第一章分子對稱性與群論基礎(chǔ)3

一、

群的表示§1-5群表示及其性質(zhì)

定義：若矩陣群是抽象群

的一個同態(tài)映像，則G

稱為G的一個矩陣表示。[說明]：*矩陣群的元素是同階方陣；*矩陣群的運算規(guī)則：矩陣乘法；*矩陣群的單位元為：單位矩陣；*由數(shù)字1構(gòu)成的矩陣群是任何群G的一個同態(tài)映像，稱全對稱表示。任何標量函數(shù)是全對稱表示的基函數(shù)；

*一個抽象群可以有無窮多個矩陣表示。1、

群的表示的定義2、

等價表示P是一個非奇異方陣（），但不一定是群表示的矩陣。定義：如果群的表示G

與G’的矩陣，以同一相似變換相關(guān)聯(lián)，則G

與G’為等價表示。即：兩者等價，是指滿足下列關(guān)系：上節(jié)中，選取基函數(shù)為：可以得到C3V點群6個對稱操作的矩陣表示（G1）：等價表示示例如選取基函數(shù)為：則可以得到C3V點群6個對稱操作的矩陣表示如下（G2）：兩組基函數(shù)有變換關(guān)系：即：這兩個表示是等價表示。等價表示本質(zhì)上是“相同”的表示，它們都表達了一個對稱操作（算符）在同一個函數(shù)空間（x,y的二次齊次函數(shù)）的作用效果，只是基函數(shù)的選取是不同的。容易證明兩組對稱操作矩陣有變換關(guān)系：例如：由于相似變換不改變矩陣的跡（對角元素之和），因此：先證：證明：故有：矩陣的跡（對角元之和）：等價表示的相應(yīng)矩陣的跡相同。即：若：則：2、特征標群表示中矩陣的跡稱特征標：兩個表示等價的充要條件是特征標相同。群的一個表示一定有無窮多個表示與之等價，且這些表示相互等價。定理：同一共軛類的群元素，其特征標相同。[證]設(shè)：所以：（相似變換不改變矩陣的跡）相應(yīng)的矩陣：且：則由群表示的定義：且：例：考慮C3V點群各對稱操作的矩陣表示。選基函數(shù)為：則：可見：二、可約與不可約表示例：矩陣的直和：可分解為兩個子方陣：1、矩陣的直和由矩陣的乘法規(guī)則可知：對角方塊化的矩陣的乘法為方塊對方塊的乘法。每組小方塊矩陣服從同樣的乘法次序。因此，一組子方塊矩陣也構(gòu)成群的一個表示。子方塊矩陣分別構(gòu)成C3V點群的二維和一維表示：有：2、可約與不可約表示例如：C3V點群的三維表示G：記為：定義：群的一個表示，如果它的所有矩陣可以借助于某一個相似變換變成相同形式的對角方塊化矩陣，則此表示是可約的，否則是不可約的。例如：---可約表示---可約表示一個群可以有無窮多個矩陣表示，但其中很多是等價表示，對于相互等價的表示，我們只需研究其中的一個。一個群可以有很多個不等價表示，但其中很多是可約的，對于可約表示，我們可以將其約化為不可約表示的直和。因此研究群的性質(zhì)，只需研究其不等價的不可約表示的性質(zhì)。對于有限階的群，其不等價的不可約表示是有限的。群的所有不等價的不可約表示就完全代表了群的性質(zhì)。三、不可約表示的特征標表群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約表示的的特征標表。A——B——下標1——下標2——上標′——上標〞——下標g——下標u——不可約表示的慕利肯記號一維表示:A或B二維表示:E三維表示:T(F)一、廣義正交定理（矩陣元正交定理）§1-6不可約表示的性質(zhì)群的表示的矩陣元的記號：第i個不可約表示、對稱操作（群的元素）的m行n列定理1（廣義正交定理）：若，為群的不可約表示，則：式中為群的階（對稱操作的數(shù)目），為的維數(shù)（該表示中每個矩陣的階）可將定理改寫為：這表明：不可約表示的每一套矩陣元（當變化時形成的一套）構(gòu)成維空間的一個向量，而廣義正交定理告訴我們：這些向量是彼此正交的?！獌上蛄康臉朔e——向量的長度；——維向量（向量的維數(shù)由群的階數(shù)給出）；推論1：群的不等價不可約表示的維數(shù)平方和等于群的階。即：——向量空間的維數(shù)（向量有幾個分量）這表明由點群的不等價不可約表示可以構(gòu)成6維向量空間的一組獨立（線性無關(guān)）的向量，這樣一組獨立的向量的數(shù)目為：n維向量空間的正交的向量數(shù)目不多于h個，即：不可約表示維數(shù)的平方和必須小于或等于群的階求和包括所有不等價的不可約表示。——不變的向量數(shù)（由不可約表示矩陣元素數(shù)定）二、

不可約表示特征標的正交性1．

特征標正交定理定理2：若，是群G的不可約表示的特征標，則：證明：對對角元素成立并對所有行指標求和：令：左=右=推論2：不可約表示特征標的平方和等于群的階。即：（不可約性判據(jù)）式中若，則：以兩個不等同不可約表示的特征標作為分量的兩個h維向量相互正交。其逆命題成立。即：若群表示特征標平方和等于群的階，則該表示一定是不可約的?；蚋膶憺椋菏街衟為群的類，gp

為p

類中群元素的數(shù)目。另一形式：因為同一類的元素特征標相同，可以把對對稱操作的求和變成對類的求和：這表明如果群有k個共軛類，則不同類的加權(quán)重特征標標成k維向量的分量，如果這些k維向量屬于不同不可約表示，則它們相互正交。即：由不可約表示的加權(quán)重特征標構(gòu)成k維向量空間相互正交的單位向量分量。一般地，有多少個不可約表示，就有多少個k維向量，但k維空間相互正交的向量數(shù)目不多于k個，所以不可約表示的數(shù)目不多于類的數(shù)目（k個）。，構(gòu)成一個三維向量例：群，3類（k=3），構(gòu)成一個三維向量，構(gòu)成一個三維向量推論3:群的不等價的不可約表示的數(shù)目等于群的類的數(shù)目。不可約表示的特征標表群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約表示的的特征標表。3、應(yīng)用示例：C3v點群的不可約表示特征標表的導(dǎo)出推論3：C3V點群有3個共軛類——3個不等價的不可約表示推論1：∴只能有2個一維表示，1個二維表示1）G1與G2正交：得：（不合，舍去）2）特征標的平方和等于群的階：同理：是不可約表示；

是出現(xiàn)的次數(shù)。任一可約表示：三、可約表示的分解（約化）問題：兩邊同時：易見：證明:由：定理3（可約表示的分解定理）:可約表示可通過相似變換轉(zhuǎn)化為不可約表示的直和，第i個不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)為：例：定理３可改寫為對類的求和：∴同理可得：其中，1、矩陣的直接乘積四、直積表示特征標：推廣：直積矩陣的特征標等于兩個直因子矩陣的特征標的普通乘積?？梢灾纹鹨粋€維的函數(shù)空間，它是對稱操作的不變空間。以全部乘積函數(shù)為基：2、直積表示且可以證明：一維表示的自身直積是全對稱表示。例：定理4直積表示的特征標等于直因子表示的特征標的普通乘積。即：

證：由可約表示分解定理，第k個不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)：定理5：只有當不可約表示與等價時，直積表示才含有全對稱表示。全對稱表示出現(xiàn)的次數(shù):只有當不可約表示時