第一章晶體結(jié)構(gòu)

1固體物理學(xué)

(SolidStatePhysics)教材：《固體物理學(xué)》著者：黃昆原著，韓汝琦改編出版社：高等教育出版社2參考書目：1、《固體物理學(xué)》，方俊鑫著，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社2、《固體物理引論》，基特耳著，萬紓民等譯，人民教育出版社，3、《固體物理學(xué)》，陳長樂著，西北工業(yè)大學(xué)出版社；4、J.RichardChristman，F(xiàn)undamentalsofSolidStatePhysics

；3主要內(nèi)容第一章晶體結(jié)構(gòu)第二章固體的結(jié)合第三章晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第四章能帶理論第五章晶體中電子在電場和磁場中的運動第六章金屬電子論4緒言1.固體物理學(xué)研究對象組成固體的原子、離子、電子等的相互作用及運動規(guī)律，并闡明其特性與用途。52.固體物理的發(fā)展過程

自然界中固體材料分布廣泛，有水晶，巖鹽，金剛石，各種金屬及陶瓷材料等等，人們在改造自然界的過程中，利用固體材料制作工具，同時也對它們的特性進行著研究和探索，依據(jù)大量客觀現(xiàn)象的觀察實驗，總結(jié)一系列的經(jīng)驗規(guī)律，成為固體物理學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。6人類對晶體的研究晶體規(guī)則的幾何外形很早就引起人們的注意，而且晶體的外形對稱性與其物理性質(zhì)有關(guān)系，外形的規(guī)則性可能是內(nèi)部規(guī)則性的反映。到19世紀(jì)中葉，布喇菲（Brabais）提出空間點陣學(xué)說，概括晶格周期性特征；19世紀(jì)末，費多洛夫，熊夫利，巴羅等發(fā)展了關(guān)于晶體微觀幾何結(jié)構(gòu)理論體系，為進一步研究晶體結(jié)構(gòu)的規(guī)律提供理論依據(jù)。7隨近代物理學(xué)發(fā)展，固體物理研究領(lǐng)域進入一個新階段。一方面，20世紀(jì)初（1912年），勞厄首先指出晶體可以作為X射線的衍射光柵；另一方面，量子理論的發(fā)現(xiàn)，使人們能更深入地描述晶體內(nèi)部微觀粒子的運動過程，如愛因斯坦引進量子化概念研究晶格振動，索末菲在特魯?shù)潞吐鍌惼澋慕饘僮杂呻娮诱摰幕A(chǔ)上提出固體量子論。此外，還有費米發(fā)展了統(tǒng)計理論等等。

83.固體物理的學(xué)科領(lǐng)域固體物理研究范圍高純度的完整晶體雜質(zhì)、缺陷對金屬、半導(dǎo)體、電介質(zhì)、磁性材料及固體材料性能的影響金屬、半導(dǎo)體、電介質(zhì)、磁性材料、發(fā)光材料等在一般條件下的各種性質(zhì)金屬、半導(dǎo)體、電介質(zhì)、磁性材料、發(fā)光材料等在強磁場、強輻射、超高壓、極低溫等特殊條件下的各種現(xiàn)象發(fā)展新材料和新器件以及制備材料和器件的新工藝和新理論此外，超導(dǎo)理論，斷裂微觀理論，多體理論，非晶態(tài)理論，表面理論，催化微觀理論，強光與物質(zhì)作用相互作用理論等等9固體物理的主要研究領(lǐng)域固體中的元激發(fā)及其能譜——發(fā)展固態(tài)光電子器件及固態(tài)光子學(xué)固體內(nèi)部原子間結(jié)合力的綜合性質(zhì)與復(fù)雜結(jié)構(gòu)的關(guān)系，缺陷的形成和運動以及結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律——發(fā)展多功能復(fù)合材料研究極低溫，超高壓，強磁場，強輻射條件下固體的性質(zhì)——為發(fā)展新能源和能量轉(zhuǎn)換方式提供技術(shù)準(zhǔn)備表面物理——對金屬材料的防腐蝕防斷裂有重要作用，是介于物理、化學(xué)和生物學(xué)之間的邊緣學(xué)科非晶態(tài)物理——研究非晶體中原子、電子的微觀過程，以發(fā)展新器件。104.預(yù)備知識一、固體的兩類狀態(tài)——晶體與非晶體

大量原子聚集到一起構(gòu)成固體，原子排列方式有無限多種。按組成固體的粒子（原子、離子或分子）在空間的排列特征不同，將固體分為晶體、非晶體。晶體——空間的排列是具有周期性的規(guī)則排列，稱長程有序。非晶體——固體內(nèi)部長程無序，但短程有序。準(zhǔn)晶體——結(jié)構(gòu)介于晶體與非晶體之間11晶體與非晶體結(jié)構(gòu)示意圖圖1a-晶體的規(guī)則排列圖1b-玻璃的無規(guī)網(wǎng)格12二、晶體的宏觀特征各種晶體由于其組分和結(jié)構(gòu)不同，因而不僅在外形上各不相同，性質(zhì)上也有很大差異，然而一切晶體都具有一些決定于內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律性的宏觀特征。1、規(guī)則的幾何外形如典型晶體的石英，中間是六面棱柱，兩端是六面棱錐的晶體；巖鹽結(jié)晶成為立方體，等等。規(guī)則的幾何外形表明：晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)是規(guī)則的。注意：當(dāng)受到外界條件影響時，同一晶體物質(zhì)的各種不同樣品的外形可能不完全一樣，因而，晶體外形不是晶體品種的特征因素。132、晶面角守恒定律

同一類型的晶體，其外形不一定相同。實驗測量表明：在相同的溫度的條件下，同一晶體物質(zhì)的各種不同樣品中，各晶面之間夾角保持恒定。143、具有最低內(nèi)能實驗表明：從氣態(tài)、液態(tài)或非晶態(tài)過渡到晶態(tài)都要放熱；反之，從晶態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷B(tài)、液態(tài)或氣態(tài)時都要吸熱——表明相同的熱力學(xué)條件下，與同種化學(xué)成分的氣體、液體或非晶體比，晶體的內(nèi)能為最小。而且相同的熱力學(xué)條件下，具有相同化學(xué)成分的晶體與非晶體比晶體是穩(wěn)定的，而非晶體不穩(wěn)定，有自發(fā)轉(zhuǎn)變?yōu)榫w的趨勢。154、具有固定熔點在固體熔化過程中，晶體具有固定的熔點，而非晶體沒有，非晶體的熔化過程是隨著溫度的升高而逐漸完成。如石英晶體的熔點是1470℃，硅單晶的熔點是1420℃。晶體非晶體tTT0晶體與非晶體加熱曲線165、物理性質(zhì)各向異性晶體的物理性質(zhì)是各向異性的，而非晶體是各向同性的。晶體的各向異性表明晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的規(guī)則性在不同方向上是不一樣的。如：石墨的電導(dǎo)率在不同的方向的數(shù)值是不同的，此外，晶體的壓電性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、磁學(xué)性質(zhì)、熱學(xué)性質(zhì)等都表現(xiàn)出各向異性。17三、晶體的微觀結(jié)構(gòu)晶體的微觀結(jié)構(gòu)包括兩個因素第一，晶體是由什么粒子組成；第二，這些粒子以怎樣的方式在空間排列固體物理著重研究的問題空間點陣學(xué)說18晶體結(jié)構(gòu)周期性描述—空間點陣學(xué)說

