第二章 正投影作圖基礎(chǔ)

第二章正投影作圖基礎(chǔ)

2.1投影法及其分類

2.2投影體系的建立

2.4直線的投影

2.5平面的投影

2.6直線與平面及兩平面的相對位置本章小結(jié)結(jié)束放映

2.3點(diǎn)的投影

2.7換面法平行投影法中心投影法2.1投影法及其分類⑴投影法投射線物體投影面投影

投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。投射中心斜投影法正投影法∽五要素中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心平行投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。⑵正投影的基本特性BAa

bdc

DECp

BA

e

CDc(d)EeP

d

c

abBAEDCP

e

a(b)真實(shí)性積聚性類似性⑶影子、投影與視圖

P

P

P視圖影子投影全部陰影部分輪廓的影子光源演變?yōu)檠劬ν队胺ㄖ行耐队胺ㄆ叫型队胺ㄕ队胺ㄐ蓖队胺ó嬐敢晥D畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖投影法小結(jié)返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？

Pb●●AP

以反映空間（A、B）點(diǎn)的位置為例B3●B2●B1●

一個投影面上的投影不能確定物體的空間位置。2.2.1.兩個問題a●2.2三面投影體系的建立解決辦法？圖示目的：表達(dá)物體的①空間位置，②輪廓形狀。圖示目標(biāo)：物體表達(dá)要①唯一、完整，②清晰易讀。問題一：用一個投影面上的投影表達(dá)物體結(jié)論問題二：不同形狀的物體在兩面投影體系中的投影增加投影面哦解決辦法？兩面投影體系

誕生VH結(jié)論

兩個投影面上的投影不能完整地反映空間物體的具體形狀。采用正投影多面視圖的表達(dá)法。哇再增加投影面

建立三面投影體系WVH2.2.2.三面投影體系的建立三視圖結(jié)論

三面投影能夠完整地反映物體的空間位置和具體形狀。解決辦法？2.2.3.三面投影體系的命名及其規(guī)則投影面?正面投影面（V面）?水平投影面（H面）?側(cè)面投影面（W面）

投影軸?OX軸V面與H面的交線?OZ軸V面與W面的交線?OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直HWVOXZY①命名②位置關(guān)系向右翻向下翻不動將三投影面展開在同一平面內(nèi)WVHHWVOXZY③旋轉(zhuǎn)規(guī)則XY

ZVWHO上下左右后上下前后左右前上下左右前后④幾何位置關(guān)系不動向下翻向右翻XYW

ZVWHO上下左右后上下前后左右前YH返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？WH點(diǎn)（A）在投影面上的投影仍舊是一個點(diǎn)a●a●

A●2.3點(diǎn)的投影2.3.1點(diǎn)的投影特性a●

A●

A●任何情況下點(diǎn)向投影面的投影：WHVOXZY空間點(diǎn)A在三個投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影注意：空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a●a●a●

A●2.3.2點(diǎn)的三面投影

a⊥X

a

⊥Xax

a

⊥Za

⊥Z

az

a⊥Y

a

⊥Y

ay

同一個垂直點(diǎn)

同一個垂直點(diǎn)

同一個垂直點(diǎn)

ax

ay

az

●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開ZYXY

OVxzaaa●2.3.3點(diǎn)的三面投影分析②aay=aaz=x=Aa（A到W面的距離）

aay=z=Aa（A到H面的距離）

①aax=

=y=Aa（A到V面的距離）

aaz㈠點(diǎn)與投影面的位置關(guān)系yHaa●Waay

●③aax=●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZYXY

OVa●㈡點(diǎn)的空間位置與三面投影間的對應(yīng)關(guān)系Ha●Wa''●xV、a'H、a寬度、前后（y）方向高度、上下（z）方向長度、左右（X）方向yW、a''H、azV、a'W、a''●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZYXY

OVa●㈢三投影與點(diǎn)在空間位置的對應(yīng)關(guān)系Ha●Wa''●xzVa'HaxyWa''yz寬度、前后（y）方向高度、上下（z）方向長度、左右（X）方向

