第三講 連續(xù)時間隨機過程的微分和積分

1.2連續(xù)時間隨機過程的微分和積分實際中，經(jīng)常涉及到隨機過程的微分和積分問題。對于通常函數(shù)而言：這些運算即是極限運算。對于隨機過程而言：這涉及到隨機變量序列的極限和收斂問題，這些極限都是在均方意義下定義的。為了討論隨機過程的微分和積分，首先討論隨機過程的連續(xù)性。12一隨機過程的連續(xù)性

1

確定函數(shù)連續(xù)性定義：對于確定性函數(shù)，若則在處連續(xù)。32隨機過程連續(xù)性定義

如果隨機過程

滿足

則稱

在均方收斂意義下在t點連續(xù)。簡稱隨機過程

在t點均方連續(xù)。43

隨機過程的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則連續(xù)。

因此，如果對

時刻，函數(shù)

在點上連續(xù)，則隨機過程

必在

t點上連續(xù)。如果沿著處處連續(xù)，則隨機過程對于每個t都是連續(xù)。

54隨機過程均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)。

證由均方連續(xù)的定義可知，當(dāng)，則不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0。（均值的平方不可能小于0）

設(shè)6即：

注意為確定性函數(shù)，由前面知識可知連續(xù)。

可將此結(jié)果寫成表明：求極限和數(shù)學(xué)期望的次序可以交換。7二隨機過程的導(dǎo)數(shù)

預(yù)備知識：對于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：

一階可導(dǎo)：

如果存在，則在t處可導(dǎo)，記為。

8二階可導(dǎo)：

存在，則二階可導(dǎo)，記為。

如果91隨機過程可導(dǎo)的定義

隨機過程的導(dǎo)數(shù)定義為一個極限：

如果這個極限對于過程的所有樣本函數(shù)都存在，那么具有導(dǎo)數(shù)通常的意義。如果這個極限在均方意義下存在，稱具有均方意義下的導(dǎo)數(shù)。10如果隨機過程

滿足

則稱

在t時刻具有均方倒數(shù)。112判別方法

判斷一個隨機過程是否均方可微的方法是采用柯西準則，即

而12若時，存在二階混合偏導(dǎo)則隨機過程在均方意義下可微(可導(dǎo))的充分條件：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在

隨機過程存在導(dǎo)數(shù)，首先該過程必須是連續(xù)的，但隨機過程的連續(xù)性不能保證過程有導(dǎo)數(shù)。133數(shù)字特征

(數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù))

隨機過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)，即

證明：

隨機過程連續(xù)性隨機過程的導(dǎo)數(shù)運算與數(shù)學(xué)期望的運算次序可以交換。14

隨機過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)，等于可微（可導(dǎo)）隨機過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)

證明：

15例數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)隨機信號。求隨機信號的均值和相關(guān)函數(shù)。解16三隨機過程的積分

1預(yù)備知識

對于確定性函數(shù)，其中17

給定實隨機過程，若在確定區(qū)間上每個樣本函數(shù)下列積分存在則稱Y為隨機過程的積分。由于對每個試驗結(jié)果，積分都可以得到一個數(shù)；但對不同的，積分值是不同的，于是對于所有的實驗結(jié)果，Y是一個隨機變量。而對于每個樣本函數(shù)，此積分是通常意義下的積分。在更一般的情況下，的積分并不對每一個都存在，此時需要換一種方式來定義。182隨機過程積分的定義

隨機過程在確定區(qū)間上的積分Y是一個隨機變量，即

若有則稱為隨機過程在上的均方積分。193數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、均方值、方差、相關(guān)函數(shù))

隨機過程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機過程數(shù)學(xué)期望的積分。

證明：20

隨機過程積分的均方值等于隨機過程自相關(guān)函數(shù)的二重積分。證明：21

隨機過程積分的方差等于隨機過程協(xié)方差的二重積分。

證明：22

給定實隨機過程為隨機過程在區(qū)間的變上限積分。23

隨機過程積分的相關(guān)函數(shù)等于對隨機過程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對t1,后對t2積分）

24例隨機信號