第04章 分子的對稱性

第四章分子的對稱性MolecularSymmetry1

判天地之美,析萬物之理。——莊子在所有智慧的追求中，很難找到其他例子能夠在深刻的普遍性與優(yōu)美簡潔性方面與對稱性原理相比.——李政道對稱在科學(xué)界開始產(chǎn)生重要的影響始于19世紀.發(fā)展到近代，我們已經(jīng)知道這個觀念是晶體學(xué)、分子學(xué)、原子學(xué)、原子核物理學(xué)、化學(xué)、粒子物理學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)的中心觀念。近年來，對稱更變成了決定物質(zhì)間相互作用的中心思想（所謂相互作用，是物理學(xué)的一個術(shù)語，意思就是力量，質(zhì)點跟質(zhì)點之間之力量）。

——楊振寧對稱性概念－物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)

對稱是自然界中普遍存在的一種性質(zhì),因而常常被認為是最平凡、最簡單的現(xiàn)象。然而,對稱又具有最深刻的意義。

23建筑藝術(shù)中的對稱性45題織錦圖回文春晚落花余碧草，夜涼低月半梧桐。人隨雁遠邊城暮，雨映疏簾繡閣空?？臻w繡簾疏映雨，暮城邊遠雁隨人。桐梧半月低涼夜，草碧余花落晚春。蘇軾文學(xué)中的對稱AblewasIereIsawElba67對稱性特點：物體上存在若干個相等的部分，或可以劃分為若干個相等的部分。如果把這些相等部分對換一下，就好象沒有動過一樣（即物體復(fù)原）。8對稱性是通過對稱元素和對稱操作來描述的。分子對稱性：分子的幾何圖形中有相互等同的部分，交換以后，與原來的狀態(tài)相比，不發(fā)生可辨別的變化。9利用對稱性原理探討分子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，是認識分子結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的重要途徑，而且使許多繁雜的計算得到簡化，利用對稱性也可以判斷分子的一些靜態(tài)性質(zhì)（例如：偶極矩，旋光性等）?？傊瑢ΨQ性的概念（群是其高度概括或抽象）非常重要，在理論無機、高等有機等課程中經(jīng)常用到。在本課程學(xué)習(xí)階段，主要要求掌握分子點群的判斷及給出點群指明所包含對稱操作（群的元素）等知識點。10對稱元素:旋轉(zhuǎn)軸對稱操作:旋轉(zhuǎn)對稱操作：不改變物體內(nèi)部任意兩點間的距離而使其復(fù)原的操作操作結(jié)果：①等價②恒等對稱元素：進行對稱操作時所依據(jù)的幾何要素(點、線、面)。H2O4.1.對稱操作和對稱元素11等價恒等例:苯把圖形變?yōu)榈葍r圖形或恒等圖形稱為復(fù)原

1213（1）恒等元素和恒等操作（2）旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)操作（4）對稱中心和反演操作（5）映軸和旋轉(zhuǎn)反映操作（6）反軸和旋轉(zhuǎn)反演操作六種對稱元素和對稱操作（3）鏡面和反映操作14各種操作相當于坐標交換。將向量(x,y,z)變?yōu)?x’,y’,z’)的變換,可用下列矩陣方程表達:對稱操作的矩陣表示：圖形是幾何形式矩陣是代數(shù)形式154.1.1恒等元素E和恒等操作ê此操作為不動動作，也稱主操作或恒等操作。任何分子都存在恒等元素，稱為平俗或平凡元素。恒等操作對向量（x,y,z）不產(chǎn)生任何影響。對應(yīng)單位矩陣。164.1.2旋轉(zhuǎn)軸Cn(n)和旋轉(zhuǎn)操作?n(a)旋轉(zhuǎn)軸次；a

為基轉(zhuǎn)角（規(guī)定為逆時針旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)操作：將分子繞通過其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，使分子復(fù)原的操作(?n)特點：分子中的每一點都繞這條軸線轉(zhuǎn)動一定的角度對稱元素稱為旋轉(zhuǎn)軸，n次(重)旋轉(zhuǎn)軸用Cn表示能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角(0°除外)稱為基轉(zhuǎn)角a旋轉(zhuǎn)可以實際進行，為真操作；旋轉(zhuǎn)軸也稱為真軸17連續(xù)行施兩次對稱操作稱為對稱操作的積18對于分子等有限物體Cn的軸次n并不受限制，n可以為任意正整數(shù)。分子中常見的旋轉(zhuǎn)軸有C2,C3,C4,C5,C6,C∞等。分子中軸次n最高的稱為主軸，其它的稱為副軸。例如：有一個C3軸(主軸)過B垂直于分子平面有三個C2軸(非主軸)在分子平面上