2.3.4點(diǎn)的投影規(guī)律①aa⊥OX軸

②

aa⊥OZ軸

③aax=

aaz主俯視圖左右方向長對正俯左視圖前后方西寬相等主左視圖上下方向高平齊●●●●XYZOVHWAaaaxaazayVxzaaa●yHaa●Waay

●ZYXY

O●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影?！馻a●●aaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●2.3.5兩點(diǎn)的相對位置

兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x

坐標(biāo)大的在左▲y

坐標(biāo)大的在前▲z

坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYYZO⑴在圖上直觀判斷⑵利用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷

例：已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。

a

a

aXZYWYHOb

bb

985()

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點(diǎn)呢？ca

cc●●●●●aa2.3.6重影點(diǎn)與可見性2.3.7特殊點(diǎn)與一般點(diǎn)投影面上的點(diǎn)投影軸線上的點(diǎn)特殊點(diǎn)一般點(diǎn)點(diǎn)在空間位置①

均在投影面內(nèi);其三面投影:②

三座標(biāo)（X，Y，Z）baa

abb●●●●●●XYYZO其三面投影與投影面及投影軸的位置關(guān)系？都不等于零2.3.8點(diǎn)的投影作圖練習(xí)（舉例）1.根據(jù)給定的條件繪畫點(diǎn)的三面投影2.根據(jù)點(diǎn)的投影，判斷點(diǎn)的空間位置①根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，求畫點(diǎn)的三面投影。③根據(jù)點(diǎn)的綜合條件，求畫點(diǎn)的三面投影。②根據(jù)點(diǎn)的三座標(biāo)，求畫點(diǎn)的三面投影。①一個點(diǎn)的空間位置判斷。②相互點(diǎn)的空間位置判斷。返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？aa

abbb●●●●●●2.3直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。1)直線對一個投影面的投影特性

BA●●①當(dāng)AB⊥P時(shí)

ab=0

BA●●2.3.1.直線的投影特性PBA●●積聚性

PPa（b）

●●●ab①當(dāng)AB∠P時(shí)

ab<AB

②當(dāng)AB∥P時(shí)

ab=AB

收縮性

真實(shí)性

●●ab④如果M∈AB；

則ab∈AB

重屬性

⑤當(dāng)M∈AB時(shí)則AM:MB=am:mb

等比性

BA●●P●●ab●●mMBA●●P●●ab●●mM2)直線在三面投影體系中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對置。位置分類VHWABa′b′a″b″●a(b)abab⑴投影面垂直線投影分析鉛垂線（⊥H，∥V，∥W）a（b）投影規(guī)律

①

ab

=0

反映積聚性

②

ab

=AB

反映真實(shí)性

③

ab

=AB

反映真實(shí)性

①線段長度

度量問題②

線段與投影面的夾角

ab

ab

AB=

γ

β

α

AB與

H

面的夾角V

面的夾角W

面的夾角=0

=0

=90

且

ab

⊥X

且

ab

⊥Y

反映線段實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。正垂線側(cè)垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●efefe(f)判斷下列直線是什么位置的直線度量問題:直觀分析判斷baOYXZYa′b′″ab″VHWab投影規(guī)律

⑵

投影面平行線水平線（∥H，∠V，∠W）投影分析①

ab

=AB

反映真實(shí)性

且

ab

分別∠X

∠Y

③

ab

＜AB

反映收縮性

②

ab

＜AB

反映收縮性

且

ab

∥

X

且

ab

∥

Y

度量問題①線段長度

AB=ab②

線段與投影面的夾角

α＝0直接判斷β＝ab與X軸的夾角

γ＝ab與Y軸的夾角

實(shí)長pa′b′a″b″ABγββγγβP∥H判斷下列直線是什么位置的直線側(cè)平線正平線實(shí)長實(shí)長γbaababβbaabba投影特性①投影面的平行線在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)角度。②另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸的距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。⑶一般位置直線ZYaOXbbYabaHaβγaAbVBbWab投影分析投影規(guī)律

