第三章：恒定電流

第三章恒定電流3.1電流場(chǎng)1、電流：電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成電流。正電荷運(yùn)動(dòng)方向規(guī)定是電流的方向；

電流強(qiáng)度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電量

單位：安培（A）、毫安（mA）、微安（μA）、皮安（pA）++++++幾種典型的電流分布粗細(xì)均勻的金屬導(dǎo)體粗細(xì)不均勻的金屬導(dǎo)線半球形接地電極附近的電流電阻法勘探礦藏時(shí)的電流同軸電纜中的漏電流4

2.電流密度電流密度矢量

的方向沿該點(diǎn)電場(chǎng)的方向，大小等于通過與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直的單位面積的電流強(qiáng)度.

電流線概念

電流線上某點(diǎn)的切向?yàn)樵擖c(diǎn)的方向電流線P電流密度矢量j的分布構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)——電流場(chǎng)

電流線的條數(shù)密度等于電流密度大小電流強(qiáng)度就是穿過橫截面電流線的數(shù)目。由電流強(qiáng)度定義電流密度：

是指向電流方向的單位向量，與垂直。通過導(dǎo)體中任意截面S的電流強(qiáng)度與電流密度矢量的關(guān)系為

—電流密度通量S二.電流強(qiáng)度與電流密度的關(guān)系7三.電流連續(xù)性方程對(duì)任一閉合曲面，電流密度的通量滿足：ISq內(nèi)微分形式電流連續(xù)性方程是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)“凈”流出封閉曲面的電量，等于封閉曲面內(nèi)電量的減少，反映了電流分布和電荷分布之間的普遍關(guān)系。電流線起始、終止于電荷隨時(shí)間變化之處：

有電流線發(fā)自面內(nèi)，面內(nèi)積累負(fù)電荷，電荷密度減小。

有電流線止于面內(nèi)，面內(nèi)積累正電荷，電荷密度增加。

電流線連續(xù)地穿過，面內(nèi)無電荷積累，電荷密度不變。9

穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場(chǎng)對(duì)穩(wěn)恒電流

穩(wěn)恒條件：

穩(wěn)恒電流：的分布不隨時(shí)間變化的電流。

若不隨時(shí)間變化，則電荷分布也不隨時(shí)間變化：一些電荷從某地流動(dòng)走的同時(shí)，另外一些等量的電荷必將流動(dòng)過來進(jìn)行補(bǔ)充。電流線閉合穩(wěn)恒電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的相同之處：穩(wěn)恒電場(chǎng)：穩(wěn)恒電流情況下，電荷分布不隨時(shí)間變化，則產(chǎn)生的電場(chǎng)不隨時(shí)間變化。服從環(huán)路定理：服從高斯定理：任何電場(chǎng)都服從高斯定理。電勢(shì)和電勢(shì)差概念仍然適用！習(xí)慣上仍把穩(wěn)恒電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)。穩(wěn)恒電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的不同之處：靜電場(chǎng)電荷靜止，不激發(fā)磁場(chǎng)靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零，維持靜電場(chǎng)不需要能量的轉(zhuǎn)換穩(wěn)恒電場(chǎng)電荷運(yùn)動(dòng)形成電流，激發(fā)磁場(chǎng)（靜磁場(chǎng)）伴隨能量的轉(zhuǎn)換導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)不為零，歐姆定律恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)一樣，滿足環(huán)路定理；歐姆定律積分形式可以引進(jìn)電勢(shì)差（電壓）的概念電阻率和電導(dǎo)率均勻?qū)w電阻

非均勻?qū)w

電導(dǎo)電導(dǎo)率歐姆定律微分形式

上式給出了j與E的點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系更適用于表征性質(zhì)各異的導(dǎo)體材料的特征適用范圍比積分形式大標(biāo)量，場(chǎng)強(qiáng)E的方向和電流密度矢量j的方向處處一致