19下列分子具有什么對稱軸？(1)反式二氯乙烯1個C2軸(2)BF3(平面三角形)(3)PtCl4(平面四方形)(4)苯(正六邊形)(5)N2(直線形)1個C3軸、3個C2軸1個C4軸、4個C2軸1個C6軸、6個C2軸1個C∞軸、∞個C2軸H2ONH3CH4PCl5SF6IF7C6H6CO2204.1.3對稱中心（i）和反演操作（）xyz分子中若存在一點,將每個原子通過這一點引連線并延長到反方向等距離處而使分子復(fù)原,這一點就是對稱中心i,這種操作就是反演操作。21連續(xù)進行兩次反演操作等于不動操作，即，最小周期為2；反演操作和它的逆操作相等，即xyin為偶數(shù)n為奇數(shù)反演操作是虛動作，不可能具體真實操作，只能在想象中實現(xiàn)。指出下列那些分子具有對稱中心：H2OCH4PCl5SF6C6H6C2H2Cl222思考題判斷下列分子是否具有對稱中心？(1)反式二氯乙烯(2)BF3(平面三角形)(3)PtCl4(平面四方形)(4)苯(正六邊形)(5)N2(直線形)(6)CO(7)H2O(8)乙炔有i有i有i有i有i無i無i無i234.1.4鏡面（m或）和反映操作（）

鏡面（或?qū)ΨQ面），是平分分子的平面，它把分子圖形分成兩個完全相等的兩個部分，兩部分之間互為鏡中關(guān)系。與鏡面相對應(yīng)的操作是反映，它把分子中的任一點都反映到鏡面的另一側(cè)垂直延長線的等距離處。σ鏡面操作是一種虛動作連續(xù)進行兩次反映操作等于主操作，反映操作和它的逆操作相等。242面：通過主軸(垂直方向，vertical)vs鏡面面：垂直于主軸(即為水平，horizontal)hs面：通過主軸且平分相鄰的軸夾角(對角線

diagonal)dsC225平面型分子中至少有一個鏡面，即分子平面三個v兩個dCO2,H2,HCl等直線分子有無數(shù)個v鏡面反式ClHC=CHClH2ONH3H2C=C=CH2一個hBF3(平面三角形)有h、3個dN2(直線形)有h、∞個v26CHClEC2

h

iEC2

v'v''EC2(x)C2(y)C2(z)

h

vv’i對稱元素274.1.5映軸(或象轉(zhuǎn)軸Sn

)和旋轉(zhuǎn)反映操作(?n)這是一個復(fù)合動作：先繞軸旋360°/n（并未進入等價圖形），接著按垂直于該軸的平面h進行反映（圖形才進入等價圖形）。對應(yīng)的操作為：注意操作的順序28旋轉(zhuǎn)90°反映CH4的四重映軸S4及旋轉(zhuǎn)反映操作相互等價2930S有2n個對稱操作，S2nn為奇數(shù)31獨立的元素對于Sn操作，當n為奇數(shù)時，有2n個操作，它由Cn和h組成；當n為偶數(shù)而又不為4的整數(shù)倍時，有n個操作，Sn操作可看成由有Cn/2與i組成；只有S4是獨立的對稱操作（嚴格講應(yīng)是S4n為獨立的對稱元素），它包含的對稱操作有：σhC2231S2=

i示意圖324.1.6反軸(In)和旋轉(zhuǎn)反演操作(?n)這是一個復(fù)合對稱操作：先繞軸旋轉(zhuǎn)360o/n(并未進入等價圖形)，接著按對稱中心(在軸上)進行反演(圖形才進入等價圖形)。對應(yīng)的操作為:同樣可以證明：只有I4是獨立的對稱元素（嚴格講應(yīng)是I4n）。其它的In都可以用其它對稱元素來代替。反軸與旋轉(zhuǎn)反演連續(xù)操作相對應(yīng)，但和連續(xù)操作的次序無關(guān)。331次反軸即對稱中心342次反軸即鏡面353次反軸為3次軸加對稱中心，I3包括以下6個對稱操作：I3軸除包括C3和i的全部對稱操作外，還包括C3和i的組合操作。所以I3軸可看作是C3和i組合得到的:I3=C3+i366次反軸為3次軸加反映面，I6包括下列6個對稱操作。37僅4次反軸是獨立的，I4包括下列操作：可見I4軸包括C2全部對稱操作，即I4軸包括C2軸。但是一個包含I4對稱性的分子，并不具有C4軸，也不具有i，即I4不等于C4和i的簡單加和，I4是一個獨立的對稱元素。38I2=S1示意圖獨立的元素σhC213239具有I4軸的分子經(jīng)過I41的操作CH4分子中三個相互垂直相交的I4軸轉(zhuǎn)90o40

