八個(gè)有趣模型-搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版)

OO八有?！憧諑左w外球內(nèi)球類一墻模（條兩垂，找心位即求球半,棱與方的接相）

P

c

a

A

B

C

A

B

b

C

A

B

C

2

3

圖方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式

(2)

，即

2

a

2

2

2

，求出

R例1（1）已知各頂點(diǎn)都在同一面上的正四棱柱的高為

4

，體積為

，則這個(gè)球的表面積是（）A．

16

B．

C．

D．

（）三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為

3

，則其外接球的表面積是（）正三棱錐中、分別是棱、的點(diǎn)，且AMMN,若側(cè)棱SA3正三棱錐ABC外球的表面積是。解：引理：正棱的棱垂直證明如下：

,則如圖（3）-1，

ABBC

的中點(diǎn)

D,E

，連接

,CD

，

AECD

交于

H

，連接SHH是面正三角形的心SH平面SH

，

BC

，ADBD

CD

平面

AB

，同理：

BCSA

，

AC

，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3），

AMMN

，

SBMN

，

A

CAMSB

，SB

，SB

平面

SAC

，

D

H

ESB，SBSC，SA，，

B題-SA平面，

，故三棱錐ABC的三條側(cè)棱兩兩互垂直，)3)2(2236

，即

R2

，

外接球的表面積是

36SM

(3)-1（）四面體

中，

面ABC

，

BACSA

則該四面體的外接球的表面積為（）A

1040D.3

（）果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的表面積是（）知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為類二垂模（條線直一平）1．題設(shè)：如圖5，PA面ABC解題步驟：第一步：將畫(huà)小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，PD必球心

P第二步：

O1

為

的外心，所以

1

平面

ABC

，算出小圓

O1

的半

C徑

Dr1

（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得

A

B

DacrOOPAsinsinsinC2

；

圖第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①

22r2

2R

2

r)

；②

r

OO2OO2題如圖67，P

的射影是

的外心

三錐

的三條側(cè)棱相等

三棱錐ABC的面在錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)是圓錐的頂點(diǎn)

P

PO

C

C

C

CA

B

D

A

B

A

B

A

B

圖6

圖-1

圖7-2

圖P

P

B

A

O

C

A

B

D圖8-1

O8

O圖8解題步驟：第一步：確定球心的置，取的外心，則P,O1

三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓

O1

的半徑

AO1

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高第三步：勾股定理：

O

2h2r2

，解出

.方二小直徑參與構(gòu)造大圓。例2一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體外接球的表面積為A．

B．

C．

3

D．以上都不對(duì)類三切模（個(gè)面相直P(pán)

O

OA

C

O

1

A

C

O

1

B

B

圖-1

圖9-2

圖-3

圖9-41．題設(shè)：如圖9-1，平面PAC面，即AC為圓的直徑）第一步：易知球心必PAC的心，即的接圓是大圓，先求出小圓的直徑

r

；第二步：在

中，可根據(jù)正弦定理

ac2RsinsinBsinC

，求出

。32．如圖，面

平面

，且

BC

（即

為小圓的直徑）2OCOR2O22111

3．如圖，面面，（即AC為小圓的直徑射影是的心

三錐

ABC

的三條側(cè)棱相等

三

的底面

在圓錐的底上，頂點(diǎn)

P

點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心O的置，取的心，PO,1

三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓

O1

的半徑

AO1

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高第三步：勾股定理：

OAOAR)2r2

，解出

4．如圖，面

平面

，且

BC

（即

為小圓的直徑

AC

，則r2OO利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①2rOO②

r22R

2(2r)

；例3（棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上棱錐的高為邊為球表面積為。（）四棱錐ABCD的面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（在棱錐

P

中，

PAPBPC3

,側(cè)棱

PA

與底面

ABC

所成的角為

則三棱錐外接球的體積為（）A．

B.