2.有許多材料不服從歐姆定律。例如：低壓電離氣體，半導(dǎo)體材料等，伏安特性曲線（U~I關(guān)系）呈非線性。

歐姆定律的適用范圍1.比適用范圍廣，對(duì)非均勻?qū)w成立，對(duì)非穩(wěn)恒電流也成立。3.理想導(dǎo)體的，但不能把超導(dǎo)體簡(jiǎn)單地看成是理想導(dǎo)體。焦耳定律——電流熱效應(yīng)

電功率：電場(chǎng)在單位時(shí)間內(nèi)所做的功

熱功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)電流通過導(dǎo)體時(shí)產(chǎn)生的熱量熱功率：熱功率只是電功率中轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的那一部分

焦耳定律的微分形式熱功率密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的熱功率

熱功率密度與場(chǎng)強(qiáng)的平方成正比，是點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，與導(dǎo)體形狀無關(guān)。導(dǎo)體中一定體積內(nèi)的發(fā)熱功率：

求：接地電阻R解：【例題】半徑a

的球形電極埋入大地，距地面

h>>a，大地電導(dǎo)率為。設(shè)接地電流為I，I大地har18arI大地har當(dāng)r=10a時(shí)：即90%的電勢(shì)降落在r=10a的范圍內(nèi)。a

r=0.9UarI大地har一、不同導(dǎo)體界面上的邊界條件設(shè)界面上有自由電荷積累0

由高斯定理和電流連續(xù)性方程可得0恒定電流

3.2恒定電流場(chǎng)的邊值關(guān)系根據(jù)歐姆定律的微分形式：可得恒定電場(chǎng)E的邊值關(guān)系：當(dāng)界面上沒有自由電荷時(shí)，兩種導(dǎo)體界面上，j法向連續(xù)。因?yàn)楹愣妶?chǎng)是庫侖場(chǎng)（保守場(chǎng)或無旋場(chǎng)、勢(shì)場(chǎng)），所以滿足環(huán)路定理：在不同導(dǎo)電介質(zhì)的界面上，恒定電場(chǎng)E切向分量連續(xù)

恒定電場(chǎng)的折射定律電流線在邊界上的“折射”

J法向分量連續(xù)，E切向分量連續(xù)架空輸電線的電場(chǎng)2=0，理想電解質(zhì)中無電流，電流密度只存在于導(dǎo)電介質(zhì)中二、導(dǎo)電介質(zhì)與理想電介質(zhì)界面處的邊值關(guān)系在電流恒定時(shí)，導(dǎo)體表面上有恒定的電荷分布0，將在理想電解質(zhì)中激發(fā)恒定電場(chǎng)。這說明，導(dǎo)體表面上的恒定電場(chǎng)既有法線分量E2n，又有切線分量E2t,因此，在恒定電流情況下，導(dǎo)體外（理想電介質(zhì)中）的恒定電場(chǎng)不與導(dǎo)體表面垂直。這一點(diǎn)與靜電場(chǎng)不同。25三電動(dòng)勢(shì)26

非靜電力:能把正電荷從電勢(shì)較低的點(diǎn)(如電源負(fù)極板)送到電勢(shì)較高的點(diǎn)(如電源正極板)的作用力稱為非靜電力.電源：提供非靜電力的裝置.非靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng):單位正電荷所受的非靜電力.+++---+27電動(dòng)勢(shì)的定義：把單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極時(shí)，電源中的非靜電力所作的功.自負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的正方向.28電源電動(dòng)勢(shì)可定義為把單位正電荷繞閉合回路一周時(shí)，電源中非靜電力所作的功.電源內(nèi)部

電流密度一段含源電路的歐姆定律路端電壓

外電路上電場(chǎng)力做功沿電源內(nèi)部積分四、穩(wěn)恒電流場(chǎng)和恒定電場(chǎng)的基本規(guī)律穩(wěn)恒電流場(chǎng)總是伴隨著靜電場(chǎng)，當(dāng)導(dǎo)電介質(zhì)中有穩(wěn)恒電流時(shí)，如何同時(shí)確定電流分布和電場(chǎng)分布，這類問題的基本方程是什么？一.基本方程穩(wěn)恒條件：

