第2節(jié)二階線性微分方程

二階線性微分方程：----

(2)----

(1)若為常數(shù)n階線性微分方程:自由項線性齊次方程:線性非齊次方程:二階常系數(shù)線性微分方程：第2節(jié)二階線性微分方程1.解的性質(zhì)為齊次方程（2）的兩個解,性質(zhì)為非齊次方程（1）的兩個證為齊次線性方程(2)的解，故有兩式分別乘以后相加，得：一.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)由定義知，為齊次方程(2)的解.為非齊次方程（1）的兩個解，則兩式相減即知2.函數(shù)的線性相關(guān)性：定義1對于定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)若存在n個不全為零的數(shù)則稱函數(shù)在I上線性相關(guān)，

否則稱為線性無關(guān).定義2定理1定理2定理3二階線性齊次方程（2）必存在兩個線性無關(guān)的解。是(2)的通解（為任意常數(shù)).證為二階線性齊次方程（2）的兩個線性無關(guān)的解,則定理4由性質(zhì)知，為齊次方程(2)的解.兩個獨立的任意常數(shù)，線性無關(guān)保證了為為二階線性齊次方程(2)的通解.從而定理5所對應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則為非齊次方程(1)的通解。設(shè)是二階線性非齊次方程(1)的一個特解，證為非齊次方程(1)的解，又兩式相加含有兩個獨立的任意常數(shù).含有兩個獨立的任意常數(shù)，為(1)通解。從而例1已知二階線性方程的三個特解求滿足的特解。解為對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，的通解為特解為：故例2已知二階線性方程，求該方程的通解。的一個特解為解定理6（疊加原理)二.二階常系數(shù)線性微分方程的解法1.二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的求法二階常系數(shù)線性齊次方程代入的左邊得：特征方程：有兩個不等的實根有兩個相等的實根有一對共軛復(fù)根，其根(特征根)有三種情況：對應(yīng)于特征根的三種情況，的通解有以下三種情況：為的兩個線性無關(guān)的解，的通解為：為二重特征根）于是線性無關(guān)的解。為的一個解，為的解，代入方程得的通解為為兩個線性無關(guān)的解，故的復(fù)數(shù)形式的通解為還是的解，且線性無關(guān)的實數(shù)形式的通解為：性質(zhì)例3求下列方程的通解：解特征方程：特征根：通解為：解特征方程：特征根：通解為：特征方程：特征根：通解為：解n階常系數(shù)線性齊次方程:特征方程：二階常系數(shù)線性齊次方程求通解的方法和結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)線性齊次方程,求出特征根后就可相應(yīng)地得到方程的解.例4求方程的通解.解

特征方程：特征根：通解為：2.二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的求法二階常系數(shù)線性非齊次方程:為一待定的m次多項式)由觀察知，的特解y*必為多項式，形式如下:為幾種特殊形式時的特解的方法.方程化為以z為未知函數(shù)的方程：由（1）中結(jié)論知：時，上方程特解：上方程特解：上方程特解：由此得原方程的特解：不是特征根時，是單重特征根時，代入方程得通解為：解例5求下列方程的通解：是二重特征根時，代入方程得設(shè)解通解為：定理7根據(jù)疊加原理，原方程的特解為原方程的通解為解

例9設(shè)有一彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量為m的重物,平衡位置為o點，若將重物拉下一段距離s。然后放開讓其振動，設(shè)重物在運動過程中,os還受到與運動速度成正比的阻力。(2)若在振動過程中，還受到一個周期性外力的作用，求振動規(guī)律。(1)求重物的振動規(guī)律。解s(t)-----時刻t重物離開平衡位置的位移。(1)兩個力的作用：

一是彈簧的恢復(fù)力-ks(虎克定律，k---彈性系數(shù)，負(fù)號表示力的方向與位移方向相反)。tso作衰減運動,最終趨于平衡位置.此解有兩項,第一項以為角頻率的簡諧振動,第二項以或為振幅的強迫振動。時,隨t的增大而增大;時很大，這就產(chǎn)生了所謂的共振現(xiàn)象。第一項是有阻尼的自由振動，隨時間的增長而衰減，稱為暫態(tài)量；第二項是外力引起的強迫振動，當(dāng)阻尼很小，即n很小時，若，則第二

項的振幅(當(dāng)時，振幅取最大值可以很大，而發(fā)生共振現(xiàn)象。如收音機的調(diào)頻就是利用共振的原理