空間點陣學(xué)說認為：一個理想晶體是由全同的，稱作基元的結(jié)構(gòu)單元在空間無限重復(fù)而構(gòu)成；基元是原子群（可以是一個原子，也可以是多個原子組成），晶體中的所有基元是等同的，即其組成、位形和取向都是全同的；因此，晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)可概括為由一些相同的幾何點在空間作周期性的無限分布，幾何點代表基元的某個相同位置，點的總體稱為空間點陣，簡稱“點陣”。晶體結(jié)構(gòu)=點陣+基元1920★§1-1一些晶格的實例(掌握)★§1-2晶格的周期性(掌握)★§1-3晶向、晶面和它們的標(biāo)志(掌握)★§1-4倒格子(掌握)★§1-5晶體的宏觀對稱性(理解)★§1-6點群(理解)★§1-7晶格的對稱性(理解)★§1-8晶體表面的幾何結(jié)構(gòu)(介紹)★§1-9非晶態(tài)材料的結(jié)構(gòu)(介紹)第一章晶體結(jié)構(gòu)

(crystalstructure)21§1-1一些晶格的實例

(samplesoflattice)主要內(nèi)容1.1簡立方晶格結(jié)構(gòu)(cubic)1.2體心立方晶格結(jié)構(gòu)(Body-centeredcubic)1.3密堆積結(jié)構(gòu)(closepacked)六角密排(Hekagonasclosedpacked)面心立方(Face-centeredcubic）1.4金剛石結(jié)構(gòu)(Diamond)1.5化合物的晶格結(jié)構(gòu)(NaCl,CsCl,……)22基本概念

晶格(lattice)是指晶體中原子排列的具體形式。

具有不同晶格是指原子規(guī)則排列的形式不同；

具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子間距不同。

231.1簡立方晶格

結(jié)構(gòu)特征原子球占據(jù)立方體的8個頂點；配位數(shù)為6；立方體邊長a定義為晶格常數(shù)。簡立方a241.2體心立方晶格在簡立方結(jié)構(gòu)的體心處加上一個原子球。結(jié)構(gòu)特征：原子球占據(jù)8個頂角和體心位置，配位數(shù)為8。典型晶體：堿金屬(Li,Na,K,Rb,Cs);

過渡金屬(α-Fe,Cr,Mo,W)等。體心立方a25若將體心立方結(jié)構(gòu)分為A層和B層結(jié)構(gòu)，則體心立方結(jié)構(gòu)可看成…ABAB…的堆積結(jié)構(gòu)(設(shè)原子球半徑為r0)。注：體心立方晶格一個平面內(nèi)的原子球并不是最緊密排列。

△=0.31r0r0261.3密堆積結(jié)構(gòu)立方密排（面心立方fcc）(Cu,Ag,Au,Pb,Ni,γ-Fe,Al等)六角密排結(jié)構(gòu)(hcp)(Be,Mg,Zn,Ti,Cd,Zr等)271、密堆積結(jié)構(gòu)的主要特征特點：每兩個球均相切，且每個球與六個球相切；三個球心構(gòu)成等邊三角形；每個球周圍有六個空隙。配位數(shù)為12。282、相關(guān)的基本概念密排面：原子球在一個平面內(nèi)最緊密的排列方式。密堆積：全同原子球的最緊密的堆積方式，即多層密排面的堆積結(jié)構(gòu)。最大配位數(shù)：配位數(shù)即每個原子的最近鄰原子數(shù)，最大配位數(shù)就是指密堆積結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的配位數(shù)。293、六角密排與立方密排密堆結(jié)構(gòu)圖示第一步：將全同小球平鋪成密排面（A層）；第二步：第二層密排面的球心對準(zhǔn)A層的球隙，即B層；第三步：第三層密排面放在B層的球隙上，可形成兩種不同的晶格，即六角密排和立方密排結(jié)構(gòu)。AB立方密排（面心立方）(A-B-C)六角密排(-A-B-)304、密堆積結(jié)構(gòu)單元

六角密排結(jié)構(gòu)面心立方（立方密排）ABAA層：B層：C層：311.4金鋼石結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)特征兩個面心結(jié)構(gòu)套構(gòu)（四條體對角線的四分之一處加一個C原子）；(2)配位數(shù)為4。

結(jié)構(gòu)圖示321.5化合物晶體結(jié)構(gòu)(1)NaCl結(jié)構(gòu)特征：

似簡立方結(jié)構(gòu)，每一行上Na離子與Cl離子相間排列。舉例：

LiF,LiCl,NaF,NaBr,KCl,KBr,AgCl,MgO,CaO,SrO,BaO等等33(2)CsCl結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征：似體心立方，區(qū)別在于體心處與頂角處的原子種類不同（即原子不等價）。舉例：CsBr,CsI,TlCl,TlBr,TlI等34(3)閃鋅礦結(jié)構(gòu)（ZnS)與金鋼石結(jié)構(gòu)相仿；區(qū)別：體對角線上的C原子被S原子所替代，而面心和頂角的C原子被Zn原子所替代即（即體對角線位置的原子與其它位置的原子不等價）。舉例：GaAs,InSb等Ⅲ族和Ⅴ族元素化合物。S原子Zn原子35§1-2晶格的周期性(periodicity)主要內(nèi)容（一）原胞與基矢(primitivecellandunitvitor)（二）晶胞(crystalunitcell)（三）簡單晶格與復(fù)雜晶格(crystallattice)（四）布拉伐格子(Bravaislattice)36晶體微觀結(jié)構(gòu)的周期性的描述固體物理學(xué)原胞結(jié)晶學(xué)原胞基本結(jié)構(gòu)單元——原胞“基矢”維格納—賽茲原胞簡單晶格復(fù)式晶格“點陣”或“晶格”“布拉伐格子”37（一）原胞與基矢

(primitivecellandbasisvector)1、一個晶格中最小的周期性單元稱原胞。2、晶格基矢即原胞的邊矢量；一般用來表示。38例：二維晶格的原胞與基矢※原胞及基矢的選取——不唯一※顯然，以基矢為兩個棱邊組成的平行四邊形即為原胞。39例：三維晶格的原胞與基矢