環(huán)路定理：歐姆定律：說明：1.載流導(dǎo)電介質(zhì)中的穩(wěn)恒電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)的分布規(guī)律完全由導(dǎo)電介質(zhì)的導(dǎo)電特性決定，而與其極化性質(zhì)無關(guān)，即與電導(dǎo)率有關(guān)，與介電常數(shù)無關(guān)。三個(gè)方程閉合：可以完全確定導(dǎo)電介質(zhì)中的

穩(wěn)恒電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)。根據(jù)前2式可得在不同導(dǎo)電介質(zhì)交界面處的界面關(guān)系：—確定總電荷分布的

輔助方程2.由靜電場(chǎng)的高斯定理可確定載流導(dǎo)電介質(zhì)中的總電荷分布，這也只與其導(dǎo)電特性有關(guān)，與其極化性質(zhì)無關(guān)?！_定自由電荷分布的輔助方程3.導(dǎo)電介質(zhì)中自由電荷、極化電荷在總電荷中的比例與其極化性質(zhì)有關(guān)。3.4金屬導(dǎo)電的經(jīng)典電子論

有關(guān)金屬的第一個(gè)理論模型1900年特魯?shù)拢≒aulDrude）提出把氣體分子運(yùn)動(dòng)論用于金屬，提出了經(jīng)典的金屬自由電子氣體模型金屬自由電子氣體模型晶格（離子實(shí)）變化可以忽略價(jià)電子，可以脫出成為獨(dú)立、自由的電子金屬自由電子氣體模型假定

除了電子與晶格碰撞一瞬間以外，忽略電子與晶格之間的相互作用，即“自由電子近似”忽略電子與電子之間的相互作用，即所謂的“獨(dú)立電子近似”電子與離子實(shí)的碰撞是隨機(jī)的瞬間事件，碰撞會(huì)突然改變電子速度（包括大小和方向），在相繼兩次碰撞間，電子作直線運(yùn)動(dòng)，遵從牛頓定律；同時(shí)碰撞還會(huì)使電子達(dá)到熱平衡，碰撞后的電子速度方向是隨機(jī)的金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)和單原子的理想氣體非常相似。金屬中自由電子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)其平均速率為v~105m/s，電子在各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等因此無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)速度的矢量和為零。自由電子的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)復(fù)雜固有的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)外因電場(chǎng)的作用，將獲得與場(chǎng)強(qiáng)方向相反的加速度,并做有規(guī)則的定向運(yùn)動(dòng)——u而電子與晶格碰撞又不斷破壞定向運(yùn)動(dòng)——

v

推導(dǎo)：p129質(zhì)量為m，所帶電量為-e自由電子受恒定電場(chǎng)作用而獲得定向加速度a

近似：假定電子與晶格點(diǎn)陣只要碰撞一次，它所獲得的定向速度就消失，接著又重新開始作定向初速度為零的加速運(yùn)動(dòng)——自由程設(shè)電子在兩次碰撞之間的平均飛行時(shí)間為，則在第二次碰撞之前，電子所獲得的定向速度為

初速＝0一個(gè)自由程內(nèi)速度與加速度方向一致，解釋了j與E處處方向一致電流密度j電子數(shù)密度n的關(guān)系自由電子數(shù)密度：n；電子電量的絕對(duì)值：e；設(shè)所有電子均以同一定向運(yùn)動(dòng)速度u運(yùn)動(dòng)則t時(shí)間內(nèi)，通過導(dǎo)體內(nèi)任一面元遷移的電量為q

考慮方向電導(dǎo)率與電子、v、n的微觀平均量相聯(lián)系，是微觀平均量的宏觀體現(xiàn)；從經(jīng)典電子論的觀點(diǎn)看電導(dǎo)率和電阻率確實(shí)與溫度有關(guān)，溫度升高，電阻率增大，電導(dǎo)率減小

只能定性地說明電子的導(dǎo)電規(guī)律。由它算出的電導(dǎo)率與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差甚遠(yuǎn)經(jīng)典理論在解釋電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)存在不可克服的困難

