA，則af面和ae面的面積分別是dAsinα和dAcosα

。由靜力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化簡后得

平面應力狀態(tài)任意斜截面上的應力計算公式

將式對α求導數，并令dσ/dα=0，得

極值正應力、主平面和主應力

設該主平面的外法線n與x軸正向的夾角為α0，可得最大正應力

在上面各式中假定了σx≥σy,在此假定下,確定的兩個角度α0中,絕對值最小的一個確定σmax所在的平面。

極值切應力

令dτx/dα=0，由式這說明極值切應力所在平面與主平面成45o角。此處所指的極值切應力是指平面應力狀態(tài)下與零應力面垂直的各斜截面中的切應力的極值,并不是指三向應力狀態(tài)下單元體的最大切應力。得

主平面和主應力

單元體上切應力為零的平面稱為主平面主平面上的正應力稱為主應力由主平面組成的單元體稱為主應力單元體。一點的應力狀態(tài)常用主應力單元體表示

單向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)和二向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為平面應力狀態(tài)。二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)。σ1≥σ2≥σ3

例11-1

已知構件內一點的應力狀態(tài)如圖所示，求：1)主應力及主平面方向；2)最大、最小切應力。解：1）主應力與主方向解得：故兩個主平面外法向與x軸的夾角為58.28°和148.28°。在d0=58.28°的主平面上，有：解得：2）最大、最小切應力

廣義胡克定律

對應于主應力σ1、σ2、σ3方向的線應變分別為ε1、ε2、ε3，稱為主應變。在σ1的單獨作用下，沿σ1方向的主應變?yōu)樵讦?和σ3的單獨作用下，在σ1方向引起的主應變分別為根據疊加原理，在σ1、σ2、σ3三個主應力的共同作用下，沿σ1、σ2、σ3方向的主應變?yōu)橥恚汕蟪鲅卅?和σ3方向的主應變ε2和ε3，結果有廣義胡克定律

§10－3

強度理論

強度理論的概念由于材料破壞主要有兩種形式,相應地存在兩類強度理論。一類是斷裂破壞理論,主要有最大拉應力理論和最大拉應變理論等；另一類是屈服破壞理論,主要是最大切應力理論和形狀改變比能理論。根據不同的強度理論可以建立相應的強度條件,從而為解決復雜應力狀態(tài)下構件的強度計算提供了依據。

常用的四種強度理論

最大拉應力理論(第一強度理論)

引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應力。因此，材料發(fā)生破壞的條件為相應的強度條件是

σ1—構件危險點處的最大拉應力；[σ]—單向拉伸時材料的許用應力。

試驗表明，這個理論對于脆性材料，在單向、二向或三向拉斷裂時，最大拉應力理論與試驗結果基本一致。在存在有壓應力的情況下，則只有當最大壓應力值不超過最大拉應力值時，拉應力理論才正確。這個理論沒有考慮其他兩個主應力對斷裂破壞的影響。同時對于壓縮應力狀態(tài)，由于根本不存在拉應力，這個理論無法應用。最大伸長線應變理論(第二強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大伸長應變ε1達到材料單向拉伸斷裂時的最大伸長應變值ε01，材料即發(fā)生斷裂破壞。因此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件為對于鑄鐵等脆性材料，從受力到斷裂，其應力、應變關系基本符合胡克定律，強度條件為試驗表明，脆性材料在二向拉伸——壓縮應力狀態(tài)下，且壓應力絕對值較大時，試驗與理論結果比較接近；二向壓縮與單向壓縮強度有所不同，但混凝土、花崗石和砂巖在兩種情況下的強度并無明顯差別；鑄鐵在二向拉伸時應比單向拉伸時更安全，而試驗并不能證明這一點。

最大切應力理論(第三強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大切應力τmax

達到材料單向拉伸屈服時的最大切應力τ0max

，材料即發(fā)生屈服破壞，屈服條件為相應的強度條件為

試驗表明,對塑性材料，如常用的Q235A、45鋼、銅、鋁等，此理論與試驗結果比較接近。

形狀改變比能理論(第四強度理論)

積蓄在單位體積內的變形能，包括因體積改變和因形狀改變而產生的比能兩個部分。相應的強度條件為

四種強度理論的適用范圍

大量的工程實踐和實驗結果表明,上述四種強度理論的有效性取決于材料的類別以及應力狀態(tài)的類型。1)在三向拉伸應力狀態(tài)下,不論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂破壞，應采用最大拉應力理論。2)在三向壓縮應力狀態(tài)下,不論是塑性材料還是脆性材料，都會發(fā)生屈服破壞，適于采用形狀改變比能理論或最大切應力理論。3)一般而言