簡立方結(jié)構(gòu)原胞

面心立方原胞

體心立方原胞一般用來表示三維晶格的基矢。通常，以基矢為三個棱邊組成的平行六面體為原胞。（典型晶格有習(xí)慣原胞選取方式）402、立方晶格的原胞及原胞基矢

簡立方結(jié)構(gòu)原胞

面心立方原胞

體心立方原胞

=a=a=a

=a/2(

)=a/2()=a/2()

=a/2()=a/2()=a/2()ijk413、維格納—賽茲原胞定義：以某一格點為中心，作它與最近鄰、次近鄰等格點的垂直平分面，由這些面所圍成的封閉多面體稱維格納—賽茲原胞，也滿足原胞的要求，而且每個維格納—賽茲原胞只含有一個格點并位于原胞的中心，故其外形的對稱性高于平行六面體原胞。42（二）晶胞（晶格學(xué)單胞crystalunitcell)1、定義：晶體學(xué)通常選取較大的周期單元來研究晶格結(jié)構(gòu)，以反映晶格的對稱性，稱為晶胞。例如：面心立方晶格為反映整個格子的立方對稱性，選圖中的立方體為其晶胞。關(guān)于晶胞選取晶胞有時是原胞，有時不是原胞；各種不同結(jié)構(gòu)格子的原胞與晶胞的選取有統(tǒng)一的規(guī)定。432、原胞與晶胞的區(qū)別與聯(lián)系原胞晶胞晶格中體積最小的周期單元體積較大的周期單元每個原胞中實際上只包含一個格點。每個原胞有8個頂角，每個頂角為相鄰8個原胞所共有，所以，每個原胞所含格點數(shù)為8×1/8=1每個晶胞中所含格點數(shù)因結(jié)構(gòu)而異。

例：面心立方晶格晶胞結(jié)構(gòu)——立方體，面心格點：兩個相鄰晶胞共有，只有1/2屬于一個晶胞；頂角格點：只有1/8屬于一個晶胞；總格點數(shù)=8×1/8+6×1/2=4原胞的體積可表示為：面心立方晶格的原胞體積=a3/4晶胞體積是原胞體積的n倍（n是該結(jié)構(gòu)每個晶胞所含格點數(shù)）面心立方結(jié)構(gòu)晶胞體積=a3443、立方格子的特征（Filled)項目簡立方體心立方面心立方晶胞體積a3a3a3每個晶胞所含格點數(shù)12(1+8×1/8)4(8×1/8+6×1/2)原胞體積a3a3/2a3/4最近鄰數(shù)6812最近鄰距離a次近鄰數(shù)1266次近鄰距離aa45小結(jié):三種原胞特點

是體積最小的原胞，格點只在頂角上，每個原胞平均只含一個格點，其基矢常用來表示；固體物理學(xué)原胞結(jié)晶學(xué)原胞維格納-賽茲原胞

為同時反映晶體的微觀周期結(jié)構(gòu)和晶體對稱性，通常選取體積較大的原胞，常稱為“晶胞”，其格點不只在頂角上，還可分布在體心和面心處，每個原胞平均不只含一個格點，其基矢常用來表示；

是以一格點為中心，畫中心到最近鄰格點的連線的垂直平分面，圍成的多面體稱維格納-賽茲原胞。它也是體積最小的原胞，其格點只在中心，每個原胞平均只含一個格點；46簡立方結(jié)構(gòu)的原胞、晶胞和維格納-賽茲原胞簡立方原胞簡立方晶胞a簡立方維格納-賽茲原胞47體心立方的原胞、晶胞和維格納-賽茲原胞體心立方晶胞體心立方原胞體心立方維格納-賽茲原胞48（三）簡單晶格與復(fù)式晶格——1、晶格分類NaCl結(jié)構(gòu)面心立方(fcc)(Cu,Ag,Au,Pb,Ni,γ-Fe,Al等)

每個原胞中只含一個原子，且所有原子等價

每個原胞中含兩個或多個原子，且原子不等價簡單晶格復(fù)式晶格49簡單晶格復(fù)式晶格舉例簡立方晶格，體心立方晶格，面心立方晶格等舉例金剛石，六方密排，閃鋅礦結(jié)構(gòu)等特征：每個原胞中只含一個原子，且所有原子等價特征：每個原胞中含兩個或多個原子，且原子不等價復(fù)式晶格與簡單晶格結(jié)構(gòu)有何聯(lián)系？復(fù)式晶格的原胞如何構(gòu)造？50S原子Zn原子六角密排結(jié)構(gòu)(hcp)(Be,Mg,Zn,Ti,Cd,Zr等)512、簡單晶格與復(fù)式晶格的聯(lián)系

復(fù)式晶格(1)每種等價原子形成一個簡單晶格;(2)不同的等價原子形成的簡單晶格是相同的;(3)復(fù)式晶格由多個相同的簡單晶格互相套構(gòu)而成。例如：NaCl，CsCl，金剛石，六角密排等結(jié)構(gòu)。

NaCl結(jié)構(gòu)

兩個面心的套構(gòu)52復(fù)式晶格舉例

金剛石結(jié)構(gòu)兩個面心立方的套構(gòu)

CsCl結(jié)構(gòu)兩個簡立方的套構(gòu)

六角密排結(jié)構(gòu)

兩個簡六方的套構(gòu)53金剛石結(jié)構(gòu)54復(fù)式晶格的原胞(六角密排晶格為例)復(fù)式晶格的原胞就是相應(yīng)的簡單晶格的原胞，原胞中包含每種等價原子各一個。定義：原胞基矢為：55（四）布拉伐格子(Bravaislattice)

1、晶格周期性的數(shù)學(xué)描述設(shè)某一格點處的原子位置坐標(biāo)用R來表示

對于簡單晶格而言，

;（l1,l2,l3為整數(shù)）對于復(fù)式格子而言，；

其中，表示原胞內(nèi)各種等價原子間的相對位移，α=1，2，…，i(設(shè)原胞內(nèi)有i個原子等價）。56舉例：金剛石結(jié)構(gòu)立方頂角及面心位置的原子可表示為：

(其中=0)；

立方單元體對角線上的原子表示為：

(其中=1/4體對角線)

可見，一組（l1,l2,l3)取值表示晶格中的一個格點，（l1,l2,l3)所有可能取值的集合，表示一個空間格子（或點陣）。實際晶格可看成在這個空間點陣的每個格點上放置一個原子（或原子團）構(gòu)成（若放一原子團，則它們的相對位移為rα）。572、布拉伐格子

這個具有晶格周期性的空間格子稱為布拉伐格子，放置在格點上的原子或原子團稱為基元。布拉伐格子是一種數(shù)學(xué)上的抽象，是點在空間中周期性的規(guī)則排列，其每個格點是幾何等價的。例如：Cu的面心立方晶格，Si的金剛石晶格和NaCl晶格布拉伐格子都是面心立方格子，每個格點的基元分別為一個Cu、兩個Si和一對Na+、Cl-離子。583、布拉伐格子，基元與晶格的邏輯關(guān)系布拉伐格子+基元=晶格

