函數的基本性質習題課教案word

《函數的基本性質習題課》教學設計教學目標1．復習函數的基本性質—單調性、最大（?。┲怠⑵媾夹?，構建函數性質的知識結構．2．能應用數形結合、函數與方程、化歸與轉化的思想進行運算求解、推理論證，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．教學重難點教學重點：理解函數的基本性質，應用函數的性質進行運算求解、推理論證．教學難點：應用函數的性質進行運算求解、推理論證．課前準備PPT課件．教學過程一、復習導入問題1：請同學們梳理第節(jié)（課本P76～P85）的內容，回答以下幾個問題：（1）函數的基本性質有哪些？你能依次從圖象特征和代數符號的角度敘述這些性質嗎？（2）你能說說研究函數的性質的方法嗎？師生活動：學生先獨立閱讀思考，老師根據學生的回答補充．預設的答案：（1）的答案見表1：表1函數的性質單調性最大（?。┲灯媾夹詧D象語言在區(qū)間D上，圖象從左到右是上升（下降）的，函數值隨著自變量的增大而增大（減?。罡撸ǖ停c的縱坐標就是函數f(x)的最大（?。┲担畧D象關于原點（y軸）對稱，則為奇（偶）函數．符號語言?x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就稱函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增（遞減）．如果存在實數M（m）滿足：（1）?x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥m）；（2）?x0∈I，使得f(x0)＝M（m），那么就稱M（m）是函數y＝f(x)的最大（小）值．?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)（f(－x)＝f(x)），那么函數就叫做奇（偶）函數．表1中，函數y＝f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I．（2）先觀察具體函數圖象，分析圖象特征，形成對函數性質的感性認識；再結合解析式從代數的角度定量刻畫函數性質，抽象出一般概念；最后應用概念分析解決問題．設計意圖：通過復習幫助學生梳理學習方法，構建函數基本性質的知識結構．引語：我們在第節(jié)主要學習了三種函數性質，本節(jié)課我們一起來深入體會這些性質的作用．（板書：函數的基本性質習題課）二、新知探究1．單調性的應用例1（習題P86第8題）（1）根據函數單調性的定義證明函數y＝x＋eq\f(9,x)在區(qū)間（3，＋∞）上單調遞增；（2）討論函數y＝x＋eq\f(9,x)在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性；（3）討論函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性．師生活動：學生回憶單調性的探究思路，老師在學生回答的基礎上進行補充．預設的答案：（1）證明：?x1，x2∈(3，＋∞)，且x1＜x2，有y1－y2＝(x1＋eq\f(9,x1))－(x2＋eq\f(9,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(9,x1)－eq\f(9,x2))＝(x1－x2)＋eq\f(9(x2－x1),x1x2)＝(x1－x2)－eq\f(9(x1－x2),x1x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(9,x1x2))＝(x1－x2)(eq\f(x1x2－9,x1x2))由x1，x2∈(3，＋∞)，得x1＞3，x2＞3，所以x1x2＞9，x1x2－9＞0．由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是(x1－x2)(eq\f(x1x2－9,x1x2))＜0，即y1＜y2．所以，函數y＝x＋eq\f(9,x)在區(qū)間(3，＋∞)上的單調遞增．（2）當x1，x2∈(0，3)時，x1x2－9＜0，則y1－y2＞0，即y1＞y2，所以y＝x＋eq\f(9,x)在區(qū)間(0，3)上單調遞減．綜上，y＝x＋eq\f(9,x)在區(qū)間(0，3)上單調遞減，在區(qū)間（3，＋∞）上單調遞增．（3）函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）在區(qū)間(0，eq\r(k)]上單調遞減，在區(qū)間[eq\r(k)，＋∞）上單調遞增．追問1：判斷函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）在區(qū)間（0，＋∞）上是否存在最值并說明理由；（根據函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）的單調性，可知該函數在x＝eq\r(k)處取到最小值，最小值為2eq\r(k)，無最大值．）追問2：函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）在區(qū)間[2，3]上具有單調性，求k的取值范圍；（由該函數的單調性可知：3≤eq\r(k)或2≥eq\r(k)，解得：k≥9或0＜k≤4，所以k的取值范圍為(0，4]∪[9，＋∞）．）追問3：你還能得到函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）的哪些性質？（函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，該函數為奇函數．它在區(qū)間(0，eq\r(k)]上單調遞減，在區(qū)間[eq\r(k)，＋∞）上單調遞增；在區(qū)間(－∞，－eq\r(k)]上單調遞增，在區(qū)間[－eq\r(k)，0）上單調遞減．）圖1追問4：請你試著畫出該函數y＝x＋eq\f(k,x)（k＞0）的圖象．