基本不等式同步練習(xí)（含解析）

2.2基本不等式學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）A． B．C． D．2．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．2 B． C．5 D．3．若，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．4．設(shè)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．2 B．4 C．8 D．165．如圖，某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y（單位：10萬元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N）為二次函數(shù)關(guān)系，若使?fàn)I運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大，則每輛客車應(yīng)營(yíng)運(yùn)A．3年 B．4年C．5年 D．6年6．已知實(shí)數(shù)，，，則的最小值是（）A． B． C．3 D．27．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A．80元 B．120元C．160元 D．240元8．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明、現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．二、填空題9．正實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為_____.10．若一塊矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地的面積為，則該場(chǎng)地一條對(duì)角線長(zhǎng)度的最小值為________.11．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．12．設(shè)x＞0，y＞0，x＋2y＝4，則的最小值為_________.三、解答題13．已知.（1）已知x＞0，求y的最小值；（2）已知x＜0，求y的最大值．14．已知a，，求證：．15．用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？16．已知a，b，c為任意實(shí)數(shù)，求證：．參考答案1．A解析：根據(jù)不等式的解集可得不等式對(duì)應(yīng)的方程的解，從而可求出的值，故不等式即為，從而可求其解，從而得到正確的選項(xiàng)．詳解：∵不等式的解集是，∴是方程的兩根，∴，解得.∴不等式為，解得，∴不等式的解集為.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式的解、三個(gè)二次的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：不等式對(duì)應(yīng)的解的端點(diǎn)是對(duì)應(yīng)方程的根，是二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).本題屬于基礎(chǔ)題．2．C解析：化簡(jiǎn)，然后利用基本不等式求解即可詳解：根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為5；故選：C點(diǎn)睛：此題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3．B解析：對(duì)于，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤，即得解.詳解：對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)樗运?，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)樗运?，所以所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的性質(zhì)，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．B解析：將不等式左邊展開，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值.詳解：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而恒成立，故，也即的最大值為.故選B.點(diǎn)睛：本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立問題的求解策略，屬于基礎(chǔ)題.5．C解析：可設(shè)y=a(x－6)2+11，又曲線過(4，7)，∴7=a(4－6)2+11∴a=－1．即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào).故選C．6．B解析：根據(jù)已知條件，將變換為，利用基本不等式，即可求得其最小值.詳解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：B點(diǎn)睛：本題考查利用基本不等式求和的最小值，注意對(duì)目標(biāo)式的配湊，屬基礎(chǔ)題.7．C解析：詳解：設(shè)長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)分別為，則，所以容器總造價(jià)為，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)酌鏋檫呴L(zhǎng)為的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，選C.考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用.8．D解析：由圖形可知，，在直角中，由勾股定理可求，結(jié)合即可得出．詳解：由圖形可知：，，在直角中，由勾股定理可得：，，，．故選：D點(diǎn)睛：本題考查的是由幾何圖形來證明不等式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.9．9解析：根據(jù)題意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.詳解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：9．點(diǎn)睛：本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．10．解析：先設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)與寬為，再根據(jù)題意結(jié)合基本不等式求解即可得答案.詳解：解：設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)與寬為，則根據(jù)題意得，則場(chǎng)地的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用求最值問題，是基礎(chǔ)題.11．4解析：運(yùn)用重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)），計(jì)算可得所求最小值．詳解：解：若實(shí)數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得最小值4．故答案為：4．點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．9解析：將分式展開，利用基本不等式求解即可詳解：又x＋2y＝4即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故原式故填9點(diǎn)睛：本題考查基本不等式求最值，考查等價(jià)變換思想與求解能力，注意等號(hào)成立條件13．（1）2；（2）－2.解析：（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x＜0，所以先對(duì)式子變形，然后再利用基本不等式即可詳解：（1）因?yàn)閤＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．所以y的最小值為2.（2）因?yàn)閤＜0，所以－x＞0.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝－1時(shí)等號(hào)成立．所以y的最大值為－2.點(diǎn)睛：此題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．見解析解析：展開并運(yùn)用基本不等式即可得證.詳解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．矩形的長(zhǎng)、寬都為時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為.解析：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為，寬為，可得出，利用基本不等式可求得籬笆長(zhǎng)的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得矩形菜園的長(zhǎng)和寬，由此可得出結(jié)論.詳解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為，寬為，則，籬笆的長(zhǎng)為.由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為.