自然界中晶格的類型有很多種，但布拉伐格子只有十四種類型(§1-7節(jié)中將詳細講述），任何一種晶體所對應(yīng)的點陣結(jié)構(gòu)一定是14種布拉伐格子之一。59本節(jié)重點：1、立方結(jié)構(gòu)的固體物理學(xué)原胞及基矢

簡立方結(jié)構(gòu)原胞

面心立方原胞

體心立方原胞

=a=a=a

=a/2(

)=a/2()=a/2()

=a/2()=a/2()=a/2()ijk602、復(fù)式晶格的原胞(六角密排晶格為例)復(fù)式晶格的原胞就是相應(yīng)的簡單晶格的原胞，原胞中包含每種等價原子各一個。定義：原胞基矢為：61§1-3晶面、晶向和它們的標(biāo)志

(CrystalplaneandDirection)

主要內(nèi)容（一）晶列與晶向

(Direction)（二）晶面與晶面指數(shù)

(Crystalplaneindices)62（一）晶列與晶向(Direction)通過晶格中任意兩個格點連一條直線，則這條直線將包含無限多個格點，該直線稱為晶列。同一族晶列具有相同的方向，且格點的分布也具有一定的周期。不同族晶列方向不同，格點的周期也不同。

晶向的定義一族晶列的共同方向稱為晶向。晶列圖示布拉伐格子的格點可以看成分列在一系列相互平行的直線系上，稱一族晶列。ab63晶向指數(shù)(Directionindices)

定義：某一晶向上，以一個原子為原點，其最近鄰原子的位移矢量表示為：則[l1l2l3]稱為該晶向的晶向指數(shù)。立方晶格中的晶向OA------[100]OB------[110]OC------[111]ABOCA′[ī00][īī0][īīī]負指數(shù)在數(shù)字上加一橫線。64等效晶向考慮到晶格的對稱性，某些晶向可以只是方向不同，而周期卻是相同的，這類晶向稱為等效晶向。等效晶向的全體用<l1l2l3>表示。如立方晶格中的[ī00],[0ī0],[00ī],[100],[010],[001]六個晶向可用符號〈100〉表示，它們是等效晶向。[001][010][100][100]及等效晶向6566(二)晶面與晶面指數(shù)

(crystalplaneandindices)1、晶面的概念

布拉伐格子的格點還可看成分列在平行等距的平面系上，即晶面。整個晶格可以看作無數(shù)互相平行等距分布的全同的晶面構(gòu)成，而晶格的所有格點都處于這族晶面上。67同一個晶格中兩族取向不同的晶面族通過晶格的任一格點可作無數(shù)取向不同的晶面，因此在晶格中存在無數(shù)取向不同的晶面族。68晶面指數(shù)（密勒指數(shù)）

設(shè)想所有格點都在某晶面系上，為表示這族晶面，選取為坐標(biāo)軸(可為原胞基矢，亦可為晶胞基矢)，或某一個面在三軸的截距，即為，或以a,b,c為三軸的基本單位，則截距分別為h?,k?,l?，習(xí)慣將其倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)比定義為該晶面族的晶面指數(shù)（或稱密勒指數(shù)）即：1/h?:1/k?:1/l?=h:k:l

密勒指數(shù)記作（hkl）。69（hkl）的物理含意表示用互相平行等距的晶面將三軸a,b,c分別等分為h,k,l段；因此，距離原點最近的晶面的三軸截距分別為a/h,b/k,c/l；等效晶面用花括號表示，如立方晶格中的立方體面的晶面指數(shù)分別為(100)、(010)、(001)、(ī00)、(0ī0)、(00ī)，由于晶體的對稱性，這些晶面等效，記作{100}；立方結(jié)構(gòu)的晶格(如面心立方，體心立方等)均以立方單胞(即晶胞)為單位來研究晶向與晶面的問題。70例：立方晶格中的(100),(110),(111)面(100)(110)(111)o71例：立方晶胞中的一些晶面oabcoabcaobcaobc72立方晶格中的等效晶面73證明：立方晶系中方向[hkl]垂直于平面(hkl)方法1、求(hkl)的法線方向與[hkl]平行。方法2、證明[hkl]垂直于與面(hkl)的兩條相交的直線。74§1-4倒格子

(Reciprocallattice)

主要內(nèi)容1、倒格子定義2、倒格子與正格子的關(guān)系3、倒格子與傅立葉變換75為何要引入“倒格子”概念？

倒格子概念是理解晶格X射線衍射、處理晶格振動和固體電子論等有關(guān)問題的有力工具。倒格子是由基矢所規(guī)定的正格子經(jīng)過一定轉(zhuǎn)變而構(gòu)成的另一種布拉伐格子結(jié)構(gòu)。二者在幾何上存在一定的對應(yīng)關(guān)系，該對應(yīng)關(guān)系所聯(lián)系的規(guī)律恰是傅里葉變換。76晶列晶面晶向指數(shù)密勒指數(shù)1、該族晶面相對于基矢的取向—法線方向2、該族晶面的面間距d；研究晶格（正格子空間）結(jié)構(gòu)“倒格子”77晶格的周期性781、倒格子定義定義：基矢正格子空間（或正點陣）基矢倒格子空間（或倒易點陣）其中為正格子原胞體積792、倒格子與正格子的關(guān)系空間基矢位置矢量正格子空間倒格子空間簡稱“倒格矢”(Reciprocallatticevector)2.1數(shù)學(xué)描述802.2倒格子與正格子基矢間關(guān)系i,j=1,2,3

之間存在如下關(guān)系：注意：倒格子基矢的量綱是[長度]-1，與波數(shù)矢量具有相同的量綱。812.3位矢之間關(guān)系正格子位矢：倒格子位矢：二者的關(guān)系：(m為整數(shù))；

表明：若兩矢量點積為2π的整數(shù)倍，則其中一個矢量為正格子位矢，另一個必為倒格子位矢。822.4二者原胞體積的關(guān)系倒格子原胞的體積v*與正格子原胞體積v的關(guān)系為:證明提示：將表達式代入后，利用矢量運算即可證明。832.5正格子中(h1h2h3)晶面族與倒格矢Gh的關(guān)系即沿晶面族（h1h2h3）的法線方向。證明提示：設(shè)晶面ABC是晶面族（h1h2h3）中最靠近原點的晶面，截距分別為思路：能證明

同時垂直于和，即能證明

垂直于面ABC。ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G倒格矢與正格子中密勒指數(shù)為（h1h2h3)的晶面族正交。(1)84簡單證明如下：ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G85(2)晶面族（h1h2h3)的面間距d為證明：由前面的證明可知，原點到面ABC的距離即為所求面間距(設(shè)為d)。

ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Ghd86證明：面心立方點陣陣點密度最大平面是{111}面，體心立方點陣陣點密度最大的平面是{110}面。

解：當(dāng)晶胞體積一定時，最大相應(yīng)的晶面的原子面密度最大，而，為倒格矢，、、為倒格基矢。面心立方點陣基矢為、、而、、所以，只有當(dāng)、、中有一個是1其余是0是，對應(yīng)的最小，相應(yīng)的最大。87設(shè)，，則，它的方向為面心立方的[111]方向，即此倒格點代表面心立方的{111}面族。所以面心立方{111}面族的原子面密度最大。同理，對體心立方點陣：、、對應(yīng)的最小的應(yīng)是、、中只有一個數(shù)是1其余為0。設(shè)，，則它的方向為體心立方的[011]方向，相應(yīng)的晶面為{011}面族。所以體心立方的{011}面面密度最大。883、倒格子與傅立葉變換同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之間遵守傅里葉變換。設(shè)晶格中某點的某一物理量表示如下：晶格的周期性8990(m為整數(shù))；

顯然有：即或者所以，同一個物理量在正格子空間中的表述與在倒格子空間中的表述之間遵守傅里葉變換關(guān)系。傅里葉變換91小結(jié)每個晶格都有兩個點陣（或兩套格子）同它聯(lián)系著，即正格子和倒格子（或晶體點陣和倒易點陣），二者互易(例如體心立方與面心立方互為倒格子)，這兩個點陣都是由三個基矢所定義的空間無窮多個周期性排列的點陣所構(gòu)成，且兩種格子空間中長度的量綱互為倒數(shù)；對于給定的正格子，基矢的選擇是不唯一的，相應(yīng)的倒格子基矢的選擇也是不唯一的，但對應(yīng)的倒格子卻是唯一確定的；同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之間遵守傅里葉變換；92小結(jié)晶體的顯微圖象真實晶體結(jié)構(gòu)的映象；晶體的衍射圖象倒格子（倒易點陣）的映象；晶體點陣(正格子)的格點對應(yīng)原子、分子或其集團倒格子中的格點對應(yīng)晶體中的一族晶面晶體點陣(正格子)的格點位于位置空間或坐標(biāo)空間內(nèi)的,其線度的量綱為[長度]倒格子中的格點在與真實空間相聯(lián)系的倒易空間或傅里葉空間內(nèi)的93描述微觀粒子運動狀態(tài)的波矢k具有和倒格子空間同樣的量綱。倒格子空間又稱狀態(tài)空間或簡稱為k空間94布里淵區(qū)定義：在倒格子空間中，以某一格點為原點，作所有倒格矢G的垂直平分面，這些平面將倒易空間分割為許多包圍原點的多面體，其中離原點最近的多面體稱為第一布里淵區(qū)，離原點次近的多面體與第一布里淵區(qū)的表面所圍成的區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)，同理類推，可得第三、第四布里淵區(qū)等。

95例一：二維正方格子的布里淵區(qū)

倒格子基矢：

可見二維正方格子的倒格子仍為二維正方格子。

方法：在倒格子空間中，以某一格點為原點，作所有倒格矢G的垂直平分面（圖見下頁）。正格子結(jié)構(gòu)：二維正方格子；正格子原胞基矢：

；

96二維正方格子布里淵區(qū)圖示第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)97二維正方格子布里淵區(qū)圖示（演示）第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)98面心立方晶格第一布里淵區(qū)

面心立方晶格的倒格子是體心立方結(jié)構(gòu)，以任一倒格點為原點，共有八個最近鄰，即八個中垂面，圍成一個八面體，但其六個頂角卻被對應(yīng)于六個次近鄰倒格點的中垂面所截。故其第一布里淵區(qū)是十四面體。99體心立方晶格第一布里淵區(qū)倒格子：面心立方結(jié)構(gòu)；倒格子的最近鄰數(shù)：12；方法：以任一倒格點為原點，考慮到離原點最近的倒格點共有12個，即作出相應(yīng)的12個中垂面，圍成一個12面體，因次近鄰倒格點的中垂面并不切割它，所以其第一布里淵區(qū)的形狀就是12面體。100布里淵區(qū)的特征(1)第一布里淵區(qū)實際上就是倒格子的維格納——賽茲原胞，其形狀圍繞原點中心對稱；(2)其余每個布里淵區(qū)的各個部分也都是以原點為中心對稱分布的；(3)每個布里淵區(qū)的體積都相等且等于倒格子原胞的體積。

101§1-5晶格的宏觀對稱性

(Macroscopicsymmetry)

一些晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱，如立方、六角等對稱，研究表明：這種對稱性不僅表現(xiàn)在幾何外形上，而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中，對于研究晶體的性質(zhì)有極重要的意義。因此，研究晶體物理性質(zhì)時，先從其幾何外形的宏觀對稱性開始研究。5.1晶體的對稱性(symmetry)5.2對稱素與對稱操作(symmetryelementsandsymmetryoperatioon)5.3宏觀對稱性與物理性質(zhì)(macroscopicsymmetryandphysicalproperties)1025.1對稱性(symmetry)晶體的對稱性是指晶體經(jīng)過某些對稱操作后仍能回復(fù)原狀的特性。對稱操作是指一定的幾何變換。如某物體在某一正交變換（保持兩點距離不變）下不變，則稱這個變換為物體的一個對稱操作。103不同幾何圖形的對稱性分析(1)分析方法：從圖形的旋轉(zhuǎn)來分析——顯然，可以具體顯示出A、B、C三者的不同程度的對稱，但不能區(qū)分C和D。正方形只有在旋轉(zhuǎn)π/2,π,3π/2的情況下圖形才自身重合等腰梯形只有旋轉(zhuǎn)2π角度圖形才能自身重合圓形對任何繞中心的旋轉(zhuǎn)，圖形都不變不規(guī)則四邊形只有旋轉(zhuǎn)2π角度圖形才能自身重合ABCD104不同幾何圖形的對稱性分析(2)正方形只有對對邊中心的連線和對角線作反射，圖形才自身重合等腰梯形只有對兩底中心連線，圖形才能自身重合圓形對任意直徑作反射，圖形都不變不規(guī)則四邊形不存在任何左右對稱的線BCD分析方法：讓圖形按一條直線作左右反射——結(jié)果表明完全可以區(qū)分出A、B、C和D的不同程度的對稱性。A105研究晶體宏觀對稱性的方法

考查晶體在一定幾何變換下的物理不變性?！靶D(zhuǎn)和反射等”是正交變換即保持兩點距離不變。一個物體在某一正交變換下不變，稱這個變換為物體的一個對稱操作。描述一個物體的對稱性可歸結(jié)為列舉其全部對稱操作，一個物體的對稱操作愈多，對稱性愈高。106例一：立方體的對稱性