討論實際圖形的對稱性時，In與Sn中只選其一。一般慣例，討論分子點群時，用象轉(zhuǎn)軸Sn，而在討論晶體對稱性時選用反軸In。因此，對于反軸，當n為奇數(shù)時，包含2n個對稱操作，可看作由n重旋轉(zhuǎn)軸和對稱中心i組成；當n為偶數(shù)時而不為4的整倍時，由旋轉(zhuǎn)軸Cn/2和垂直于它的鏡面h組成，I4n是一個獨立的對稱元素，這時I4n軸與C4n/2軸同時存在。41Sn與In關(guān)系負號代表逆操作，即沿原來的操作退回去的操作。42討論苯分子所具有的對稱元素：對稱中心i；旋轉(zhuǎn)軸C6(主軸)、垂直于它的鏡面h、通過它的6個鏡面v和垂直于它的6個旋轉(zhuǎn)軸C2。旋轉(zhuǎn)軸C6(主軸)同時還是C3軸、C2軸、S6軸和I6軸。C2v43

4.2.1群的概念

定義群(group)是一些元素的集合，即G={gi}n一個集合G含有A、B、C、D等元素，在這些元素之間定義一種運算(相乘、相加等)，如果滿足下四個條件，則稱為集合G為群。其中的元素可以是操作、矩陣、算符或數(shù)字等。本章中所講群的元素為對稱操作，運算為相乘。成群必須同時滿足四個條件：

(1)封閉性若；則(2)結(jié)合律群中三個元素相乘有

4.2對稱元素的組合及群的概念44（4）逆元素（3）恒等元素（單位元素）群中必有一個恒等元素，它與群中任意元素相乘，使該元素保持不變。即每個群元素必有一逆元素，它也是群的元素，即 ，則；且45群的例子

全體整數(shù)對加法構(gòu)成群，稱為整數(shù)加群封閉性：所有整數(shù)（包括零）相加仍為整數(shù)結(jié)合律：A(BC)=(AB)C;2+(3+4)=(2+3)+4單位元素：0;0+3=3+0=3逆元素：A-1=-A;3-1=-33+(-3)=(-3)+3=0立正（），向右轉(zhuǎn)（），向左轉(zhuǎn)（），向后轉(zhuǎn)（）構(gòu)成對稱操作群46封閉性：實數(shù)相乘仍為實數(shù)結(jié)合律：乘積與次序無關(guān)單位元素：1逆元素：A-1=1/A

此群為無限群群的例子

除零外，全體非零實數(shù)對乘法構(gòu)成群（群的乘法即為代數(shù)乘法）47例：H2O分子全部對稱操作對于乘法運算(即兩操作連續(xù)作用)構(gòu)成一個群：封閉性：締合性：有恒等元素：有逆元素：484.2.3群的乘法表

一個對稱元素可以對應(yīng)多個對稱操作，分子中所有對稱元素對應(yīng)的對稱操作的集合，滿足一些特殊的規(guī)則，即滿足成群的要求。H2O(三個原子xz平面上)

49把群元素的乘積列為表，則得到乘法表。設(shè)列元素為A，行元素為B，則乘積為AB，列×行，行元素B先作用，列元素A后作用。一般情況下不可對易。50axycb

每個元素在同一行(列)中只出現(xiàn)一次，不可能有兩行(列)全同，每一行(列)都是元素的重新排列。例：NH3

對稱元素E,

C3,va，vb,vc

對稱操作514.2.3對稱元素的組合

由于分子對稱性高低不同，分子中既可能只有個別類型的對稱元素，也可能是多種對稱元素的共同存在。另外，分子中的兩種對稱元素也可能組合導(dǎo)出第三種對稱元素（例:C2,I與h之間的關(guān)系），即對稱元素的組合。但它們之間的組合必須滿足一定原則。52因為分子是有限圖形（封閉圖形），因此參加組合的對稱元素必須至少通過一個公共點(點動作，點群名稱的由來)偶次軸與對稱中心或垂直此軸的對稱面的組合：一個偶次軸與對稱中心的組合，必產(chǎn)生一垂直此軸的鏡面；對稱中心與鏡面組合，必產(chǎn)生一垂直此面的二次軸。兩個鏡面的組合：兩個鏡面的交線必為Cn軸主軸與C2軸的組合：必然產(chǎn)生n個等價的C2軸對稱元素組合原則535455564.2.4如何找出分子中全部獨立的對稱元素574.3分子點群4.3.1分子點群的分類

