平面向量的應(yīng)用【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義Word

第六章平面向量及其應(yīng)用第六章平面向量及其應(yīng)用§平面向量的應(yīng)用知識索引知識索引索引1：平面幾何中的向量方法索引1：平面幾何中的向量方法向量方法在平面幾何中的應(yīng)用證明線段相等、平行，運(yùn)用于向量加法的三角形法則、平行四邊形法則。有時用到向量減法的意義證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運(yùn)用向量平行，（共線）的條件，證明線段的垂直問題，.常運(yùn)用向量垂直條件證明線段的垂直問題，作用向量垂直的條件求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形正護(hù)方形、直角三角形等,建立直角坐標(biāo)系,把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯’"成幾何關(guān)系，索引2：余弦定理以及正弦定理索引2：余弦定理以及正弦定理余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，正余弦定理的綜合應(yīng)用正余弦定理的綜合應(yīng)用正余弦定理的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在實現(xiàn)邊角互化.解答此類問題的一般思路是如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理;如果遇到的式子含角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，通過轉(zhuǎn)化可以與三角恒等變換等知識結(jié)合起來，達(dá)到解題目的.索引3：向量在物理中的運(yùn)用1，力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量,它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下,可用向量求和的平行四邊形法則,求兩個力的合力.2.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用向量求和的平行四邊形法則,求兩個速度的合速度.精例探究精例探究精例1精例1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15，且(sinA+sinB)2A.

1314

B.

1114

C.

12【答案】B【考點】正弦定理，余弦定理【解析】【解答】∵(sinA+sinB)2由正弦定理得a2又因為a，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15，即a+c=2b,a+b+c=15，由{a2+cosB=故答案為：B．

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理得出a2+b精例2騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為3，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，AC?A.

18

B.

24

C.

36

D.

48【答案】C【考點】向量在幾何中的應(yīng)用【解析】【解答】騎行過程中，ABCDE相對不動，只有P點繞D點作圓周運(yùn)動．如圖，以AD為x軸，E為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意A(-4,0)，B(-2,23)，圓D方程為(x-4)2+y則AC=(6,23)AC?BP=6(6+易知當(dāng)sin(α+π3故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點的坐標(biāo)求出來，其中P點坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．課堂反饋課堂反饋練習(xí)1.一輛汽車在一水平的公路上由北向南行駛，在公路右側(cè)有一高山．汽車行駛到A處測得高山在南偏西15°方向上，山頂處的仰角為60°，繼續(xù)向南行駛300m到B處測得高山在南偏西75°方向上，則山高為（

）A.

150(3+2)mC.

150(6+2)練習(xí)2.設(shè)a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，已知D是BC邊的中點，且a2-bA.

172

B.

17

C.

12練習(xí)3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“acosA=A.充分不必要條件

B.

必要不充分條件

C.

充要條件

D.

既不充分也不必要條件練習(xí)4.自古以來，人們對于崇山峻嶺都心存敬畏，同時感慨大自然的鬼斧神工，一代詩圣杜甫曾賦詩《望岳》：“岱宗夫如何？齊魯青未了．造化鐘神秀，陰陽割昏曉．蕩胸生層云，決毗入歸鳥．會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小．”然而，隨著技術(shù)手段的發(fā)展，山高路遠(yuǎn)便不再人們出行的阻礙，偉大領(lǐng)袖毛主席曾作詞：“橋飛架南北，天塹變通途”．在科技騰飛的當(dāng)下，路橋建設(shè)部門仍然潛心研究如何縮短空間距離方便出行，如港珠澳跨海大橋等．如圖為某工程隊將A到D修建條隧道，測量員測得些數(shù)據(jù)如圖所示（A，B，C，D在同一水平面內(nèi)），則A，D間的距離為（

）A.

65-123km

B.

65-12C.

35-123km

D.

35-12練習(xí)5.目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高（1）求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離MD=xm，且記在M處觀測基站底部B的仰角為α，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時，觀測基站的視角∠AMB參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7參考答案參考答案練習(xí)1【答案】C【考點】兩角和與差的正弦公式，正弦定理【解析】【解答】如圖所示：設(shè)A處到山頂處下方的地面C距離為xm，則山高3在△ABC中，∠ACB=75°-15°由正弦定理，得xsinsin105所以x=50(32+6故答案為：C。

【分析】利用實際問題的已知條件結(jié)合正弦定理，從而求出山高。練習(xí)2.【答案】C【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理【解析】【解答】設(shè)M是AB邊上的中點，又D是BC邊的中點，所以2DM=CA,∴AB∵a2-∴AB→故答案為：C【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算公式整理化簡得到AB→?(DA練習(xí)3【答案】A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，正弦定理【解析】【解答】在△ABC中，若acos由正弦定理，asin所以tanA=∴A=B=π△ABC為等腰直角三角形；反之，△ABC為等腰三角形，acos所以“acosA=故答案為：A.【分析】先分析充分性，若acosA=bcosB=csinC，根據(jù)正弦定理可知練習(xí)4【答案】A【考點】兩角和與差的余弦公式，余弦定理的應(yīng)用【解析】【解答】連接AC，設(shè)∠ACB=α，∠ACD=β在△ACB中，AB=4，BC=5,∠ACB=90°，所以AC=41所以sinα=441所以cosβ=cos(120°-α)所以AD2多以AD=65-12故答案為：A.【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，進(jìn)一步根據(jù)余弦定理求出AD，從而得到答案.練習(xí)5【答案】（1）解：由題知∠ACB=8在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=所以BC≈50在Rt△BDC中，sin∠BCD=BDBC所以BD≈250×0.6=150，所以山高BE=BD+DE=150

（2）解：由題知∠AMD=β，∠BMD=α，則在Rt△BMD中，tanα