①

ab

＜

AB

反映收縮性

且

ab

分別∠X

∠Y

③

ab

＜AB

反映收縮性

②

ab

＜AB

反映收縮性

且

ab

分別

∠Z

∠Y

且

ab

分別∠X

∠Z

度量問題①線段長度

AB=?不反映②

線段與投影面的夾角

αβγ=?不反映HV一般位置直線投影特性：

三個投影都傾斜于投影軸，即都不反映空間線段的實(shí)長，也不反映空間線段與三個投影面的夾角。怎么辦b1b1′ααΔΖ=|Bz－Ａｚ｜=Bb1′=b′b1′ΔΖ取ΔΖΔΖ量取ΔΖaOXbba連斜邊得AB實(shí)長與α角αab量取ab取abα直角三角形法解法一解法二BAabb′a′AB實(shí)長連斜邊得AB實(shí)長與α角

求AB與α角

β與α角

如何求得例：求線段CD的實(shí)長與β角。解法一解法二cOXddcββ取c′d′

量取ΔY連斜邊得CD實(shí)長與β角連斜邊得CD實(shí)長與β角取ΔY量取c′d′直角三角形法

直角三角形的兩直角邊，一條是投影邊，另一條是與所得投影邊的投影線一致的坐標(biāo)差，其斜邊為實(shí)長，斜邊與投影邊的夾角，即為空間直線與投影邊所在投影面的夾角。

acXYYbOZb′a″c′a′c″b″AHacVBbCWb′c′a′b″c″a″2.3.2直線與點(diǎn)的相對位置

?若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。

?點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?●●aabcb③c●aabbk●●k●例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aabbkab●k●k2.3.3.兩直線的相對位置兩空間直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）、垂直。1)兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。acdbcdabOXbcdHAdaCcVaDbB例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd2)兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)cabd

bacdkkacVXbHDacdkCAkKdbOB●cdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac例：判斷直線AB、CD的相對位置?！鋍′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點(diǎn)不符合空間一個點(diǎn)的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比定理⒉利用側(cè)面投影3)兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點(diǎn)不符合一個點(diǎn)的投影規(guī)律！cabdOXd′b′a′c′acACVbHdDBc′d′b′a′acACVbHdDBc′d′b′a′cabdOXd′b′a′c′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！?(2)ⅡⅠ1′2′●●●●′′Ⅳ43(4

)3Ⅲ●●●●●●3(4

)34●●′′Hp··A1B1a(12…)b(12…)A2B2A3B3A4B4phCK(D)kc(d)又如果平面P⊥H

面，則必交一垂線PH

因?yàn)椋ˋ1B1

，A2B2…）∈P

面則（a1b1

，a2b2…）∈PH如果CD⊥P，則CD必然⊥（A1B1

，A2B2…）（分垂直相交與垂直交叉兩類位置四種情況）又因?yàn)镃D⊥P，則CD∥H，

4)兩直線垂直（垂直相交或垂直交叉）①直角的投影特性：直角投影定理：

如果垂直（相交或交叉）兩直線，其中任意一條直線與莫個投影面平行，則兩直線在該投影面的投影反映直角。運(yùn)用直角定理作圖直線在H面上的投影互相垂直結(jié)論：cd

必然⊥（a1b1

，a2b2…）acbabc.acbabc.acbad（b）c.dacbadc.d

b直角投影逆定理：

如果（相交或交叉）兩直線在某個投影面的投影反映直角，其中任意一條直線與該投影面平行，則兩直線在空間必然垂直。②兩直線垂直（相交或交叉）四種位置投影分析運(yùn)用直角逆定理分析判斷讀圖例1：繪圖求畫投影。AB為正平線,正面投影反映直角。abb.③直角投影定理的應(yīng)用2）過C點(diǎn)作直線與

