棱柱棱錐棱臺的表面積和體積【新教材】2022年人教A版高中數學必修練習

棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積練習一、單選題若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是(

)A.3 B.2 C.23 D.正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側棱長為2cm，則棱臺的側面積為(????)A.4cm2 B.8cm2 C.三棱臺ABC—A1B1C1中，A1B1：AB=1：2，則三棱錐AA.1：1：1 B.2：1：1 C.4：2：1 D.4：1：2將一個正方體截去四個角后得到一個正四面體，這個正四面體的體積是正方體體積的(

)A.12 B.13 C.16已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，每個小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體的表面積為(????)A.13 B.23 C.63+4已知正四棱錐P?ABCD的所有頂點都在球O的球面上，且正四棱錐P?ABCD的底面面積為6，側面積為67，則球O的體積為(????)A.323π B.2873π 某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為(????)A.3 B.433 C.533在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=1，則點A.34 B.32 C.33某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(????)A.60 B.30 C.20 D.10已知三棱錐P?ABC的四個頂點均在同一個確定的球面上，且BA=BC=6，∠ABC=π2，若三棱錐P?ABC體積的最大值為3，則其外接球的半徑為(

A.2 B.3 C.4 D.5如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是邊長為2的正方形．點E是PC的中點，過點A，E作棱錐的截面，分別與側棱PB，PD交于M，N兩點，則四棱錐P?AMEN體積的最小值為(????)A.223 B.233 C.2二、單空題已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．如圖，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，則點A到平面A1BD正六棱柱底面邊長為10，高為15，則這個正六棱柱的體積是

．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，在《九章算術》中，塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2，則當陽馬B?三、解答題已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高為32cm，求此正三棱臺的表面積．

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，且EC=2FB．

(Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面ACC1A1；

如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．(1)求證：PA?//平面BDE；(2)求證：BD⊥平面PAC；(3)若AB=2,PB=6，求三棱錐B?CDE的體積．

答案和解析1.【答案】A【解答】解：設正方體的棱長為a，則正方體的表面積是6a2，

以正方體的頂點為頂點作正四面體，棱長為它的表面積是4×3則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為3．2.【答案】D【解答】解：正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側棱長為2cm，

所以棱臺的斜高為：22?(3?12)2=3cm【解答】解：設點A1到底面ABC的距離為h，

則三棱錐A1?ABC的體積V1=13×?×S△ABC，

三棱錐A1?B1C1B的體積V2=13×?×S△A【解答】解：將正方體ABCD?A′B′C′D′截去四個角后得到一個四面體BDA′C′，

設正方體邊長為a，

則VB?B′A′C′=VA′?ABD=VD?A′C′D′=VC′?BCD=13×12×a×a×a=a36．

∴四面體BDA1C1的體積：

V=V正方體?4VB?B′A′C′=a3?2a33=a33．由底面面積為6得；a2=6，得∵側面積為67∴4×12×連接AC，BD交于點O1，連接PO1，則易知P故四棱錐P?ABCD的高PO1=12?3=3連接OA，設球的半徑為R，∴R∴R=2，∴球O的體積為4π3

7.【答案】A

【解答】

解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，

其底面面積S=12×(1+2)×2=3，高?=3，

故體積V=13【解答】

解：

設點A到平面A1BC的距離為h，

因AB=AC=BC=2，AA1=1，

則A1C=A1B=5，

取BC中點D，則AD=3，且AD⊥BC，A1D⊥BC，

故A1D=A1C2?CD2=2，

∴S△A1BC=12BC·A1D=12×2×2=2，

而S△ABC=12×2×3=3，

∵VA1?ABC=VA?A1BC，

∴13S△ABC·AA1=13S△A1BC·?，

∴13×3×1=13×2×?，

解得?=32．

9.【答案】D【解析】解：∵在四棱錐P?ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是邊長為2的正方形．

點E是PC的中點，過點A，E作棱錐的截面，分別與側棱PB，PD交于M，N兩點，

∴VP?AMEN=VA?MNP+VE?MNP=13S△PMN?32=12S△PMN，

依題意當S△PMN最小時，四棱錐P?AMEN體積取最小值，

M，O，V三點共線，且PN=λPD,PM=μPB，

|PD||PN|=1λ,|PB||PM|=1μ，

PV=23【解答】

解：在三棱錐A1?ABD中，AA1是三棱錐A1?ABD的高，

AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=2a，

∵V三棱錐A1?ABD=【解答】解：∵正六棱柱底面邊長為10，

∴正六棱柱的底面積為S=6×12×10×10×sin60°=300×32=1503，

又正六棱柱的高為15，

∴這個正六棱柱的體積是1503×15=22503【解答】解：

∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，

E，F，G，H分別是四條棱AB，BC，CD，DA上的中點，

∴四邊形EFGH是邊長為2的正方形，

點A1到平面EFGH的距離d=AA1=2，

16.【答案】2【解答】解：設AC=m，則BC=4?m2，∴當m4?m2最大時，m4?當且僅當m=2∴當“陽馬”即四棱錐B?A1AC所以塹堵ABC?A1B17.【答案】解：如圖所示，畫出正三棱臺ABC?A1B1C1，OO1為正三棱臺的高，

DD所以此正三棱臺的表面積S表18.【答案】(1)證明：取AC中點M，連接BM，

因為正三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=AB，

所以BM⊥AC，

因為正三棱柱ABC?A1B1C1中平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BM?平面ABC，

所以BM⊥平面ACC1A1．

取AE中點N，連接MN，FN，則MN//EC，且MN=12EC，

又因為BB1//CC1，EC=2FB，所以FB//EC且FB=12EC，

所以MN//FB且MN=FB，

所以四邊形BMNF是平行四邊形，

所以FN//BM，

所以FN⊥平面ACC1A1．

又FN?平面AEF，

所以平面AEF⊥平面ACC1A1．

(2)解：作AD⊥BC于D，垂足為D，

因為正三棱柱ABC?A1B1C1中AB=AC=2，

所以AD⊥BC，且AD=3，

又因為正三棱柱