第三章6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

第三章剛體力學(xué)導(dǎo)讀定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理和機(jī)械能守恒律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上附加力§3.6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體平動(dòng)方程1平動(dòng)平動(dòng)時(shí)剛體內(nèi)所有點(diǎn)都有相同的速度和加速度.通常用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來代表剛體整體的運(yùn)動(dòng).若有約束加輔助方程：相對(duì)質(zhì)心的力矩平衡方程2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體繞固定軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),剛體中任何一點(diǎn)Pi,都在垂直于z軸的平面內(nèi),即xy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立變量：1角量表示:角位移角加速度角速度virimiyxz設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的位矢是ri,它和z軸距離為Ri,如果在某一時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)Pi的線速度為vi,則

virimiyxz(3.6.1)定軸轉(zhuǎn)動(dòng),方向不變,則

是角加速度.在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,它的指向與角速度相同或相反,并且也是沿著同一條轉(zhuǎn)動(dòng)軸線.(3.6.3)直角坐標(biāo)系分解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理為有保守力作用的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能為動(dòng)能例題1復(fù)擺：m繞過o點(diǎn)的水平軸作微小振動(dòng)，試求：運(yùn)動(dòng)方程、振動(dòng)周期。解：確定正方向方程可化為令解出周期討論：等價(jià)單擺周期以O(shè)’懸點(diǎn)測(cè)g的原理3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可以看作等價(jià)于空間兩點(diǎn)A和B保持不動(dòng)時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng).

顯然是剛體受到了約束,可以用動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理來確定作用在A、B兩點(diǎn)上的約束反力.BAyxzONBxNByNAxNAyNAzFnF1F2F3動(dòng)量定理對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理因?yàn)樗宰詈笠皇绞莿傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,

其余五式,用來求約束反力如前五式是平衡方程,最后式子是平衡條件,對(duì)應(yīng)約束反力是靜力反作用力

靜力反作用力動(dòng)力反作用力通常有附加壓力，無附加壓力時(shí)：

這分別是以xC、yC及Iyz,Izx為未知量的二元一次方程,但它們的系數(shù)行列式在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)都不等于零,故xC、yC及Iyz,Izx必須同時(shí)為零,即剛體的重心在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上,而且轉(zhuǎn)動(dòng)軸是慣量主軸.這時(shí),我們就說這樣的剛體己達(dá)到了動(dòng)平衡,這時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸叫做自由轉(zhuǎn)動(dòng)軸.這時(shí)即使取消約束剛體還是會(huì)繞著它繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).例2

渦輪可以看作是一個(gè)均質(zhì)圓盤,由于安裝不善,渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法線成交角＝1o.渦輪圓盤質(zhì)量為20千克,半徑0.2米,重心O在轉(zhuǎn)軸上,O至兩軸承A與B的距離均為0.6米.設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)／分的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),試求軸承上的壓力解

選取坐標(biāo)軸如圖.圖中x,y,z是固定的坐標(biāo)軸,而x’,y’,z’為幾何對(duì)稱軸.設(shè)在圖示瞬間,y和y’正好重合.顯然又如以O(shè)為參考點(diǎn),則(1)首先要求出Izx,由坐標(biāo)變換得這樣,求解式(1),得在NAx與NBx式中第一項(xiàng)代表靜力反作用,第二項(xiàng)代表動(dòng)力反作用,亦即軸上的附加壓力.把題給的數(shù)據(jù)代入得附加壓力