——列舉立方對稱結(jié)構(gòu)的全部對稱操作立方軸角度：π/2,π,3π/2對稱操作個數(shù)：3×3=9面對角線角度：π對稱操作個數(shù)：1×6=6體對角線角度：2π/3,4π/3對稱操作個數(shù)：2×4=8不動操作24個n重旋轉(zhuǎn)軸24個n重旋轉(zhuǎn)-反演軸總計：48個對稱操作107例二：正四面體對稱性

——列舉正四面體的全部對稱操作立方軸角度：π，對稱操作個數(shù)：3；

體對角線角度：2π/3，4π/3對稱操作個數(shù)：4×2=8

不動操作

轉(zhuǎn)立方軸π/2，3π/2后再加上中心反演對稱操作

個數(shù)：3×2=6繞面對角線轉(zhuǎn)π后再做中心反演對稱操作個數(shù)：6

12個含中心反演的操作

12個純轉(zhuǎn)動操作

ADCB108例三：正六角柱對稱性

——列舉正六角柱的全部對稱操作中心軸線角度:π/3，2π/3，π，4π/3，5π/3對稱操作個數(shù)：5

對棱中點連線角度：π對稱操作個數(shù)：3

不動操作

相對面中心的連線角度:π對稱操作

個數(shù)：312個含中心反演的操作

12個純轉(zhuǎn)動操作

1095.2對稱素與對稱操作

1、對稱素(symmetryelements)

晶體對稱操作所依賴的幾何要素，如點、線、面等稱為對稱素。對稱面對稱軸對稱中心m或σn或(n=1,2,3,4,6)i110n重旋轉(zhuǎn)軸n重旋轉(zhuǎn)-反演軸列舉所有的對稱操作列舉它所具有的對稱素2、對稱素與對稱操作

(symmetryoperation)描述物理對稱性111n只能取1、2、3、4、6(一)n重旋轉(zhuǎn)軸定義：一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角度以及它的倍數(shù)能與自身重合時，這個軸稱為物體的n重旋轉(zhuǎn)軸，記作n。

由于晶格周期性的限制，不可能有5度或6度以上的旋轉(zhuǎn)對稱軸。112（二）n重旋轉(zhuǎn)-反演軸定義：若一個物體繞某一轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度再加上中心反演的聯(lián)合操作以及聯(lián)合操作的倍數(shù)能自身重合時，這個軸稱為晶體的n重旋轉(zhuǎn)-反演軸（有的教材也稱象轉(zhuǎn)軸），記作。

113對稱軸舉例——立方體立方軸（9個）角度：π/2,π,3π/2即是4重軸，又是4重旋轉(zhuǎn)-反演軸面對角線（6個）角度：π即是2重軸，又是2重旋轉(zhuǎn)-反演軸體對角線（8個）角度：2π/3,4π/3即是3重軸，又是3重旋轉(zhuǎn)-反演軸不動操作24個n重旋轉(zhuǎn)軸24個n重旋轉(zhuǎn)-反演軸總計：48個對稱操作114特殊的對稱素：

代表先轉(zhuǎn)動π角度后再對原點做中心反演的操作，稱鏡面（如圖所示），記作m或σ。AA1A2π反演A2與A的關(guān)系：A2是A通過M面的鏡像AA1A2M1153、對稱操作群（1）“群”的數(shù)學(xué)定義及性質(zhì)1.數(shù)學(xué)定義：群代表一組“元素”的集合，這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，如。2.群的性質(zhì)：(1)閉合性：,則;(2)存在單位元素E：AE=A；(3)存在逆元素：有；

(4)元素間的“乘法運算”滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C。

116群1.正實數(shù)群所有正實數(shù)的集合，普通乘法為運算法則。2.整數(shù)群所有整數(shù)的集合，加法為運算法則。3.對稱操作群全部對稱操作的集合，連續(xù)操作為運算法則。117（2）對稱操作群定義定義：一個物體的全部對稱操作的集合稱為對稱操作群。

運算法則：連續(xù)操作單位元素：不動操作逆元素：繞某轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)θ的逆元素—繞該軸繞-θ角度； 中心反演的逆元素—中心反演118連續(xù)對稱操作的實例O

A

B

C

T

T’

S

先繞OA，后繞OC旋轉(zhuǎn)119物理量的對稱變換

如果經(jīng)過坐標(biāo)變換后，在新舊兩個坐標(biāo)系中觀測某一物理量相對于坐標(biāo)的分布情況完全相同，則該變換叫做物理量的對稱變換。

120立方晶系各階張量的簡化晶體的二階張量121繞Z軸逆時針方向

轉(zhuǎn)對稱變換

1225.3宏觀對稱性與物理性質(zhì)例、證明簡六方晶體的介電常量具有如下形式：表明：平行軸方向：垂直軸方向：即介電性在平行和垂直六角軸方向有差別，六角對稱晶體具有雙折射現(xiàn)象。123簡六方結(jié)構(gòu)介電常量思路正交變換后

寫出經(jīng)晶體的對稱操作后的表達式，利用，找到矩陣ε的每一個量。124簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量證明如圖設(shè)x,y,z軸，D具有如下形式：125簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量對稱操作一：設(shè)E=(E,0,0),即E沿x軸方向，令晶體繞x軸轉(zhuǎn)180°，則y變成y’=-y，z變成z’=-z，即：εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.126簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量對稱操作二：設(shè)E=(0,E,0),即E沿y軸方向，令晶體繞y軸轉(zhuǎn)180°，則x變成x’=-x，z變成z’=-z，即：εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.127簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量對稱操作三：設(shè)E=(0,0,E),即E沿z軸方向，令晶體繞z軸轉(zhuǎn)180°，則x變成x’=-x，y變成y’=-y，即：εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.128簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.綜上所述：129簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量對稱操作四：設(shè)E沿六角形頂角A方向，即令晶體以E為軸轉(zhuǎn)180°，則y變成y’，z變成z’。130簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量由于E所在方向是2重軸，故轉(zhuǎn)180度后，電位移矢量D不變，即131簡六方結(jié)構(gòu)的介電常量εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.132證2：

設(shè)轉(zhuǎn)動操作的變換矩陣為T，在該操作下二階張量的變換為若該操作為對稱操作，應(yīng)滿足

133

取對稱操作為繞x軸轉(zhuǎn)180度，代入上式，有134

再取對稱操作為繞y軸轉(zhuǎn)180度，代入上式，有

135

最后，取繞z軸轉(zhuǎn)120度，

可得

136§1-6點群(pointgroup)基本對稱素點群組合構(gòu)成1371、基本對稱素

(Basicsymmetryelements)

