第三章：恒定電流

第三章恒定電流3.1電流場1、電流：電荷的定向運動形成電流。正電荷運動方向規(guī)定是電流的方向；

電流強度：單位時間內(nèi)通過導體任一橫截面的電量

單位：安培（A）、毫安（mA）、微安（μA）、皮安（pA）++++++幾種典型的電流分布粗細均勻的金屬導體粗細不均勻的金屬導線半球形接地電極附近的電流電阻法勘探礦藏時的電流同軸電纜中的漏電流4

2.電流密度電流密度矢量

的方向沿該點電場的方向，大小等于通過與該點場強方向垂直的單位面積的電流強度.

電流線概念

電流線上某點的切向為該點的方向電流線P電流密度矢量j的分布構成一個矢量場——電流場

電流線的條數(shù)密度等于電流密度大小電流強度就是穿過橫截面電流線的數(shù)目。由電流強度定義電流密度：

是指向電流方向的單位向量，與垂直。通過導體中任意截面S的電流強度與電流密度矢量的關系為

—電流密度通量S二.電流強度與電流密度的關系7三.電流連續(xù)性方程對任一閉合曲面，電流密度的通量滿足：ISq內(nèi)微分形式電流連續(xù)性方程是電荷守恒定律的數(shù)學表述：單位時間內(nèi)“凈”流出封閉曲面的電量，等于封閉曲面內(nèi)電量的減少，反映了電流分布和電荷分布之間的普遍關系。電流線起始、終止于電荷隨時間變化之處：

有電流線發(fā)自面內(nèi)，面內(nèi)積累負電荷，電荷密度減小。

有電流線止于面內(nèi)，面內(nèi)積累正電荷，電荷密度增加。

電流線連續(xù)地穿過，面內(nèi)無電荷積累，電荷密度不變。9

穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場對穩(wěn)恒電流

穩(wěn)恒條件：

穩(wěn)恒電流：的分布不隨時間變化的電流。

若不隨時間變化，則電荷分布也不隨時間變化：一些電荷從某地流動走的同時，另外一些等量的電荷必將流動過來進行補充。電流線閉合穩(wěn)恒電場與靜電場的相同之處：穩(wěn)恒電場：穩(wěn)恒電流情況下，電荷分布不隨時間變化，則產(chǎn)生的電場不隨時間變化。服從環(huán)路定理：服從高斯定理：任何電場都服從高斯定理。電勢和電勢差概念仍然適用！習慣上仍把穩(wěn)恒電場稱為靜電場。穩(wěn)恒電場與靜電場的不同之處：靜電場電荷靜止，不激發(fā)磁場靜電平衡時導體內(nèi)部場強為零，維持靜電場不需要能量的轉換穩(wěn)恒電場電荷運動形成電流，激發(fā)磁場（靜磁場）伴隨能量的轉換導體內(nèi)部電場不為零，歐姆定律恒定電場和靜電場一樣，滿足環(huán)路定理；歐姆定律積分形式可以引進電勢差（電壓）的概念電阻率和電導率均勻導體電阻

非均勻導體

電導電導率歐姆定律微分形式

上式給出了j與E的點點對應關系更適用于表征性質各異的導體材料的特征適用范圍比積分形式大標量，場強E的方向和電流密度矢量j的方向處處一致

2.有許多材料不服從歐姆定律。例如：低壓電離氣體，半導體材料等，伏安特性曲線（U~I關系）呈非線性。

歐姆定律的適用范圍1.比適用范圍廣，對非均勻導體成立，對非穩(wěn)恒電流也成立。3.理想導體的，但不能把超導體簡單地看成是理想導體。焦耳定律——電流熱效應

電功率：電場在單位時間內(nèi)所做的功

熱功率：單位時間內(nèi)電流通過導體時產(chǎn)生的熱量熱功率：熱功率只是電功率中轉化為內(nèi)能的那一部分

焦耳定律的微分形式熱功率密度：單位體積內(nèi)的熱功率

熱功率密度與場強的平方成正比，是點點對應關系，與導體形狀無關。導體中一定體積內(nèi)的發(fā)熱功率：

求：接地電阻R解：【例題】半徑a

的球形電極埋入大地，距地面

h>>a，大地電導率為。設接地電流為I，I大地har18arI大地har當r=10a時：即90%的電勢降落在r=10a的范圍內(nèi)。a

r=0.9UarI大地har一、不同導體界面上的邊界條件設界面上有自由電荷積累0

由高斯定理和電流連續(xù)性方程可得0恒定電流

3.2恒定電流場的邊值關系根據(jù)歐姆定律的微分形式：可得恒定電場E的邊值關系：當界面上沒有自由電荷時，兩種導體界面上，j法向連續(xù)。因為恒定電場是庫侖場（保守場或無旋場、勢場），所以滿足環(huán)路定理：在不同導電介質的界面上，恒定電場E切向分量連續(xù)

