第7章立體幾何 第6節(jié)空間直角坐標系、空間向量及其運算(理)

第七章立體幾何第六節(jié)空間直角坐標系、空間向量及其運算(理)

主干回顧·夯實基礎一、空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有_____和_____的量叫做空間向量，其大小叫做向量的_____或___單位向量長度或模為___的向量零向量______的向量大小方向長度模1模為0名稱定義相等向量方向_____且模相等的向量相反向量方向______且模相等的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線_________或_____，則這些向量叫做共線向量或平行向量，a平行于b記作a∥b共面向量平行于__________的向量，叫做共面向量相同相反互相平行重合同一平面二、共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理1．共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得_________.a＝λb1

3．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數(shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．三、空間向量的數(shù)量積1．定義已知空間兩個非零向量a，b，則______________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作____，即_______________________．其中〈a，b〉為向量a，b的夾角．2．運算律(1)交換律：____________；(2)分配律：____________________；(3)結合律：______________________________．a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·cλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R)|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉四、空間向量的坐標運算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b為非零向量)向量和a＋b＝_________________________向量差a－b＝_________________________數(shù)量積a·b＝______________________共線a∥b?_______________________________(λ∈R)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間向量是由平面向量拓展而來的，因此空間向量的概念和性質與平面向量的概念和性質相同或相似．(

)(2)空間中任意兩非零向量a，b共面．(

)(3)在立體幾何中求線段的長度時，可轉化為a·a＝|a|2，或利用空間兩點間的距離公式求解．(

)(4)向量a，a＋b，a－b可構成空間的一個基底．(

)(5)空間的基底是任意的，但只要基底確定，空間任一向量則都可由基底唯一確定．(

)[答案及提示](1)√

(2)√

(3)√(4)×向量a，a＋b，a－b共面，故不能作為基底．(5)√考點技法·全面突破空間向量的線性運算(☆☆☆)1．空間向量的線性運算類似于平面向量的線性運算．2．用已知向量表示未知向量時，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘的幾何意義，同時一定要結合圖形，靈活運用三角形法則或平行四邊形法則進行求解．[典例1]

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，共線向量、共面向量定理的應用(☆☆☆)[典例2]

如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的各個側面均為平行四邊形，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.空間向量的數(shù)量積及其應用(☆☆☆☆)學科素能·增分寶典易錯易誤系列之(十八)對向量夾角的定義認識不清致誤

[溫馨提示]

用定義計算兩向量的數(shù)量積時，要正確確定兩向量夾角的大小，特別是在與二面角結合的問題中，一定要分清向量的夾角與二面角大小的關系．[針對訓練]