晶體的宏觀對稱性是晶體在原子的周期性排列基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，因此，由其產(chǎn)生的對稱操作要受到嚴格的限制，只有獨立的對稱操作所對應(yīng)的對稱素才稱為基本對稱素。前面提到的對稱素：n重旋轉(zhuǎn)軸和n重旋轉(zhuǎn)-反演軸并不都是獨立的操作。138n重旋轉(zhuǎn)-反演軸并不都是獨立的對稱素2重旋轉(zhuǎn)-反演軸等價于垂直于該軸的反映面。AA1A2M反演中心139n重旋轉(zhuǎn)軸中n只能取1、2、3、4、6（1）AB為格點；（2）對稱操作一：晶體繞A轉(zhuǎn)θ度，B轉(zhuǎn)至B`點，由于轉(zhuǎn)動操作不改變格子，故B`也必為格點。（3）對稱操作二：晶體繞B轉(zhuǎn)θ度，A轉(zhuǎn)至A`點，由于轉(zhuǎn)動操作不改變格子，故A`也必為格點。B`A`平行于AB140n只能取1、2、3、4、6B`A`平行于AB根據(jù)晶格周期性：B`A`=pAB（這里，p為整數(shù)）幾何關(guān)系可得：B`A`=AB(1-2cosθ)1212由式可得：141n只能取1、2、3、4、6P值-10123θ值2π/12π/62π/42π/32π/2n值16432列表分析如下：142晶體中不可能存在5度軸示意圖143基本對稱素與點群1、點群：(1)點群是在操作中至少有一點保持不動的對稱操作群。轉(zhuǎn)動、中心反演和對稱面都是點對稱操作。(2)受晶格周期性限制，對稱素組合成群時受到嚴格限制，八種基本對稱素組合只能得到32種點群（不包括平移對稱操作），即晶體宏觀對稱性只有32種不同類型。1，2，3，4，6，i，m，144n重旋轉(zhuǎn)-反演軸并不都是獨立的對稱素2重旋轉(zhuǎn)-反演軸等價于垂直于該軸的反映面。AA1A2M反演中心145本書中“點群”的定義1.定義：在1,2,3,4,6,十個對稱素的基礎(chǔ)上組成的對稱操作群稱點群。

2.十種對稱素只能組成32種不相同的點群。

14632種點群簡介C1不動操作Cn回轉(zhuǎn)群：只含一個旋轉(zhuǎn)軸，下角標(biāo)n表示n重旋轉(zhuǎn)軸Dn雙面群：包含一個n重旋轉(zhuǎn)軸和n個與之垂直的二重軸CiC1加中心反演CsC1加反映面CnhCn加與n重軸垂直的反映面CnvCn加與n個含n重軸的反映面DnhDn加與n重軸垂直的反映面14732種點群簡介(續(xù))DndDn加通過n重軸及兩根二重軸角平分線的反映面(n=2,3)Sn只包含旋轉(zhuǎn)反演軸，n=4,6(其中S1=Ci,S2=Cs,S3=C3h)Oh立方點群：由立方對稱的48個對稱操作組Td正四面體點群：正四面體的24個對稱操作組成；OOh中24個純轉(zhuǎn)動操作組成TTd中12個純轉(zhuǎn)動操作組成ThT加中心反演148§1-7晶格的對稱性(symmetry)1、七個晶系2、十四種布拉伐格子3、空間群149七個晶系與十四個布拉伐格子關(guān)系圖立方晶系

六角晶系

四方晶系

三角晶系

正交晶系

單斜晶系

三斜晶系

簡單立方體心立方面心立方

六角

簡單四方體心四方

三角

簡單正交底心正交體心正交面心正交

簡單單斜底心單斜簡單三斜每一晶系按其晶胞的底心、面心或體心是否有格點可分為幾種不同的形式，每種形式為一種布拉伐格子，則七個晶系共計包含14種布拉伐格子。晶體的32種宏觀對稱性類型可以分成七類，即七個晶系。其中每個晶系包含若干種點群，它們具有某些共同的對稱素。150具有一個特征轉(zhuǎn)軸的晶系晶系特征對稱操作對晶胞要求三斜C1,夾角不等單斜C2三角C3四方C4六角C6151具有多個二度轉(zhuǎn)軸的晶系晶系特征對稱操作對晶胞要求正交三個互相垂直的C2晶系特征對稱操作對晶胞要求立方4個C3具有多個高度轉(zhuǎn)軸的晶系1522、14種布拉伐格子—三斜、單斜晶系

三斜晶系簡單三斜夾角不等單斜晶系簡單單斜單斜晶系底心單斜153三角晶系、四方晶系、六角晶系三角晶系三角四方晶系簡單四方四方晶系體心四方六角晶系六角154正交晶系正交晶系簡單正交正交晶系底心正交正交晶系體心正交正交晶系面心正交155立方晶系立方晶系簡單立方立方晶系體心立方立方晶系面心立方1563、空間群晶格的周期性，也稱平移對稱性，用布拉伐格子來表征，平移一個布拉伐格子的晶格矢量后，晶體自身重合，稱為平移對稱操作。晶格的對稱性也可用一系列轉(zhuǎn)動（或轉(zhuǎn)動加反演）對稱操作來描述，這些對稱操作的集合組成點群。所有布拉伐格子晶格矢量對應(yīng)的平移對稱操作的集合，稱為平移群?？臻g群157“空間群”定義定義：晶格全部對稱操作的集合，稱為空間群。其元素是點群操作和平移操作的組合。已知共有230種晶體空間群，所以所有的晶格結(jié)構(gòu)有230個類型，每個對稱類型由一個空間群描述。158§1-8晶體表面的幾何結(jié)構(gòu)

通常討論問題都是在假定沒有表面的理想情況，實際上并不都是理想情況。研究表面問題，首先要從表面原子排列規(guī)律入手。晶體表面原子排列的規(guī)律：若定義垂直表面方向為z軸，則z軸方向周期性被破壞，而沿表面卻保持周期性，即表面具有二維周期性，可用二維布拉伐格子來表征。也就是說，晶體表面原子的規(guī)則排列看成是體內(nèi)原子規(guī)則排列的延續(xù)，只是失去了垂直表面方向的周期性。實際上的表面是指晶體三維周期結(jié)構(gòu)和真空之間的過渡層，可看成一種特殊的相——表面相。

159晶體表面晶格排列周期性用二維布拉伐格子來表征晶體表面晶格排列的周期性：為基矢；l1,l2為整數(shù)。2、原胞是為邊矢量構(gòu)成的平行四邊形。1、160回顧：立方晶格中的(100),(110),(111)面(100)(110)(111)o161舉例晶體內(nèi)部面心立方（fcc）結(jié)構(gòu)ABCDEFGH分析(100)面即面ABCD的二維布拉伐格子結(jié)構(gòu)。結(jié)論：此結(jié)構(gòu)是正方格子結(jié)構(gòu)，兩基矢相互垂直。162分析面心立方的（111）面結(jié)構(gòu)A層：B層：C層：AFH163面心立方的（111）面結(jié)構(gòu)AFH結(jié)論：（111）面的結(jié)構(gòu)是密排結(jié)構(gòu)?；笂A角為60度。164二維結(jié)構(gòu)的倒格子空間

