復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（含解析）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一．選擇題若復(fù)數(shù)z1=2cosπ12+isinπ12A.24 B.22 C.2 若復(fù)數(shù)z1=4(cos?π4+isinπ4)，A.28-28i B.18若復(fù)數(shù)，則arg(z2)=

(

)A.2π5 B.4π5 C.12(cos30°+A.322+322i B.若復(fù)數(shù)，則z2=

(

)A.-2i B.1+i C.1-i D.2i若z=cosθ+isinθ(θ∈R,i是虛數(shù)單位)，則|z-2-2i|的最小值是(????)A.22 B.2 C.22+1若復(fù)數(shù)z=22cosπ6+isinπA.162 B.8 C.22 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈R,b∈R)對(duì)應(yīng)向量OZ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)OZ=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1=r1A.1024-10243i B.-1024+10243i

C.復(fù)數(shù)是方程x5+α=0的一個(gè)根，那么α的值為

(

)A.32+12i B.12設(shè)A，B，C是△ABC的內(nèi)角，z=(cos?A+isin?A)÷(cos?B+isin?B)·(cos?C+isin?C)A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.形狀不能確定(多選)復(fù)數(shù)，若zn=z(n∈N)，則n的值可以是1 B.3 C.5 D.11二．填空題(3+-12若復(fù)數(shù)，z2=12cosπ4+設(shè)z1=-2+23i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為OZ，將OZ繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°，并將其模變?yōu)樵瓉?lái)的12，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z2=化簡(jiǎn)：(cos?9θ+isin9θ)(三．解答題計(jì)算下列各式的值(結(jié)果寫成三角形式)(1)4cos．

如圖所示，復(fù)平面內(nèi)的△ABC是等邊三角形，它的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(2,0)，(4,2)．

(1)求向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部大于零，且滿足，z2的虛部為2．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z-z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求AB?AC的值．

答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、考查了推理能力與計(jì)算能力，利用三角函數(shù)求出z，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、即可得出．

【解答】由題意知，則1z1z2=122【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與三角函數(shù)綜合應(yīng)用．

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求z1【解答】解：由題意知

，

故選D．

3.【答案】A【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，由復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算法則計(jì)算，可得arg(z2)的值．

【解答】

解：z2=3(cos12π5+isin12π5)=3(【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值和證明，根據(jù)題意求得答案．

【解答】

故選C．

5.【答案】D【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，由復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算法則計(jì)算即可．

【解答】

解：，

故選D．

6.【答案】D【解析】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：z=cosθ+isinθ表示的點(diǎn)在單位圓上，

而|z-2-2i|表示該單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)2+2i表示的點(diǎn)Z的距離，

由圖象可知：|z-2-2i|的最小值應(yīng)為點(diǎn)A到Z的距離，

而OZ=22+22=22，圓的半徑為1，

故|z-2-2i|的最小值為22-1，

故選D

易得復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在單位圓上，而要求的值為單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)2+2i表示的點(diǎn)【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，由，可得結(jié)果．

【解答】

解：，則|z3|=162，

故選A．

8.【解析】解：根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，得

(-1+3i)10=210[cos(10×【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意將z代入方程，然后根據(jù)二倍角公式與和角公式即可求解．

【解答】

解：因?yàn)槭欠匠蘹5+a=0的一個(gè)根，

所以．

故選D．

10.【答案】C

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．

由題意得

arg

z=A-B+C=π-2B=0求B，即可．【解答】解：因?yàn)閦=(cos?A+isin?A)÷(cos?B+isin?B)·(cos?C+isin?C)是一個(gè)實(shí)數(shù)，

所以arg

z=A-B+C=π-2B=0，

∴B=π2．

11.【答案】CD【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的三角形式，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．

利用復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算即可．

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以，，

因?yàn)閦n=z，所以5n3π=π3+2kπ，n=6k+15，

因?yàn)閚∈N，k∈Z，所以當(dāng)k=4時(shí)，n=5；當(dāng)k=9時(shí)，n=11，

故n的值可以是5或11．

故選【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，對(duì)復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化，再化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．

【解答】

方法一(化為三角形式)：

方法二(利用ω=-12+32i的性質(zhì))：

設(shè)ω=-12

13.【答案】1+i【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.解答時(shí)即可以使用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算求解，也可以使用復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算求解，解答過(guò)程依運(yùn)算律運(yùn)算即可．

【解答】

解：方法一(化為三角形式方法二(利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì))：設(shè)ω=-12+32

14.【答案】7π【解析】【分析】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及三角形式，考查了計(jì)算能力．

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，可得，由此可得其輻角的主值．【解答】解：因?yàn)椋?/p>

所以z1z2的輻角的主值為7π12．

15.【答案】【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，先將化成三角形式，再由將OZ繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°，并將其模變?yōu)樵瓉?lái)的12，得，由復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算即可．

【解答】

解：，

根據(jù)題設(shè)條件得

．

故答案為．

16.【答案】cosθ-isinθ【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，由復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：原式

．

故答案為cosθ-isinθ．

17.【答案】解：．

【解析】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算的乘法運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果；

(2)利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算的除法運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果．

18.【答案】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(2,0)，(4,2)，

所以O(shè)A=(2,0)，OB=(4,2)，

所以AB=OB-OA=(4,2)-(2,0)=(2,2)，

故向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+2i．

(2)由題可知向量AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

，

故AC=(1+3,1-3)，

【解析】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義和復(fù)數(shù)的三角形式

，是基礎(chǔ)題．

(1)先得出OA，OB的坐標(biāo)，再得出AB的坐標(biāo)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果；

(2)由題可知向量AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，可得向量AC的坐標(biāo)，得出OC的坐標(biāo)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

19.【答案】解：(1)因?yàn)閦2=2所以2sin2θ=2，則sin2θ=1，所以2θ