4C.4D.33（）知三棱錐

ABC

的所有頂點(diǎn)都在球

O

的求面上

ABC

是邊長(zhǎng)為

的正三角形

為球

O

的直徑且SC;則此棱錐的體積為（）A．

2322B．C．．66241111類四漢模（棱的接、柱外球

1

O

2

1

1

A

O

C

B

A

B

C

O

O

C

CO1

A

O

B

A

B

圖10-1

圖

圖題設(shè)：如圖，10-2，圖直三柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心

O

的位置，

1

是

ABC

的外心，則

1

平面

；第二步：算出小圓的徑r，OO1

1（2

也是圓柱的高第三步：勾股定理：

OA

O

R

2

h)2

2

2

R

r

2

)

2

，解出

例4（）個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該六棱柱的體積為

98

，底面周長(zhǎng)為3，這個(gè)球的體積為（）直棱柱

B111

的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

ABACAA1

,

BAC120

，則此球的表面積等于。（）知

EAB

所在的平面與矩形

所在的平面互相垂直，

EAAD2,60

，則多面體

ABCD

的外接球的表面積為。（在直三棱柱

中，4,AC6,A11

3

,1

則直三棱柱

11

的外接球的表面積為。5cc類五折模題：個(gè)等角或腰角拼一，菱折疊如圖11)A'OH

D

E

H

圖1第一步：先畫(huà)出如圖所示的圖形，將

BCD

畫(huà)在小圓上，找出

BCD和

的外心

H

1

和

H

2

；第二步：過(guò)和H分作平面BCD和面A的線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，接,OC；1第三步：解，算出OH，RtOCH1

1

中，勾股定理：

OH

2CH2OC211例5三棱

中平

平面

eq\o\ac(△,，)

和

均為邊長(zhǎng)為

2

的正三角形則棱錐

外接球的半徑為.類六對(duì)相模（形長(zhǎng)體題三棱（即四體中已三對(duì)分相求接半（AD，AC）第一步：畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為

a,

，

x

，

ABCD

，

，方程組，222y2222補(bǔ)充：A

2216

2

22

2

，

ABa

xx

D

yb

cC第三步：根據(jù)墻角模型，

22

x

y

，

圖2R2

28

，

xy

，求出

，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例（）長(zhǎng)為

2

的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四體的截)的面積是.(1)題6B．C．D．B．C．D．（）個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑1三棱錐的體積是（）

的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正A．

334（）三棱錐

中，若

ABCDACBD

則三棱錐

外接球的表面積為。（）三棱錐中，CDACAD為.

則該三棱錐外接球的表面積（）四面體的各條棱長(zhǎng)都為

，則該正面體外接球的體積為類七兩角角拼在起(邊同也看作形對(duì)線起得棱)型題設(shè)：

ACB90

13，求三棱錐外球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)連接OP,OC

，則

OAOC

，

O

為三棱錐

PABC

外接球球心，然后在

OCP

中求出半徑）例7（）在矩形中AB，BC，沿將形ABCD折一個(gè)直二面角則四面體的接球的體積為（）

B

，A．

125125125125．C．D．129

（在形中AB，沿將矩形ABCD折疊連所得三棱錐的外接球的表面積為．

ABCD7ABCPABPACPBCPABPACABCPABPACPBCPABPAC類八錐的切問(wèn)1．題設(shè)：如圖，棱錐PABC上三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，

,H

分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求

DH

13

，

PO

，

PD

是側(cè)面

ABP

的高；

E

O

第三步：由POE似于，立等式：

OEDH

，解出r

D

H2．題設(shè)：如圖，棱錐PABC上四棱錐，求其外接球的半徑

圖14第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，

P,O,

三點(diǎn)共線；1BC，PO，PF是面的高；FH第二步：求2OGPO第三步：由POG相似于，立等式：，出HF3．題設(shè)：三棱錐是意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑

B

E

A

H圖1

C

F

方法等體積法即內(nèi)切球球心四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，立式：

VPABC

O

PAB

PAC

OPBC

PABC

1SS()33333第三步：解出

r

PABCPAC

PBC習(xí)：1三錐ABC的條側(cè)棱兩兩垂直SA

該棱錐的外接球半徑）A.

B.

C.

D.

2．三錐ABC中側(cè)面，面ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱錐的外接球體積等于.

SA3

，