第三講 空間向量與立體幾何

隨堂講義專題五

立體幾何第三講

空間向量與立體幾何求解立體幾何問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，每套試卷必有立體幾何解答題，一般設(shè)2至3問(wèn)，前一問(wèn)較簡(jiǎn)單，最后一問(wèn)難度較大，而選用向量法可以降低解題難度．預(yù)測(cè)2016年高考仍以棱柱或棱錐為載體，第一問(wèn)求證線面平行、垂直關(guān)系，第二或第三問(wèn)則求角或探索存在性問(wèn)題，有一定難度．解析：解法一(1)取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM，2．如下圖所示，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大??；(3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離．解析：解法一(綜合法)(1)如右圖所示，取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE，∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD.又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.思路點(diǎn)撥：(1)要證明線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；(2)求二面角的平面角，一種方法是利用空間線面之間的推理論證關(guān)系作出二面角的平面角，通過(guò)解三角形知識(shí)求解；另一種方法是建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)坐標(biāo)及二面角的兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求解．解析：(1)∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，

∴四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1均為菱形，∵AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，∴O，O1分別為BD，B1D1中點(diǎn)．∵四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1為矩形，∴OO1∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD.∴OO1⊥BD，OO1⊥AC，又∵AC∩BD＝O且AC，BD?底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.

(2)解法一

過(guò)O1作B1O的垂線交B1O于點(diǎn)H，連接HO1，HC1，設(shè)四棱柱ABCDA1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2a.∵OO1⊥底面ABCD且底面ABCD∥面A1B1C1D1，∴OO1⊥面A1B1C1D1.又∵O1C1?面A1B1C1D1，∴O1C1⊥OO1.∵四邊形A1B1C1D1為菱形，∴O1C1⊥O1B1.又∵O1C1⊥OO1且OO1∩O1C1＝O1，O1O、O1B1?面OB1D，∴O1C1⊥面OB1D.又∵B1O?面OB1D，∴B1O⊥O1C1.又∵B1O⊥O1H且O1C1∩O1H＝O1，O1C1、O1H?面O1HC1，∴B1O⊥面O1HC1，∴∠O1HC1為二面角C1OB1D的平面角，則cos∠O1HC1＝.∵∠CBA＝60°且四邊形ABCD為菱形，設(shè)AB為2a，∴O1C1＝a，B1O1＝a，OO1＝2a，B1O＝＝a，解法二因?yàn)樗睦庵鵄BCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD是棱形，因此，AC⊥BD，又O1O⊥面ABCD，從而OB，OC，O1O兩兩垂直，如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立三維直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝2，因?yàn)椤螩BA＝60°，所以O(shè)B＝，OC＝1，于是各點(diǎn)的坐標(biāo)為：O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角求得二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．3．如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA＝1，P在平面ABCDEF內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O.(1)證明：PA⊥BF；(2)求面APB與面DPB所成二面角的大?。馕觯骸咂矫鍼AD⊥平面ABCD，而∠PAD＝90°，∴PA⊥平面ABCD，而ABCD是正方形，即AB⊥AD.故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．空間向量最適合于解決這類(lèi)立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁瑣的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，從而使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．1．用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)情況選擇，易建立空間直角坐標(biāo)系，可利用空間向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題．2．在用空間向量