AB垂直相交。1）過A點(diǎn)作水平線與

CD垂直相交。kb.akb●●ccadd●ddcac●●●kk

直接判斷：

AK為水平線，ak＝AK，反映距離實(shí)長例2：圖解度量求距離。1）求A點(diǎn)到CD直線的垂直距離。k.ak●●ccadd●2）求A點(diǎn)到CD直線的垂直距離。.kkAK為一般位置線,再用直角三角形法求實(shí)長。量取ΔΖ取ΔΖ連斜邊得AK實(shí)長取ak邊●●ccadd●a●3）求兩直線間的垂直距離。例3：讀圖判斷兩直線的位置關(guān)系是否垂直。返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？2.4平面的投影2.4.1.平面的表示法不在同一直線上的三個點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線平面圖形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc1)幾何圖形表示法常用方法重點(diǎn)掌握VH2)跡線表示法PPVPH●KVVHPVPH跡線跡點(diǎn)①跡點(diǎn)

直線與投影面的交點(diǎn)

一直線：最多兩個跡，最少一個跡點(diǎn)。正面跡線PV水平跡線PH側(cè)面跡線PW②跡線平面與投影面的交線正面跡點(diǎn)KV水平跡點(diǎn)KH側(cè)面跡點(diǎn)KW一平面：最多三條跡線，最少兩條跡線。P

P

P

dc

DECe

CDc(d)Eed

c

EDCe

真實(shí)性積聚性類似性2.4.2.平面的投影特性1)平面對一個投影面的投影特性★平面平行投影面——投影就把實(shí)形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面投影特性：2)平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：特殊位置平面一般位置平面與三個投影面都傾斜投影面垂直面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面正垂面?zhèn)却姑驺U垂面投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫖恢梅诸恆bcabcabc⑴投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性投影分析投影規(guī)律

①

△abc

=△ABC

反映真實(shí)性

②

△

abc

=0

反映積聚性

且

△

abc

∥X

③

△

abc

=0

反映積聚性

且△

abc∥Y

度量問題①平面的實(shí)形

△ABC=

△abc

γ

β

α

△ABC平面與

H

面的夾角V

面的夾角W

面的夾角②平面與投影面的夾角

直接判斷α＝0β＝90

γ＝90

水平面（∥H，⊥V，⊥W

）判斷下列平面是什么位置的平面?zhèn)绕矫嬲矫鎸?shí)形實(shí)形投影特性①投影面的平行面在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)形；②另兩個投影面上的投影反映積聚性，分別積聚成直線段，并且分別平行于平面所平行的投影面的相鄰兩根軸。abcabcabcabcabcabc③度量問題，三夾角直接判斷。鉛垂面（⊥H，∠V，∠W

）⑵

投影面垂直面γβccabcabba投影分析投影規(guī)律

①

△abc

=0

反映積聚性

②

△

abc

＜

△ABC

反映類似性

且

△abc

∠X，△abc∠Y③

△

abc

＜△ABC

反映類似性

度量問題①平面的實(shí)形

△ABC=

？②平面與投影面的夾角

α＝0直接判斷類似性類似性積聚性

β

＝△abc

與

X軸的夾角

γ

＝△abc

與

Y

軸的夾角不反映判斷下列平面是什么位置的平面?zhèn)却姑嬲姑嫱队疤匦寓偻队懊娴拇怪泵嬖谄浯怪蹦莻€投影面上的投影反映積聚性，積聚成一直段，并且與相鄰的兩軸線傾斜相交；其夾角反映空間平面與其兩相鄰?fù)队懊娴恼鎸?shí)夾角。②另兩個投影面上的投影分別反映類似性。③度量問題:不反映實(shí)形；三夾角垂直投影面的夾角直接判斷，其他兩夾角在圖中測得。γαccabcabbaβα⑶一般位置平面三個投影都反映類似性。abcacbabc

投影規(guī)律

度量問題實(shí)形、三夾角都不能夠反映。

acbcaabc●b例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個解？45°2.4.3.平面上的直線和點(diǎn)位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：1)平面上取任意直線●●MNAB●M⑴若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面上。⑵若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面上。abcbca

dd例：已知平面由直線AB、AC所確定，在平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數(shù)解！n●m●n●m●abcbca例：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10