恒定電場的折射定律電流線在邊界上的“折射”

J法向分量連續(xù)，E切向分量連續(xù)架空輸電線的電場2=0，理想電解質中無電流，電流密度只存在于導電介質中二、導電介質與理想電介質界面處的邊值關系在電流恒定時，導體表面上有恒定的電荷分布0，將在理想電解質中激發(fā)恒定電場。這說明，導體表面上的恒定電場既有法線分量E2n，又有切線分量E2t,因此，在恒定電流情況下，導體外（理想電介質中）的恒定電場不與導體表面垂直。這一點與靜電場不同。25三電動勢26

非靜電力:能把正電荷從電勢較低的點(如電源負極板)送到電勢較高的點(如電源正極板)的作用力稱為非靜電力.電源：提供非靜電力的裝置.非靜電場場強:單位正電荷所受的非靜電力.+++---+27電動勢的定義：把單位正電荷從負極通過電源內(nèi)部移到正極時，電源中的非靜電力所作的功.自負極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向為電動勢的正方向.28電源電動勢可定義為把單位正電荷繞閉合回路一周時，電源中非靜電力所作的功.電源內(nèi)部

電流密度一段含源電路的歐姆定律路端電壓

外電路上電場力做功沿電源內(nèi)部積分四、穩(wěn)恒電流場和恒定電場的基本規(guī)律穩(wěn)恒電流場總是伴隨著靜電場，當導電介質中有穩(wěn)恒電流時，如何同時確定電流分布和電場分布，這類問題的基本方程是什么？一.基本方程穩(wěn)恒條件：

環(huán)路定理：歐姆定律：說明：1.載流導電介質中的穩(wěn)恒電流場和靜電場的分布規(guī)律完全由導電介質的導電特性決定，而與其極化性質無關，即與電導率有關，與介電常數(shù)無關。三個方程閉合：可以完全確定導電介質中的

穩(wěn)恒電流場和靜電場。根據(jù)前2式可得在不同導電介質交界面處的界面關系：—確定總電荷分布的

輔助方程2.由靜電場的高斯定理可確定載流導電介質中的總電荷分布，這也只與其導電特性有關，與其極化性質無關。—確定自由電荷分布的輔助方程3.導電介質中自由電荷、極化電荷在總電荷中的比例與其極化性質有關。3.4金屬導電的經(jīng)典電子論

有關金屬的第一個理論模型1900年特魯?shù)拢≒aulDrude）提出把氣體分子運動論用于金屬，提出了經(jīng)典的金屬自由電子氣體模型金屬自由電子氣體模型晶格（離子實）變化可以忽略價電子，可以脫出成為獨立、自由的電子金屬自由電子氣體模型假定

除了電子與晶格碰撞一瞬間以外，忽略電子與晶格之間的相互作用，即“自由電子近似”忽略電子與電子之間的相互作用，即所謂的“獨立電子近似”電子與離子實的碰撞是隨機的瞬間事件，碰撞會突然改變電子速度（包括大小和方向），在相繼兩次碰撞間，電子作直線運動，遵從牛頓定律；同時碰撞還會使電子達到熱平衡，碰撞后的電子速度方向是隨機的金屬中自由電子的運動和單原子的理想氣體非常相似。金屬中自由電子作無規(guī)則熱運動其平均速率為v~105m/s，電子在各個方向運動的機會均等因此無規(guī)熱運動速度的矢量和為零。自由電子的運動相當復雜固有的不規(guī)則運動外因電場的作用，將獲得與場強方向相反的加速度,并做有規(guī)則的定向運動——u而電子與晶格碰撞又不斷破壞定向運動——

v

推導：p129質量為m，所帶電量為-e自由電子受恒定電場作用而獲得定向加速度a

近似：假定電子與晶格點陣只要碰撞一次，它所獲得的定向速度就消失，接著又重新開始作定向初速度為零的加速運動——自由程設電子在兩次碰撞之間的平均飛行時間為，則在第二次碰撞之前，電子所獲得的定向速度為

