第四章 基本立體及表面交線2

4.3立體與立體相交

兩基本立體相交，也稱相貫，在兩基本體表面上所產(chǎn)生的交線稱為相貫線，兩相交的基本立體稱為相貫體。

相貫線既是兩相貫體表面的共有線，又是它們的分界線。

全貫兩條相貫線

互貫空間折線圍合的一條相貫線共面相貫線不封閉4.3.1平面立體與平面立體相交一、相貫線的特點(diǎn)

相貫線的每一條線段是兩立體參與相交的表面之間的交線。相貫線上的各轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是一個(gè)立體參與相交的棱線與另一個(gè)立體參與相交的表面的交點(diǎn)。二、求相貫線的畫法

可以歸結(jié)為：求平面與平面立體的截交線和棱線與平面的貫穿點(diǎn)。

作圖方法：求平面與平面立體的截交線（棱線法、棱面法）若兩立體全貫，相貫線是由直線圍合的平面多邊形；若兩立體互貫，則相貫線是由直線圍合而成的空間多邊形。例1求兩正交三棱柱的相貫線。a′b′c′d′e′f′1′2′3′4′5′6′def3546acb12a″c″b″d″e(cuò)″f″3″4″5″6″1″2″投影分析：兩三棱住正交，直立三棱住的H面投影和水平三棱住的W面投影有積聚性，只需求出相貫線的V面投影。4.3.2平面立體與曲面立體相交一、相貫線的特點(diǎn)

如果平面體上只有一個(gè)平面與曲面體相交，則交線是一條平面曲線。如果平面體上由多個(gè)平面參與相交，則交線是由若干段平面曲線或直線所組成的空間封閉曲線。二、求相貫線的畫法

可歸結(jié)為：求平面與曲面立體的截交線和棱線與曲面的貫穿點(diǎn)。

作圖方法：求平面與曲面立體的截交線（表面取點(diǎn)法）。例2求四棱錐與圓柱的相貫線。12345678mn5′6′1′2′7′m′n′7″m″5″1″4″8″sts″●●●●4.3.3曲面立體與曲面立體相交

一、相貫線的特點(diǎn)

相貫線一般為光滑封閉的空間曲線。相貫線的形狀決定于曲面的形狀、大小及兩曲面之間的相對(duì)位置。

相貫線是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。

兩曲面立體表面相交有三種形式：立體的外表面相交；外表面與內(nèi)表面相交；內(nèi)表面與內(nèi)表面相交。實(shí)實(shí)相貫實(shí)虛相貫虛虛相貫相貫線的形式兩曲面立體相貫的形式二、求相貫線的畫法1、先找特殊點(diǎn)。作圖過程確定交線的彎曲趨勢(shì)確定交線的范圍3、判斷可見性。4、順序光滑連接各點(diǎn)。

求作兩曲面立體的相貫線，實(shí)質(zhì)上就是求兩立體表面的一系列共有點(diǎn)的投影問題。●●●作圖方法1、積聚投影法2、輔助平面法2、再找中間點(diǎn)。3、輔助球面法（了解）相貫線的求法一、積聚投影法求作相貫線

如果兩回轉(zhuǎn)體相交，其中有一個(gè)是軸線垂直于投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影積聚在圓柱面上。利用圓柱面積聚投影，將求相貫線的其余投影作圖轉(zhuǎn)化為在另一立體上取點(diǎn)、取線的問題，這一方法稱為積聚投影法。例1.已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。

分析：由投影圖可知，直徑不同的兩圓柱軸線垂直相交，由于大圓柱軸線垂直于W面，小圓柱軸線垂直于H面，所以，相貫線的側(cè)面投影和水平投影為圓，只有正面投影需要求作。相貫線為前后左右對(duì)稱的空間曲線。求正交兩圓柱的相貫線求正交兩圓柱的相貫線（1）求特殊點(diǎn)：作圖步驟：13421’3’1”3”2”4”2’4’

直接定出相貫線的最左點(diǎn)Ⅰ和最右點(diǎn)Ⅲ的三面投影。

再求出出相貫線的最前點(diǎn)Ⅱ和最后點(diǎn)Ⅳ的三面投影。ⅠⅢⅡⅣ求正交兩圓柱的相貫線12341’2’1”3”2”4”2’4’（2）求一般點(diǎn)：在已知相貫線的側(cè)面投影圖上任取一重影點(diǎn)5″、6″，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5′、6′。5”6”565’6’

(3)光滑連相貫線：相貫線的正面投影左右、前后對(duì)稱，后面的相貫線與前面的相貫線重影，只需按順序光滑連接前面可見部分的各點(diǎn)的投影，即完成作圖。（1）求一般點(diǎn)：

