向量的數(shù)量積【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號(hào)：004課題:§向量的數(shù)量積目標(biāo)要求1、理解并掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律．2、理解并掌握向量數(shù)量積和投影向量．3、會(huì)求向量的模．4、會(huì)解決向量夾角與垂直問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的模；難點(diǎn)：向量夾角與垂直問題．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量的數(shù)量積(1)定義:條件兩個(gè)____________向量與,它們的夾角是θ結(jié)論把數(shù)量_____________叫作向量和的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法記作,即_____________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為_____________(2)本質(zhì):數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,其大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角都有關(guān),符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.(3)應(yīng)用:①求向量的夾角;②研究向量的垂直問題;③求向量的模.2.投影與投影向量(1)變換:變換圖示設(shè)是兩個(gè)非零向量,過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到(2)結(jié)論:稱上述變換為向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)計(jì)算:設(shè)與方向相同的單位向量為與的夾角為θ,則向量在向量上的投影向量為__________.3.向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)條件:設(shè)是非零向量,它們的夾角是θ,是與方向相同的單位向量.(2)性質(zhì):①.②.③當(dāng)與同向時(shí),;當(dāng)與反向時(shí),.特別地,或.④.4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1).(2).(3).【思考】(1)對(duì)于向量,等式一定成立嗎?(2)若,則一定成立嗎?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是()A.向量的數(shù)量積也可記作或. B.對(duì)于向量,若,則或.C.若,則和的夾角為銳角.D.向量在上的投影向量是一個(gè)模等于(θ是與的夾角),且與共線的一個(gè)向量.題2.若向量滿足,與的夾角為30°,則等于 ()A. B. C. D.題3.已知為一單位向量,與之間的夾角是120°,而在方向上的投影向量的模為2,則________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量數(shù)量積和投影向量(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.在△ABC中,∠A=60°,，則的值為 () B. C. 題5.已知等邊△ABC的邊長為2,則向量在向量方向上的投影向量為 ()A. B. C. D.題6.已知向量與的夾角θ為120°,且,求:(1);(2).【解題策略】1.向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積,首先確定兩個(gè)向量的模及兩個(gè)向量的夾角,其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.2.求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識(shí)作出恰當(dāng)?shù)拇咕€,直接得到投影向量.(2)首先根據(jù)題意確定向量的模,與同向的單位向量,及兩向量與的夾角θ,然后依據(jù)公式計(jì)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.若,與的夾角θ=120°,則 () 題8.已知,且與的夾角θ為45°,則向量在向量上的投影為________.類型二向量的模(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題9.如圖,在△ABC中,,E是AD的中點(diǎn),設(shè).(1)試用表示;(2)若,且與的夾角為60°,求.【解題策略】1.求向量的模的依據(jù)和基本策略(1)依據(jù):或,可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.(2)基本策略:求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應(yīng)用,勿忘記開方.2.拓展公式(1).(2).【跟蹤訓(xùn)練】題10.已知向量滿足,則________.題11.已知,向量與的夾角θ為,求.【拓展延伸】關(guān)于向量模的最值問題解答此類問題通常分以下兩步(1)依據(jù)數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì),建立所求量關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù);(2)利用有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值.【拓展訓(xùn)練】題12.已知與的夾角為60°,，若,則的最小值為________.類型三向量夾角與垂直問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)角度1兩向量夾角問題【典例】題13.已知.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【變式探究】題14.已知“,且與的夾角為45°”,試求與的夾角的余弦值.角度2兩向量垂直問題【典例】題15.已知向量的夾角為.(1)求的值;(2)若和垂直,求實(shí)數(shù)t的值.【解題策略】求向量夾角的基本步驟2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是,利用數(shù)量積的運(yùn)算代入,結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題.【題組訓(xùn)練】題16.已知是單位向量,若,則與的夾角為 ()° ° ° °題17.已知非零向量a,b滿足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,則a與b的夾角θ的余弦值為()A. B. C. D.題18.已知,且與λa-b垂直,則λ等于 ()A. B. C. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.已知向量不共線,且,求證:.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題20.已知向量和滿足,和的夾角為135°,則為 () 題21.已知正方形ABCD的邊長為2,則()A. D.題22.已知向量滿足,則________.題23.已知向量滿足,且,則與的夾角為____.題24.已知,為單位向量,當(dāng)向量的夾角θ分別等于60°,90°,120°時(shí),求向量在向量上的投影向量.編號(hào)：004課題:§向量的數(shù)量積目標(biāo)要求1、理解并掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律．2、理解并掌握向量數(shù)量積和投影向量．3、會(huì)求向量的模．4、會(huì)解決向量夾角與垂直問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的模；難點(diǎn)：向量夾角與垂直問題．