——正確的導(dǎo)電理論只能建立在量子理論的基礎(chǔ)上按照氣體分子運(yùn)動(dòng)論觀點(diǎn)：例題

設(shè)銅導(dǎo)線中的電流密度為2.4A/mm2,銅的自由電子數(shù)密度，求自由電子的漂移速度

按此速度，如果開關(guān)到燈泡之間用一米長(zhǎng)的導(dǎo)線相連，電流從開關(guān)傳到用電器需要1、2個(gè)小時(shí)。但實(shí)際上當(dāng)開關(guān)一打開，燈立刻就亮了。如何解釋？請(qǐng)思考

問題靜電場(chǎng)的性質(zhì)能否推廣到穩(wěn)恒電場(chǎng)？電流場(chǎng)中電流線閉合和靜電場(chǎng)中電力線不閉合是否矛盾？§3.5基爾霍夫定律直流電路的基本方程依據(jù)元件最簡(jiǎn)單的聯(lián)結(jié)方式為串聯(lián)和并聯(lián)；簡(jiǎn)單電路：能夠通過運(yùn)用元件串、并聯(lián)的計(jì)算法將電路化為一個(gè)單回路復(fù)雜電路：不能將元件的聯(lián)結(jié)方式歸并為串、并聯(lián)的電路簡(jiǎn)單電路高阻起主要作用低阻起主要作用復(fù)雜電路

由多個(gè)電源和多個(gè)電阻復(fù)雜聯(lián)接而成的電路，在一般情況下，這類電路不能用電阻串并聯(lián)等效變換化簡(jiǎn)的電路解復(fù)雜電路的方法：基爾霍夫電路定律名詞解釋

支路：電路中由電源、電阻串聯(lián)而成的通路，支路中電流強(qiáng)度處處相等

節(jié)點(diǎn)或分支點(diǎn)：三條或更多條支路的聯(lián)接點(diǎn)。

回路：幾條支路構(gòu)成的閉合通路2006.5北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編基爾霍夫第一定律

規(guī)定流向節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，從節(jié)點(diǎn)流出的電流為正匯于節(jié)點(diǎn)的各支路電流強(qiáng)度的代數(shù)和為零

若一個(gè)完整電路共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則可以寫出n-1個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)方程——基爾霍夫第一方程組基爾霍夫第二定律沿回路環(huán)繞一周回到出發(fā)點(diǎn)，電勢(shì)數(shù)值不變

寫方程的約定規(guī)定其繞行方向（可以任意規(guī)定）標(biāo)定一個(gè)電流方向解出I>0，——實(shí)際電流與標(biāo)定一致解出I<0，——實(shí)際電流與標(biāo)定相反規(guī)定電勢(shì)從高到低，電勢(shì)降落為正，電勢(shì)升高負(fù)基爾霍夫第二方程組，又叫回路電壓方程電勢(shì)降落正負(fù)的寫法

純電阻元件：若電流方向與繞行方向相同，電勢(shì)降落為正，若電流方向與繞行方向相反，電勢(shì)降落為負(fù)；

理想電源：當(dāng)電動(dòng)勢(shì)的“方向”（由電源內(nèi)部負(fù)極指向正極）與繞行方向相同時(shí)為負(fù)，反之為正；實(shí)際電源有內(nèi)阻，可以把一個(gè)電源看成一個(gè)沒有內(nèi)阻的理想電源和一個(gè)純電阻串聯(lián)，然后按電阻和理想電源的規(guī)定分別寫出獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)

若整個(gè)電路可以化為平面電路所有的節(jié)點(diǎn)和支路都在一平面上而不存在支路相互跨越的情形——可以把電路看成一張網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)孔的數(shù)目就是獨(dú)立回路的數(shù)目節(jié)點(diǎn)電流方程＋回路電壓方程構(gòu)成完備方程組，可解，且解是唯一的，它原則上可解決任何直流電路問題

例題：圖3-15是一電橋電路，圖中G為一檢流計(jì)，它的內(nèi)阻為RG。電橋各臂的電阻分別為R1、R2、R3、R4，工作電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻可忽略。求該電橋不平衡時(shí)流過的電流。對(duì)節(jié)點(diǎn)A對(duì)節(jié)點(diǎn)B對(duì)節(jié)點(diǎn)C對(duì)回路ABDA對(duì)回