第七章 梁的彎曲強度

1第七章梁的彎曲強度基本概念

梁

當(dāng)構(gòu)件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲，將主要承受彎曲的構(gòu)件統(tǒng)稱為“梁”。

根據(jù)梁的支座性質(zhì)與位置不同，梁可分為簡支梁(a)、外伸梁(b)、懸臂梁(c)。

根據(jù)其約束力是否可由平衡條件求得，梁可分為靜定梁和超靜定梁

2C（a）（b）（c）3純彎曲：梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲§7-1純彎曲時梁的正應(yīng)力桿件的橫截面上只有彎矩，無其它內(nèi)力，稱純彎曲。41.梁的純彎曲實驗橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM5凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長中間一層纖維長度不變－－中性層中性層與橫截面的交線－－中性軸1、變形幾何關(guān)系中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸67橫截面上只有正應(yīng)力。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。

推論：兩個概念：中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。82、物理關(guān)系胡克定理93、靜力學(xué)條件10正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑11正應(yīng)力分布12常見截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面13彎曲正應(yīng)力公式適用范圍:彎曲正應(yīng)力分布細長梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積

IYZ=0彈性變形階段目錄14彎曲正應(yīng)力強度條件1.彎矩最大的截面上；2.離中性軸最遠處；4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮

與目錄危險截面發(fā)生的位置：15校核強度：設(shè)計截面尺寸：設(shè)計載荷：強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行三種計算16例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：1、求1—1截面上1、2兩點的正應(yīng)力；2、求此截面上的最大正應(yīng)力；3、全梁的最大正應(yīng)力；4、已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m1112120180zy3017Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解：畫M圖求截面彎矩12120180zy3018Q=60kN/mAB1m2m11求應(yīng)力12120zy18030xM+M1Mmax19求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m111212018030xM+M1Mmax20解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試校核梁的強度。q=3.6kN/mxMABL=3mQ–+x21求最大應(yīng)力并校核強度q=3.6kN/mxM22例3

T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm,

y2=88mm,Iz=763cm4,試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2G23y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM24校核強度T字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A425解：1.內(nèi)力：繪內(nèi)力圖，Mmax=ql2/8=5kN/m2.強度校核：例3：矩形截面，q=10kN/m，l=2m，h=0.2m，b=0.1m，[σ]=8MPa。試校核該梁的強度。強度校核通過。26分析（1）確定危險截面（3）計算（4）計算，選擇工字鋼型號（2）某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用起重量跨度試選擇工字鋼的型號。應(yīng)力27（4）選擇工字鋼型號（5）討論（3）根據(jù)計算（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼28例：工字鋼截面，No.20a，Wz=2.37×10-4m3，a=2m，b=3m，[σ]=120MPa。試估算合理的[F]。解：1.內(nèi)力：繪彎矩圖，危險截面C，Mmax=Fab/l2.估算載荷：F不得超過23.7kN。29例：箱形截面，l=4m，h=0.3m，b=0.2m，t=0.02m，[σ]=120MPa。試估算合理的[F]

。解：1.內(nèi)力：繪彎矩圖，危險截面A，Mmax=Fl2.估算載荷：F不得超過43.13kN。30橫力彎曲§7-2正應(yīng)力公式的推廣強度條件6-231橫力彎曲正應(yīng)力公式當(dāng)跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力32§7-3梁橫截面上的剪應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點假設(shè)：

剪應(yīng)力與剪力平行；

矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

在梁上取微段如圖b；

在微段上取一塊如圖c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c33dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等34Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；352、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力

Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf36

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：exyzPQeQeh37最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。剪應(yīng)力強度條件：需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：梁的跨度較短，M

較小，而Q較大時，要校核剪應(yīng)力。鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。383940417-4提高彎曲強度的一些措施彎曲正應(yīng)力是控制彎曲強度的主要因素，所以彎曲正應(yīng)力的強度條件往往是設(shè)計梁的主要依據(jù)，由此可知：要提高梁的承載能力應(yīng)從兩方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)值，充分利用材料的性能。42一、合理安排梁的受力情況，以減小。合理安排梁的受力情況，盡量降低梁內(nèi)最大工作彎矩的數(shù)值，相對