晶體表面結(jié)構(gòu)具有二維周期性，其倒格子空間也是二維周期結(jié)構(gòu)。1、二維正格子基矢：2、二維倒格子基矢：3、以為基矢構(gòu)成二維倒格子結(jié)構(gòu)，其每個格點位置為165二維晶格的晶系和布拉伐格子晶系軸和角度布拉伐格子斜方簡單斜方長方簡單長方中心長方正方簡單正方六角簡單六角166五種布拉伐格子組成的二維點陣a簡單斜方格子；b簡單正方格子；c簡單六角格子；d簡單長方正交格子；e有心長方格子167表面相

前面的研究，認為晶體的表面的規(guī)則排列是體內(nèi)規(guī)則排列的延續(xù)，只是失去了垂直表面方向的周期性而以。實際上，表面是晶體三維結(jié)構(gòu)與真空結(jié)構(gòu)的過渡層，看成是一種特殊的相——表面相，表面相中原子排列和化學(xué)組成與晶體內(nèi)部不完全相同。

若設(shè)表示晶體內(nèi)部與表面平行的晶面上的基矢，而表示表面相基矢，二者可能不相同，這種現(xiàn)象稱為表面再構(gòu)。表面再構(gòu)現(xiàn)象往往與表面原子弛豫現(xiàn)象和原子吸附有關(guān)。168表面再構(gòu)分類若夾角與夾角相同（相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)一定角度），標(biāo)記為R(h1h2h3)p×q-Q。

例如：

后面括號中的s表明是物質(zhì)表面的吸附原子。

第二類：二者不平行。第一類：//，//；若=p,=q，則表面再構(gòu)可表示為R（h1h2h3）p×q

。例如：Si(111)7×7表明Si(111)表面原子排列的周期為體內(nèi)的7倍。

169獲得再構(gòu)表面采取實驗方法獲得不同的再構(gòu)表面。Si(111)25°超真空解理亞穩(wěn)的(2×1)結(jié)構(gòu)350°退火(7×7)結(jié)構(gòu)約800°時對表面進行淬火高溫的(1×1)結(jié)構(gòu)170§1-9非晶態(tài)材料的結(jié)構(gòu)

(structureofamorphousmaterial)

基本概念：鍵長：近鄰原子間的距離。鍵角：近鄰原子邊線之間的夾角。長程序：理想晶體原子排列具周期性，稱為長程序。短程序：非晶態(tài)材料原子排列不具有周期性，不具有長程序，但在近鄰原子數(shù)目和種類，鍵長和鍵角方面基本保留原來的特點，稱為短程序。171非晶態(tài)材料結(jié)構(gòu)描述對于理想晶體—其結(jié)構(gòu)具有長程序。對于非晶態(tài)材料—其結(jié)構(gòu)失去長程序，而保留短程序。非晶態(tài)材料結(jié)構(gòu)描述：徑向分布函數(shù)（簡寫為RDF）。172RDF定義及基本實驗方法徑向分布函數(shù)（簡寫為RDF）定義：以原子為球心，半徑在r到r+dr球殼內(nèi)的平均原子數(shù)，用J(r)=4πr2ρ(r)dr表示。ρ(r)代表距原子r的球面上的原子密度，J(r)即為徑向分布函數(shù)。X射線、電子和中子衍射等測定RDF基本實驗方法173§1-10準(zhǔn)晶態(tài)晶體------具有點群對稱性

實驗手段X射線衍射，中子衍射，電子衍射等衍射圖樣：一組組清晰斑點，斑點圖樣顯示出晶體的對稱性非晶體------長程無序衍射圖樣：呈現(xiàn)彌散的環(huán)，沒有表征晶態(tài)的斑點。174AlMn合金的電子衍射圖175Penrose拼接圖案（1974）

(數(shù)學(xué)游戲）特點：五次對稱圖形比比皆是，但分布不具有周期性。176“箭”和“風(fēng)箏”四邊形兩個四邊形的邊長有兩種取值，之比為1.618177準(zhǔn)晶態(tài)結(jié)構(gòu)特點

準(zhǔn)晶是固態(tài)物質(zhì)的一種新的有序相,具有：（1）長程取向序（2）不具有長程的平移對稱序（3）取向序具有晶體周期性所不能允許的點群對稱性不具有長程的平移對稱序（4）沿取向序?qū)ΨQ軸的方向具有準(zhǔn)周期性178第一章總結(jié)1791、重要概念原胞、基矢、晶胞、布拉伐格子；簡單晶格、復(fù)式晶格；晶列、晶向、晶向指數(shù)、晶面、晶面指數(shù)；倒格子、倒格子基矢、倒格矢；n重旋轉(zhuǎn)軸、n重旋轉(zhuǎn)-反演軸；基本對稱操作、點群、空間群；七個晶系、十四種布拉伐格子。1802、基本問題立方格子的結(jié)構(gòu)特征簡單晶格與復(fù)式晶格的區(qū)別與聯(lián)系倒格子與正格子的區(qū)別與聯(lián)系晶向指數(shù)與晶面指數(shù)七個晶系與14種布拉伐格子1813、典型的計算問題（1）致密度的計算致密度：設(shè)想晶體由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)體積與晶胞體積的比值稱為致密度。例題：P578—1.1182第一章習(xí)題1.1證明：原子球半徑為r，晶格常數(shù)a，ar183第一章習(xí)題184第一章習(xí)題2、試證明六方密排密堆積結(jié)構(gòu)中證明：ABCD四原子球構(gòu)成四面體結(jié)構(gòu)，ABCOADCBD185（2）如何判斷(正)倒格子是何結(jié)構(gòu)？1、寫出基矢的表達式，與常用的習(xí)慣寫法對比來確定；2、計算出原胞體積來確定其結(jié)構(gòu)。例一：P578—1.3例二：基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)；若，又為何種結(jié)構(gòu)？1861.3試證明：面心立方的倒格子為體心立方。證明：已知面心立方正格子基矢如下：由倒格矢公式可得：對比二者只相差一常數(shù)公因子，因此得證。187例二題解例：基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)；若，又為何種結(jié)構(gòu)？解：計算晶體原胞體積：由原胞推斷，晶體結(jié)構(gòu)屬體心立方結(jié)構(gòu)。188例二題解由原胞推斷，該晶體結(jié)構(gòu)仍屬體心立方結(jié)構(gòu)。189（3）正格子與倒格子關(guān)系1、原胞體積關(guān)系證明（P578—1.4）；2、倒格矢與晶面族的關(guān)系（P578—1.5）；3、面間距（P578—1.6）;1901.4證明：倒格子原胞的體積v*與正格子原胞體積v的關(guān)系為:證明提示：將表達式代入后，利