圓柱面相貫有外表面與外表面相貫、外表面與內(nèi)表面相貫和兩內(nèi)表面相貫。三種情況的相貫線的形狀和作圖方法相同。(a)兩外表相交

(b)外表面與內(nèi)表面相交

(c)兩內(nèi)表面相交

求正交兩圓柱的相貫線兩圓柱正交時(shí)，相貫線的簡(jiǎn)便畫法。交線向大圓柱一側(cè)彎軸線垂直相交兩圓柱的相貫線，可用圓弧代替：1、圓弧的半徑R是大圓柱的半徑；2、圓心在小圓柱的軸線上；3、圓弧向大圓柱的軸線一側(cè)彎曲。正交圓柱相貫線變化規(guī)律內(nèi)外分別求先求特殊點(diǎn)本例可以用圓弧近似代替相貫線返回例2兩圓柱筒相貫圓柱與半球的相貫線輔助平面P

基本原理：作一輔助平面P，使它與回轉(zhuǎn)體都相交，求出P平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線，作出兩回轉(zhuǎn)體表面截交線的交點(diǎn)，即為兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，亦即相貫線上的點(diǎn)。二、輔助平面法求相貫線

根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影，稱為輔助平面法。三面共點(diǎn)作圖方法：1、假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。2、求出截交線的交點(diǎn)，即三面的共有點(diǎn)，因而是相貫線上的點(diǎn)。3、作一系列輔助平面，便可求得相貫線上的一系列點(diǎn)。4、判別可見性后，依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影。輔助平面的選擇原則：

使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡(jiǎn)單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面作為輔助面。18yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'例：求圓柱與圓錐正交時(shí)相貫線的投影三、輔助球面法求相貫線作圖原理：

圓柱與圓錐的軸線相交，以交點(diǎn)O為圓心作一輔助球面，同時(shí)截切柱面與錐面，其截交線分別為兩平面圓，兩平面圓之交點(diǎn)，即是相貫線上的點(diǎn)。求相貫線的條件：兩回轉(zhuǎn)體的軸線應(yīng)同時(shí)平行于某一投影面，使球面與它們的交線（圓）在該投影面上的投影積聚成直線段。O·例

求圓柱與圓錐斜交的相貫線解題步驟1．圓柱與圓錐軸線斜交，相貫線的三個(gè)投影均未知，只有利用輔助球面法求共有點(diǎn)。1'2'1"3"2"1233'2．求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ，其中Ⅱ點(diǎn)也是最大輔助球面上的點(diǎn)3．求小輔助球面上的點(diǎn)Ⅲ作最大和最小輔助球面求共有點(diǎn)4．求一般點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ4"5"6．整理輪廓線。5．順次連接各點(diǎn)，并判別可見性544'5'1、軸線平行的柱體或共錐頂?shù)腻F體相貫時(shí)，其相貫線為兩條直線。

兩曲面立體相交，一般情況下相貫線為空間曲線，但特殊情況下可能是平面曲線或直線。

四、相貫線的特殊情況2、若兩回轉(zhuǎn)體相交，具有公共回轉(zhuǎn)軸線時(shí)，則其相貫線為圓。

當(dāng)公共軸線處于投影面垂直線時(shí)，相貫線有一個(gè)投影反映圓的實(shí)形，其余投影積聚為直線段。2、外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時(shí)，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓。

當(dāng)兩立體的相交兩軸線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，則此兩橢圓曲線在該投影面上的投影，為相交兩直線段。例：補(bǔ)全正面投影圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆

兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆

兩內(nèi)表面相貫

無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結(jié)：1、平面立體與平面立體相交

可以歸結(jié)為：求平面與平面立體的截交線和棱線與平面的貫穿點(diǎn)。2、平面立體與曲面立體相交

可以歸結(jié)為：求平面與曲面立體的截交線和棱線與曲面的貫穿點(diǎn)。小結(jié)一、本節(jié)的基本內(nèi)容3、曲面立體與曲面立體相交求相貫線的基本方法：積聚投影法輔助平面法二、解題過程⒈交線分析

⑴空間分析：

⑵投影分析：

是否有積聚性投影？找出相貫線的已知投影，預(yù)見未知投影，從而選擇解題方法。

分析相交兩立體的表面形狀，形體大小及相對(duì)位置，預(yù)見交線的形狀。⒉作圖

當(dāng)相貫線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：⑴找點(diǎn)：先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充若干中間點(diǎn)⑵判斷可見性、連線：可見與不可見的分界點(diǎn)⑶檢查、加深：尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。三、兩曲面體相貫⒈