初速＝0一個自由程內(nèi)速度與加速度方向一致，解釋了j與E處處方向一致電流密度j電子數(shù)密度n的關系自由電子數(shù)密度：n；電子電量的絕對值：e；設所有電子均以同一定向運動速度u運動則t時間內(nèi)，通過導體內(nèi)任一面元遷移的電量為q

考慮方向電導率與電子、v、n的微觀平均量相聯(lián)系，是微觀平均量的宏觀體現(xiàn)；從經(jīng)典電子論的觀點看電導率和電阻率確實與溫度有關，溫度升高，電阻率增大，電導率減小

只能定性地說明電子的導電規(guī)律。由它算出的電導率與實驗數(shù)據(jù)相差甚遠經(jīng)典理論在解釋電子的運動時存在不可克服的困難

——正確的導電理論只能建立在量子理論的基礎上按照氣體分子運動論觀點：例題

設銅導線中的電流密度為2.4A/mm2,銅的自由電子數(shù)密度，求自由電子的漂移速度

按此速度，如果開關到燈泡之間用一米長的導線相連，電流從開關傳到用電器需要1、2個小時。但實際上當開關一打開，燈立刻就亮了。如何解釋？請思考

問題靜電場的性質能否推廣到穩(wěn)恒電場？電流場中電流線閉合和靜電場中電力線不閉合是否矛盾？§3.5基爾霍夫定律直流電路的基本方程依據(jù)元件最簡單的聯(lián)結方式為串聯(lián)和并聯(lián)；簡單電路：能夠通過運用元件串、并聯(lián)的計算法將電路化為一個單回路復雜電路：不能將元件的聯(lián)結方式歸并為串、并聯(lián)的電路簡單電路高阻起主要作用低阻起主要作用復雜電路

由多個電源和多個電阻復雜聯(lián)接而成的電路，在一般情況下，這類電路不能用電阻串并聯(lián)等效變換化簡的電路解復雜電路的方法：基爾霍夫電路定律名詞解釋

支路：電路中由電源、電阻串聯(lián)而成的通路，支路中電流強度處處相等

節(jié)點或分支點：三條或更多條支路的聯(lián)接點。

回路：幾條支路構成的閉合通路2006.5北京大學物理學院王稼軍編基爾霍夫第一定律

規(guī)定流向節(jié)點的電流為負，從節(jié)點流出的電流為正匯于節(jié)點的各支路電流強度的代數(shù)和為零

若一個完整電路共有n個節(jié)點，則可以寫出n-1個獨立的節(jié)點方程——基爾霍夫第一方程組基爾霍夫第二定律沿回路環(huán)繞一周回到出發(fā)點，電勢數(shù)值不變

寫方程的約定規(guī)定其繞行方向（可以任意規(guī)定）標定一個電流方向解出I>0，——實際電流與標定一致解出I<0，——實際電流與標定相反規(guī)定電勢從高到低，電勢降落為正，電勢升高負基爾霍夫第二方程組，又叫回路電壓方程電勢降落正負的寫法

純電阻元件：若電流方向與繞行方向相同，電勢降落為正，若電流方向與繞行方向相反，電勢降落為負；

理想電源：當電動勢的“方向”（由電源內(nèi)部負極指向正極）與繞行方向相同時為負，反之為正；實際電源有內(nèi)阻，可以把一個電源看成一個沒有內(nèi)阻的理想電源和一個純電阻串聯(lián)，然后按電阻和理想電源的規(guī)定分別寫出獨立方程的個數(shù)

若整個電路可以化為平面電路所有的節(jié)點和支路都在一平面上而不存在支路相互跨越的情形——可以把電路看成一張網(wǎng)絡網(wǎng)孔的數(shù)目就是獨立回路的數(shù)目節(jié)點電流方程＋回路電壓方程構成完備方程組，可解，且解是唯一的，它原則上可解決任何直流電路問題

例題：圖3-15是一電橋電路，圖中G為一檢流計，它的內(nèi)阻為RG。電橋各臂的電阻分別為R1、R2、R3、R4，工作電源的電動勢為ε，內(nèi)阻可忽略。求該電橋不平衡時流過的電流。對節(jié)點A對節(jié)點B對節(jié)點C對回路ABDA對回