（學生根據函數性質畫出與圖1類似的圖象．）圖1設計意圖：例1通過單調性的證明與求解單調區(qū)間加深學生對單調性定義的理解，提升學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．追問1，2訓練學生對函數的圖象與性質（單調性、最大（?。┲担┑睦斫?，追問3，4訓練學生對函數性質的整體把握，通過性質的探究預測圖象的大致走向，感受代數與幾何的相互成就，提升學生的直觀想象和數學抽象素養(yǎng)．2．單調性與奇偶性的綜合應用例2（習題P86第11題）已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)．畫出函數f(x)的圖象，并求出函數的解析式．追問1：求f(－1)．（f（1）＝1×(1＋1)＝2，又因為函數f(x)是奇函數，所以f(－1)＝－f（1）＝－2．）追問2：求f(t)．（當t≥0時，f(t)＝t(1＋t)；當t＜0時，－t＞0，f(－t)＝－t×(1＋(－t))＝－t(1－t)，又因為函數f(x)是奇函數，所以f(t)＝－f(－t)＝t(1－t)．）師生活動：學生先獨立地根據奇偶性畫出函數的圖象，體會該函數在定義域R內的不同范圍內的對應關系不同，明確所求函數是分段函數．求解解析式對于大多數高一學生來說比較困難，老師可以適當通過追問加以引導．預設的答案：當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)；當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－x×(1＋(－x))＝－x(1－x)，又因為函數f(x)是奇函數，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)．綜上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(1－x)，x＜0，,x(1＋x)，x≥0．))圖象如圖2實線部分．圖2圖3追問3：若函數f(x)是定義域為R的偶函數，其他條件不變，畫出函數f(圖2圖3（當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)；當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－x×(1＋(－x))＝－x(1－x)，又因為函數f(x)是偶函數，所以f(x)＝f(－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．綜上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x－1)，x＜0，,x(1＋x)，x≥0．))圖象如圖3實線部分．）追問4：在例2與追問3中，分別判斷在(－∞，0)上的單調性，據此你能得到奇函數和偶函數單調性的哪些特點？（例2中，函數在(－∞，0)上單調遞增；追問3中，函數在(－∞，0)上單調遞減．據此得到猜想：奇函數在對稱區(qū)間上單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反．）追問5：下面的命題是真命題嗎？如果是請你證明，如果不是，請你舉出反例：已知函數f(x)是偶函數，而且在[a，b]上單調遞減，則f(x)在[－b，－a]上單調遞增．（這是個真命題．證明：?x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，由－b≤x1＜x2≤－a，得a≤－x2＜－x1≤b，由f(x)在[a，b]上單調遞減，得f(－x2)＞f(－x1)，即f(－x1)－f(－x2)＜0，得f(x1)－f(x2)＝f(－x1)－f(－x2)＜0，所以，函數f(x)在[－b，－a]上單調遞增．）設計意圖：追問1，2是引導學生從具體的函數求值入手過渡到一般的函數求值，然后比較自然地求解例2，追問3鞏固例2中所學的思路與方法，提升學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．追問4，5引導學生體會單調性與奇偶性之間的關系，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．三、歸納小結，布置作業(yè)問題2：回憶本節(jié)課的內容，請你回答以下幾個問題：（1）奇偶性與單調性如何互相影響？（2）應用奇偶性和單調性的定義，我們可以解決什么問題？師生活動：師生一起總結．預設的答案：（1）如果函數是奇函數，則在對稱區(qū)間上的單調性是相同的；如果函數是偶函數，則在對稱區(qū)間上的單調性是相反的．（2）利用單調性定義，可以用于證明一些圖象已知的函數的單調性，還可以用于判定圖象未知的函數的單調性．利用奇偶性定義，可以判定奇偶性，還可以解決對稱區(qū)間上的函數求值問題．設計意圖：通過梳理本節(jié)課的內容，讓學生明確函數性質的各種作用．作業(yè)布置：教科書復習參考題3第3，4，9，12題．四、目標檢測設計1．已知f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)，x∈R．（1）求證：f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調遞增；（2）你還能得到函數的哪些性質？設計意圖：考查函數單調性、奇偶性、最值等性質．2．已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，當x＜0時，f(x)＝x(x＋1)，則當x＞0時，f(x)＝________．設計意圖：考查運用奇偶性的定義求解析式．3．函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上單調遞減，則a的取值范圍是______．設計意圖：考查單調性的應用．參考答案：1．（1）?x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，則f(x