第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字邏輯電路

講義信息工程學(xué)院劉永強(qiáng)第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)概述一、邏輯代數(shù)在數(shù)字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義，這里的0和1只表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。二、數(shù)制和編碼1.十進(jìn)制143.75=1*102+4*101+3*100+7*10-1+5*10-2

D=ki10i2.二進(jìn)制(101.11)2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2=(5.75)10D=ki2i3.十六進(jìn)制D=ki16i

D=

kiNi

第1章1.1

4、數(shù)制轉(zhuǎn)換

1.二－十進(jìn)制(101.11)2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2=(5.75)10

2.十－二進(jìn)制分整數(shù)和小數(shù)兩部分：整數(shù)部分除以2取余，小數(shù)部分乘以2取整。

3.二－十六進(jìn)制！注意：由高位指向低位整數(shù)部分箭頭向上,小數(shù)部分箭頭向下。

(101,1110.1011,0010)2=(5E.B2)164.十六－二進(jìn)制(8FA.C6)16=(100011111010.11000110)2編碼：為了便于記憶和處理，

編制代碼時(shí)所遵循的規(guī)則BCD代碼：用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示1位十進(jìn)制數(shù)時(shí)所采用的代碼。

1.與邏輯關(guān)系第1章1.2定義

：當(dāng)決定事件的各個(gè)條件全部具備之后，事件才會(huì)發(fā)生。EABY與邏輯運(yùn)算真值表

三種基本運(yùn)算ABY001101010001１.１基本概念、公式和定理Y=ABABY&與門邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式AEBY2.或邏輯關(guān)系??第1章1.2Y=A+B或門邏輯符號(hào)或門邏輯式Y(jié)AB1>1定義：當(dāng)決定事件的各個(gè)條件中有一個(gè)或一個(gè)以上具備之后，事件就會(huì)發(fā)生?；蜻壿嬤\(yùn)算真值表EY3.非邏輯關(guān)系

A1YY=AAR??非門/反相器邏輯符號(hào)非門邏輯式第1章1.2定義：決定事件的條件只有一個(gè)，當(dāng)條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生，條件不具備時(shí)，事件發(fā)生。非邏輯運(yùn)算真值表圖形符號(hào)：

上圖：目前國家標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。下圖：常見國外書刊符號(hào)。4.復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算關(guān)系

與非、或非、與或非、異或、同或邏輯。同或運(yùn)算：異或運(yùn)算1.3

邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.3.1基本公式

01定律：0?A=0,1?A=A0+A=A,1+A=1第1章1.3重疊律：A?A=A,A+A=A互補(bǔ)律：A?A=0,A+A=1交換律：A+B=B+A，A?B=B?A結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C,A?(B?C)=(A?B)?C分配律：A(B+C)=A?B+A?C,A+B?C=(A+B)?(A+C)反演律：A?B=A+B,A+B=A?B還原律：A=A加對(duì)乘進(jìn)行分配第1章131.

A+A?B=A例1：

Y=(AB+C)ABD+AD=AD2.

A+A?B=A+B例2：

Y=AB+B+AB=A+B+AB=A+B3.

AB+A?B=A例3：

Y=ABCD+ABCD=A4.

AB+AC+BC=AB+AC例4：

Y=AC+AB+B+C=AC+AB+BC=AC+BC推論.

AB+AC+BCDEF(…)=AB+AC5.

A+A=A，A+A=1（配項(xiàng)法）（吸收法）（消因子法）(并項(xiàng)法)（消項(xiàng)法）1.3.2常用公式

第1章1.4

1.4

邏輯代數(shù)的基本定理

1.4.1代入定理

1.4.3對(duì)偶定理

1.4.2反演定理01，10，+，+

FF’01，10，+，+,

FFAA,AA在含有變量A的邏輯等式中,若用一個(gè)邏輯式代入式中A的位置,則等式依然成立。對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié),若將其中所有的則得到的結(jié)果就是Y的反函數(shù)。對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié),若將其中的則得到的結(jié)果就是Y的對(duì)偶式。若兩邏輯式相等,則它們的對(duì)偶式也相等。1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.5.1邏輯函數(shù)以邏輯變量作為輸入,運(yùn)算結(jié)果作為輸出,這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。Y=F（A，B，C，…….）變量和函數(shù)的取值均只有0和1兩種狀態(tài)，所以討論的是二值函數(shù)。

2.邏輯表達(dá)式

1.邏輯圖Y=BC+A第1章1.5

3.邏輯真值表1.5.2邏輯函數(shù)的表示方法AB1C&Y>1BBCF=ABC+ABC+ABC邏輯表達(dá)式：4.邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換FABC00000100100011000010011110111111

找出輸出“1”的組合用“與”寫出使輸出為1的組合。將所有已寫出的組合進(jìn)行“或”

F=ABC+ABC+ABC真值表m0m100000101最小項(xiàng)二進(jìn)制代碼十進(jìn)制數(shù)mim2m3m4m5m6m7010011100101110111234567（2）最小項(xiàng)編號(hào)

（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)

a.在輸入變量的任何取值下,必有一個(gè)最小項(xiàng),而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)取值為1;

b.任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0;

c.全體最小項(xiàng)之和為1。④最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成若干個(gè)最小項(xiàng)的和，即最小項(xiàng)表達(dá)式，它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)“與—或”表達(dá)式，而且這種形式是唯一的。例1:Y=ABC+BC=ABC+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC=m6+m7+

m3=（m3,m6,m7)