無軸群單軸群雙軸群(二面體群)多面體群58

判據(jù)：只有一個n次軸Cn，對稱操作共有n個，即Cn1，Cn2，Cn3，···，Cnn=E，其階次為n。對稱操作為：n階群1.Cn群分子中常見的Cn點群有：C1,C2,C3。5960C2群分子6162C3群分子63軸次更高的Cn群分子非常罕見杯[4]芳烴64C1群6566

判據(jù)：Cn+h因為hCn=Sn，所以Cnh群有軸Sn。當n為奇數(shù)時存在I2n軸，當n為偶數(shù)時，還有對稱中心，Cnh群為2n階群，對稱操作為：2.

Cnh群C2h={E,C2,h,i}6768C3hC4h69C1h

只含有一個鏡面，一般寫做Cs群70判據(jù)：Cn+nv，2n階群。對稱操作：分子中常見的Cnv點群有：C2v：H2O,H2S,HCHO,NO2等V型分子。C3v：NH3,CH3Cl等三角錐分子。C4v：BrF5（四方錐結(jié)構(gòu)）Cv：HCl,CO,NO,HCN等直線型異核分子。3.

Cnv群717273747576C1群，CS群，Ci群沒有旋轉(zhuǎn)軸，稱為無軸群。其中CS與Ci群為2階。77判據(jù)：只存在一個Sn軸（或反軸In）的點群.4.

Cni群和Sn群1).當n為奇數(shù)時，Sn群不獨立存在，因為Sn=Cni，2）當n為偶數(shù)n=4m時，Sn群，n階。

n≠4m，Cn/2hCn+i，i在Cn軸上，對稱元素CniSn，階次2n78只有當n為4的整數(shù)倍時，是獨立存在的，即S4，S8……等，屬于S4的分子很少。798081Ci82判據(jù)：Cn+nC2⊥Cn

2n階。對稱操作為：(3)雙軸群(二面群)5.Dn群8384D3D285D3：這種分子比較少見，唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從正三角形xyz中心穿過,通向Co;xyzC3C2C2C2三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個N–N鍵中心穿過通向Co.86判據(jù)：Cn+nC2⊥Cn+h。由于n個C2軸與h組合，必然產(chǎn)生n個v，若主軸Cn為偶次軸，還會產(chǎn)生對稱中心，群的階為4n。6.

Dnh群對稱元素：Cn+nC2+h+In+nv+i，（偶數(shù)）Cn+nC2+h+I2n+nv

群的階為4n。8788899091929394D3h群

：乙烷重疊型D4h群：XeF4D6h群：苯Dh群：I3-95判據(jù)：Cn+nC2⊥Cn+d，群的階為4n，屬于此類點群的分子也較少。7.Dnd群丙二烯為D2d點群，96979899D4d：單質(zhì)硫100D5d

:交錯型二茂鐵俯視圖101特點是有多個高次軸（n≥3的軸稱為高次軸）。正多面體的面數(shù)(F)，頂點數(shù)(V)與棱數(shù)(E)之間存在如下關(guān)系：F+V=E+2(4)多面體群含有多個高次軸的對稱元素組合所得的對稱元素系和正多面體的對稱性相對應(yīng)。正多面體的面數(shù)(F)，頂點數(shù)(V)與棱數(shù)(E)之間存在如下關(guān)系：F+V=E+21028.T,Th,Td群(四面體群)103104對稱元素有：4個C3軸，3個C2軸，6個d，3個S4（與3個C2重合）；為24階群。對稱操作為：正四面體構(gòu)型分子都屬于此點群。