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量的數(shù)量積(1)定義:條件兩個(gè)__非零___向量與,它們的夾角是θ結(jié)論把數(shù)量_____________叫作向量和的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法記作,即_____________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為__(2)本質(zhì):數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,其大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角都有關(guān),符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.(3)應(yīng)用:①求向量的夾角;②研究向量的垂直問題;③求向量的模.2.投影與投影向量(1)變換:變換圖示設(shè)是兩個(gè)非零向量,過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到(2)結(jié)論:稱上述變換為向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)計(jì)算:設(shè)與方向相同的單位向量為與的夾角為θ,則向量在向量上的投影向量為__________.3.向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)條件:設(shè)是非零向量,它們的夾角是θ,是與方向相同的單位向量.(2)性質(zhì):①.②.③當(dāng)與同向時(shí),;當(dāng)與反向時(shí),.特別地,或.④.4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1).(2).(3).【思考】(1)對(duì)于向量,等式一定成立嗎?提示:不一定成立,因?yàn)槿?其方向與相同或相反,而時(shí)其方向與相同或相反,而與方向不一定相同,故該等式不一定成立.(2)若,則一定成立嗎?提示:不一定成立.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若,則,于是有或.因此,由不一定能得到.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是()A.向量的數(shù)量積也可記作或. B.對(duì)于向量,若,則或.C.若,則和的夾角為銳角.D.向量在上的投影向量是一個(gè)模等于(θ是與的夾角),且與共線的一個(gè)向量.【答案】選ABC提示:A×.向量的數(shù)量積記作.B×.,還可能有.C×.當(dāng)向量與同向時(shí),,但是此時(shí)和的夾角為0°,不是銳角.D√.由投影向量的概念可知此說法正確.題2.若向量滿足,與的夾角為30°,則等于 ()A. B. C. D.【解析】選D.當(dāng)與的夾角為30°時(shí),.題3.已知為一單位向量,與之間的夾角是120°,而在方向上的投影向量的模為2,則________.【解析】因?yàn)?所以,所以.答案:4關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量數(shù)量積和投影向量(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.在△ABC中,∠A=60°,，則的值為 () B. C. 【解析】選A.因?yàn)樵凇鰽BC中,∠A=60°,所以與的夾角為120°,由數(shù)量積的定義可得.題5.已知等邊△ABC的邊長為2,則向量在向量方向上的投影向量為 ()A. B. C. D.【解析】選A.在等邊△ABC中,因?yàn)椤螦=60°,所以向量在向量方向上的投影向量為,所以向量在向量方向上的投影向量為.題6.已知向量與的夾角θ為120°,且,求:(1);(2).【解析】(1)由已知得.(2).【解題策略】1.向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積,首先確定兩個(gè)向量的模及兩個(gè)向量的夾角,其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.2.求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識(shí)作出恰當(dāng)?shù)拇咕€,直接得到投影向量.(2)首先根據(jù)題意確定向量的模,與同向的單位向量,及兩向量與的夾角θ,然后依據(jù)公式計(jì)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.若,與的夾角θ=120°,則 () 【解析】選C..題8.已知,且與的夾角θ為45°,則向量在向量上的投影為________.【解析】由已知得向量在向量上的投影.答案:類型二向量的模(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題9.如圖,在△ABC中,,E是AD的中點(diǎn),設(shè).(1)試用表示;(2)若,且與的夾角為60°,求.【解題策略】1.求向量的模的依據(jù)和基本策略(1)依據(jù):或,可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.(2)基本策略:求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應(yīng)用,勿忘記開方.2.拓展公式(1).(2).【跟蹤訓(xùn)練】題10.已知向量滿足,則________.【解析】由已知有將代入方程組,解得.答案:題11.已知,向量與的夾角θ為,求.【解析】因?yàn)?夾角,所以,，所以.【拓展延伸】關(guān)于向量模的最值問題解答此類問題通常分以下兩步(1)依據(jù)數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì),建立所求量關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù);(2)利用有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值.【拓展訓(xùn)練】題12.已知與的夾角為60°,，若,則的最小值為________.【解析】，由，得，所以，最小值為12,所以的最小值為.答案:類型三向量夾角與垂直問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)角度1兩向量夾角問題【典例】題13.已知.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【思路導(dǎo)引】(1)利用和數(shù)量積的運(yùn)算律求值;(2)根據(jù)數(shù)量積定義可得兩個(gè)向量夾角余弦值的計(jì)算方法.【解析】(1).因?yàn)?所以,所以.(2)因?yàn)?,所以.令與的夾角為θ,則即向量與夾角的余弦值是.【變式探究】題14.已知“,且與的夾角為45°”,試求與的夾角的余弦值.【解析】設(shè)與的夾角為θ,因?yàn)?且與的夾角為45°,所以,所以,,且，角度2兩向量垂直問題【典例】題15.已知向量的夾角為.(1)求的值;(2)若和垂直,求實(shí)數(shù)t的值.【思路導(dǎo)引】(1)依據(jù)數(shù)量積的定義求值;(2)依據(jù)，求t.【解析】(1);(2)因?yàn)楹痛怪?所以,即,所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.【解題策略】求向量夾角的基本步驟2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是,利用數(shù)量積的運(yùn)算代入,結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題.【題組訓(xùn)練】題16.已知是單位向量,若,則與的夾角為 ()° ° ° °【解析】選B.因?yàn)?所以,即.又因?yàn)?所以.設(shè)與的夾角為θ,.又因?yàn)?°≤θ≤180°,所以θ=60°.題17.已知非零向量a,b滿足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,則a與b的夾角θ的余弦值為()A. B. C. D.【解析】選C.題18.已知,且與λa-b垂直,則λ等于 ()A. B. C. 【解析】選A.因?yàn)?所以.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.已知向量不共線,且,求證:.【證明】因?yàn)?所以,即,所以.所以.又與不共線,,所以.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題20.已知向量和滿足,和的夾角為135°,則為 () 【解析】選C.因?yàn)?所以.題21.已知正方形