最小項(xiàng)表達(dá)式第1章1.51.6邏輯函數(shù)的公式法化簡第1章1.61.6.1邏輯函數(shù)的最簡形式1.“與—或”式Y(jié)=AB+AC2.“或—與”式Y(jié)=（A+B）（A+C）3.“與非—與非”式4.“或非—或非”式Y(jié)=ABAC5.“與—或—非”式Y(jié)=A+B+A+CY=AB+AC化簡重點(diǎn)：與—或表達(dá)式（對(duì)于非與或表達(dá)式可先化為與或式再進(jìn)行化簡）化簡目標(biāo)：1.乘積項(xiàng)數(shù)最少.(使用與門個(gè)數(shù)少)2.每個(gè)乘積項(xiàng)中因子最少.(與門輸入端數(shù)目少)第1章1.6第1章1.6靈活運(yùn)用常用公式

1.6.2常用的化簡方法例1：

Y=(AB+C)ABD+AD=AD例2：

Y=AB+B+AB=A+B+AB=A+B例3：

Y=ABCD+ABCD=A推論：

AB+AC+BCDEF(…)=AB+AC5.

A+A=A，A+A=1（配項(xiàng)法）1.

A+A?B=A（吸收法）2.

A+A?B=A+B（消因子法）3.

AB+A?B=A

(并項(xiàng)法)4.

AB+AC+BC=AB+AC（消項(xiàng)法）例4：

Y=AC+AB+B+C=AC+AB+BC=AC+BC第1章1.6例：化簡

Y=ABC+ABD+ABC+CD+BD解：Y=ABC+ABC+CD+B(AD+D)=ABC+ABC+CD+B(A+D)=ABC+ABC+CD+BA+BD=AB+ABC+CD+BD=B(A+AC)+CD+BD=B(A+C)+CD+BD=BA+BC+CD+BD=BA+B(C+D)+CD=BA+BCD+CD=BA+B+CD=B(A+1)+CD=B+CD1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第1章1.71.7.1邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1.表示最小項(xiàng)的卡諾圖AB01

010132ABC000111100101324

5760132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCABCABCABCABCABCABCABCABABABAB二變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖最小項(xiàng)編號(hào)重要特性：幾何相鄰具有邏輯相鄰ABC0001111001Y=ABC+BC例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：第1章1.72.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

Y=ABC+BC=ABC+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC=m6+m7+

m3=（m3,m6,m7)

111000001。最小項(xiàng)表達(dá)式2.三變量卡諾圖3.表達(dá)式中有的最小項(xiàng)填入‘1’4.表達(dá)式中沒有的最小項(xiàng)填入‘0’第1章1.71.7.2用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1.合并最小項(xiàng)的規(guī)則（1）根據(jù)相鄰單元的特點(diǎn)，只要有兩個(gè)相鄰單元取值同為1，可以將這兩個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。ABC000111100111

=BC(A+A)=BCY=ABC+ABC利用A+A=1的關(guān)系11AC11AB（2）如果是四個(gè)幾何相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去兩個(gè)變量。第1章1.7ABC0001111001

1111Y=

ABC+ABC+ABC+ABC

=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=CABC0001111001

1111Y=AY=ABC+ABC+ABC+ABCABCD00011110000111101111Y=BD（3）如果是八個(gè)相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去三個(gè)變量。ABCD0001111000011110Y=C11111111第1章1.7ABCD0001111000011110Y=AABCD000111100001111011111111Y=D11111111第1章1.7（4）如果是2n個(gè)相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去n個(gè)變量。第1章1.72.卡諾圖化簡的步驟(1)將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；（或直接填入卡諾圖）(2)畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；(3)合并最小項(xiàng)，找出可以合并的最小項(xiàng)，并進(jìn)行圈圈；(4)寫出化簡后的乘積項(xiàng)。圈要盡量的大，并要包含所有為‘1’的最小項(xiàng)；所圈的圈應(yīng)為一個(gè)矩形組，并且矩形組要盡量地少；ABCD00011110000111101111錯(cuò)誤的圈法正確的圈法每個(gè)圈中都至少應(yīng)有一個(gè)最新項(xiàng);不能有多余圈。ABCD000111100001111010111111

01011111例：某邏輯函數(shù)的表達(dá)式為：

Y(A，B，C，D)

=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)試化簡。解得：Y=A+CD+BC+BD+BCDACDBCBDBCD第1章1.7注意：1.化簡完成后要檢查有無多余圈。2.最簡結(jié)果不唯一。

1.8具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡邏輯函數(shù)中任意項(xiàng)和約束項(xiàng)統(tǒng)稱無關(guān)項(xiàng)。

1.任意項(xiàng)定義：在輸入變量的某些取值下，函數(shù)值是0

是1均可，不影響電路功能，此時(shí)，取值為1的最小項(xiàng)稱任意項(xiàng)。2.約束項(xiàng)（1）定義：某些邏輯問題中，輸入變量的取值不是任意的，對(duì)輸入變量取值所加的限制稱為約束。限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時(shí)，用它們對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0來表示，這些恒等于0的最小項(xiàng)叫做約束項(xiàng)。例如：有三個(gè)變量A、B、C，它們分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。電動(dòng)機(jī)在任何時(shí)候只能執(zhí)行其中的一條命令，所以不允許兩個(gè)或三個(gè)變量同時(shí)為1，這樣ABC的取值只可能是001、010、或100中的一種，而不能是000、011、110、101

或111中的任何一種。因此,A、B、C是一組具有約束的一組變量。第1章1.8（