如：CH4，PO43-，SO42-

Td群(四面體群)Td={E,4C3,3S4,6sd}4105CH4P4

（白磷）從正四面體上可以清楚地看出Td

群的對稱性.也可以把它放進一個正方體中去看.不過要記?。耗阋^察的是正四面體的對稱性，而不是正方體的對稱性!106YX從正四面體的每個頂點到對面的正三角形中點有一條C3穿過,所以共有4條C3,可作出8個C3對稱操作。Z從正四面體的每兩條相對的棱中點有一條S4穿過,6條棱對應(yīng)著3條S4.每個S4可作出S41、S42、S43三個對稱操作，共有9個對稱操作.但每條S4必然也是C2，S42與C2對稱操作等價，所以將3個S42劃歸C2，穿過正四面體每條棱并將四面體分為兩半的是一個σd,共有6個σd。1071089.O,Oh群(正八面體群，立方體群)109對稱元素有：3個C4，4個C3，6個C2，6個d，3個h，i，3個S4，4個S6。對稱操作有：階次為48階。SF6，[PtCl6]2-，立方烷C8H8均屬Oh群。Oh群(正八面體群，立方體群)Oh={E,3C4,4C3,6C2,6sd,3sh,i,3S4,4S6}110SF6111112它的對稱元素包括6個C5，10個C3，15個C2，15個和I等，Ih群的階次120。正五角十二面體和正三角二十面體構(gòu)型的分子如B12H122-,B12等屬Ih點群。C60由12個五邊形和20個六邊形構(gòu)成，也屬Ih點群，其五次軸與三次軸的位置如圖所示。10.Ih群(十二面體群)113閉合式[B12H12]2-

(骨架為正三角二十面體)114C605次軸俯視圖C603次軸俯視圖（b）115Ih:120階群,在目前已知的分子中，對稱性最高的就屬于該群.對稱操作：

Ei12C512S1012C5212S10320C320S615C215σ

C60116面棱角群464Td6128Oh8126Oh123020Id203012Id正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體正多面體的面數(shù)(F)，頂點數(shù)(V)與棱數(shù)(E)之間存在如下關(guān)系：F+V=E+21174.3.2分子所屬點群的判別

要確定某一分子所屬的點群，可根據(jù)分子所具有的對稱元素系按如下步驟進行判斷,流程圖多種多樣，教材只是其中的一種，但不一定是最佳方案。1181191201211221231244.4分子的偶極矩

偶極矩的概念：

4.4.1對稱性與偶極矩

r為正、負電荷重心之間的距離，q為電荷量，單位：Debye，1D＝3.336×10-30C·m。ClassicalDefinitionofDipoleMoment：q-q表示分子中電荷分布的情況

r125當正、負電荷重心重合時，=0，為非極性分子，否則分子具有極性。極性分子——永久偶極矩0一般分子——誘導(dǎo)偶極矩I分子的對稱性反映出分子中原子核和電子云空間分布的對稱性，因此可以判斷偶極矩是否存在。分子的偶極矩是一個矢量，是分子的靜態(tài)性質(zhì)，分子的任何對稱操作對其大小和方向都不起作用。126對稱操作只能產(chǎn)生等價構(gòu)型分子，不能改變其物理性質(zhì)（偶極矩）。分子的偶極矩必定在分子的每一個對稱元素上。(1)若分子只有一個Cn軸，則DM必在軸上。(2)若分子只有一個面，則DM必在面上。(3)若分子有n個面，則DM必在面的交線上。(4)若分子有n個Cn軸，則DM必在軸的交點上，偶極矩為零。(5)分子有對稱中心i(Sn)，則DM為零。只有Cn（含C1）、Cnv和Cs(C1h)點群的分子才有偶極對稱元素是否相交于一點為分子是否存在偶極矩的判據(jù)127v通過C2，交于無數(shù)多點C2

與h交于一點C2h=0C2v≠01,2－二氯乙烯128CH4CCl4對稱元素S4,4個C3交于C原子無偶極矩——Td

1,2-二氯乙烯（順式）有偶極矩，沿C2軸——C2v

兩，一C21,2-二氯乙烯（反式）無偶極矩——C2h

有對稱中心，NH33個σ交于C3，有偶極矩，在C3上——C3v

(無)(有)——D2h

——C2v

129分子的旋光性(OpticalActivity)物質(zhì)對入射偏振光的偏振面的旋轉(zhuǎn)能力。屬宏觀性質(zhì),是大量分子而非單分子的性質(zhì)，但仍稱為分子的旋光性。物質(zhì)的旋光性可以用旋光儀測量。1.定義4.5分子手性和旋光性1302.傳統(tǒng)判據(jù)有機化學(xué)中的判據(jù)：分子含有不對稱C原子時可產(chǎn)生旋光性。但有例外：無不對稱C，也可能有旋光性(六螺烯分子)；有不對稱C，也可能沒有旋光性(分子內(nèi)消旋)。六螺烯，無手性C，有旋光性。有手性C，無旋光性，