唯一解！有多少解？cabcab2)平面上取點(diǎn)

先找出過此點(diǎn)而又在平面上的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。bacakb●①c面上取點(diǎn)的方法：dd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線k●②●abcabkck●bckkb例：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcadadbcdede1010m●m●例：在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面和V面的距離均為10mm。bcXbcaaO返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？2.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。2.5.1.平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括1)

直線與平面平行

若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。n●●acbmabcmn例：過點(diǎn)M作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？dd正平線例：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面

ABC。唯一解nnddc●●bamabcm2)兩平面平行⑴若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。⑵若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcdekk由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MHacebbaddfcfehhOXmm

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。2.5.2.相交問題直線與平面相交平面與平面相交1)直線與平面相交要討論的問題：●

求直線與平面的交點(diǎn)。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可

見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。●●例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。作圖用線上取點(diǎn)法⑴

平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●1(2)km(n)b●mncbaac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①

求交點(diǎn)②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。k●2●1●作圖用面上取點(diǎn)法●2)兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：(1)求兩平面的交線方法：①

確定兩平面的兩個共有點(diǎn)。②

確定一個共有點(diǎn)及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。(2)判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴能否不用重影點(diǎn)判別？abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。a′a

bd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n

即為兩個共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc可見。作圖⑵2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n

即為兩個共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc可見。作圖cdefababcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于△

def

的外面，說明點(diǎn)N位于△

DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于△

DEF這個圖形內(nèi)。所以△

ABC和△

DEF的交線應(yīng)為MK。

n●n●m●k●m●k●互交cdefababcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于△

def

的外面，說明點(diǎn)N位于△

DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于△

DEF這個圖形內(nèi)。所以△

ABC和△

DEF的交線應(yīng)為MK。互交m●k●k●m●2.5.3.垂直問題直線與平面垂直平面與平面垂直1)直線與平面垂直若直線垂直于平面，則直線的正面投影一定垂直于平面上的正平線的正面投影，直線的水平投影一定垂直于平面上的水平線的水平投影。

例：過點(diǎn)M作直線MN垂直于△ABC所確定的平面

nde′de′′n●m●abcb′′a′c′m根據(jù)直線與平面垂直時(shí)的投影特性，所作直線的正面投影應(yīng)垂直于△ABC上的正平線的正面投影，水平投影應(yīng)垂直于△ABC上的水平線的水平投影。因此，作圖時(shí)應(yīng)首先在△ABC內(nèi)作一條正平線和一條水平線。

分析：例：過點(diǎn)A作平面垂直于直線MN

。bcc′b′mnan′m′a′分析：根據(jù)直線與平面垂直的幾何條件，所作平面內(nèi)應(yīng)包含兩條相交直線與MN垂直，假設(shè)它們是相交于點(diǎn)A的一條正平線和一條水平線，則該正平線的正面投影應(yīng)垂直于mn，水平線的水平投影應(yīng)垂直于mn。2)平面與平面垂直若一平面通過另一平面的垂線，則兩平面相互垂直。

繪制相互垂直平面的兩種方法：

⑴使一平面包含另一平面的一條垂線。⑵使一平面垂直于另一平面內(nèi)的一條直線。ABQPABQP例：過點(diǎn)M作一平面垂直于△ABC所確定的平面。

dend′e′n′kk′分析：假設(shè)所作平面由相交于點(diǎn)M的兩條直線構(gòu)成，根據(jù)兩平面垂直的幾何條件，使其中一條為△ABC的垂線即可。

abcm●●a′c′b′m′返回首頁？繼續(xù)下一節(jié)？abcabc①

直線為一般位置時(shí)②

直線為特殊位置時(shí)babkak●●本章小結(jié)★點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線與平面的投影特性。能夠根據(jù)給定條件繪畫三面投影。重點(diǎn)掌握：