《走向清華北大》高考總復習 函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值課件

第六講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值回歸課本1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2.當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,當f′(x)>0時,f(x)為增函數(shù);當f′(x)<0時,f(x)為減函數(shù).2.函數(shù)的最值前提一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x∈I,都有f(x)≤M;①對于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.結論M為最大值M為最小值結論 M為最大值 M為最小值定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有最大(小)值.設f(x)是定義在[m,n]上的單調(diào)增函數(shù),則它的最大值是f(n),最小值是f(m).考點陪練1.(2010·福建)下列函數(shù)f(x)中,滿足“對任意x1,x2∈(0,+∞),當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”的是()A. B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案:A答案:B答案:D答案:C5.設x1,x2為y=f(x)的定義義域內(nèi)內(nèi)的任任意兩兩個變變量,有以下下幾個個命題題:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;其中能能推出出函數(shù)數(shù)y=f(x)為增函函數(shù)的的命題題為________.答案:①③③類型一一函函數(shù)單單調(diào)性性的判判定與與證明明解題準準備:判斷函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性的的常見見方法法有三三種:定義法法?直接法法?圖象法法.1.用定義義法證證明函函數(shù)單單調(diào)性性的步步驟:(1)取值:設x1,x2為該區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)任意意的兩兩個值值,且x1<x2,則Δx=x2-x1>0;(2)作差變變形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通過過因式式分解解?配方?有理化化等方方法,向有利利于判判斷差差值符符號的的方向向變形形;(3)定號:確定差差值Δy的符號號,當符號號不確確定時時,可考慮慮分類類討論論;(4)判斷:根據(jù)定定義作作出結結論.2.直接法法:運用已已知的的結論論,直接得得到函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性.如一次次函數(shù)數(shù)?二次函函數(shù)?反比例例函數(shù)數(shù)的單單調(diào)性性均可可直接接說出出.了解以以下結結論,對直接接判斷斷函數(shù)數(shù)的單單調(diào)性性有好好處:(1)函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)數(shù)y=f(x)的單調(diào)調(diào)性相相反;(2)當f(x)恒為正正或恒恒為負負時,函數(shù)與與y=f(x)的單調(diào)調(diào)性相相反;(3)在公共共區(qū)間間內(nèi),增函數(shù)數(shù)+增函數(shù)數(shù)=增函數(shù)數(shù),增函數(shù)數(shù)-減函數(shù)數(shù)=增函數(shù)數(shù)等;(4)復合函函數(shù)單單調(diào)性性判斷斷,要注意意掌握握“同增?異減”的原則則.3.圖象法法:是根據(jù)據(jù)函數(shù)數(shù)的圖圖象直直觀判判斷函函數(shù)在在某個個區(qū)間間上的的單調(diào)調(diào)性的的方法法.[反思感感悟]利用函函數(shù)單單調(diào)性性的定定義證證明f(x)的單調(diào)調(diào)性時時,比較f(x1)與f(x2)的大小小常用用作差差法,有時可可運用用作商商法?放縮法法等;討論函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性值值域問問題不不可忽忽視函函數(shù)的的定義義域.類型二二函函數(shù)的的奇偶偶性與與單調(diào)調(diào)性解題準準備:因為奇奇函數(shù)數(shù)的圖圖象關關于原原點對對稱,所以結結合圖圖象可可得奇奇函數(shù)數(shù)在(a,b)與(-b,-a)上的單單調(diào)性性相同同.因為偶偶函數(shù)數(shù)的圖圖象關關于y軸對稱稱,所以偶偶函數(shù)數(shù)在(a,b)與(-b,-a)上的單單調(diào)性性相反反.[分析]利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0,而x1,x2∈[0,1]時,x1x2-1<0,∴當x1,x2∈[0,1]時,f(x1)-f(x2)<0,函數(shù)y=f(x)是增函函數(shù);當x1,x2∈[1,+∞)時,f(x1)-f(x2)>0,函數(shù)y=f(x)是減函函數(shù).又f(x)是奇函函數(shù),∴f(x)在[-1,0]上是增增函數(shù)數(shù),在(-∞∞,-1]上是減減函數(shù)數(shù).又x∈[0,1],u∈[-1,0]時,恒有f(x)≥≥f(u),等號只只在x=u=0時取到到,故f(x)在[-1,1]上是增增函數(shù)數(shù).(3)由(2)知函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增,在[1,+∞∞)上遞減,則f(x)在x=1處可取得最最大值.∴f(1)=，∴函數(shù)的最最大值為,無最小值.類型三求求函數(shù)的最最值解題準備:(1)若函數(shù)是二二次函數(shù)或或可化為二二次函數(shù)型型的函數(shù),常用配方法法.(2)利用函數(shù)的的單調(diào)性求求最值:先判斷函數(shù)數(shù)在給定區(qū)區(qū)間上的單單調(diào)性,然后利用單單調(diào)性求最最值.(3)基本不等式式法:當函數(shù)是分分式形式且且分子分母母不同次時時常用此法法.(4)導數(shù)法:當函數(shù)較復復雜(如指?對數(shù)函數(shù)與與多項式結結合)時,一般采用此此法.(5)數(shù)形結合法法:畫出函數(shù)圖圖象,找出坐標的的范圍或分分析條件的的幾何意義義,在圖上找其其變化范圍圍.[分析]在解決該類類型函數(shù)的的最值時,首先考慮到到應用均值值不等式求求解,但須逐一驗驗證應用均均值不等式式所具備的的條件.若條件不具具備,應從函數(shù)單單調(diào)性的角角度考慮.類型四抽抽象函數(shù)的的單調(diào)性與與最值解題準備:抽象函數(shù)是是近幾年高高考的熱點點,研究這類函函數(shù)性質(zhì)的的根本方法法是“賦值”,解題中要靈靈活應用題題目條件賦賦值轉(zhuǎn)化或或配湊.【典例4】函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時,f(x)>1.(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù)數(shù);(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.[分析](1)是抽象函數(shù)數(shù)單調(diào)性的的證明,所以要用單單調(diào)性的定定義.(2)將函數(shù)不等等式中抽象象的函數(shù)符符號“f”運用單調(diào)性性“去掉”,為此需將右右邊常數(shù)3看成某個變變量的函數(shù)數(shù)值.[解](1)設x1,x2∈R,且x1<x2.∴x2-x1>0,則f(x2-x1)>1.∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1又f(x2-x1)-1>0,因此f(x2)>f(x1),故f(x)在R上是增函數(shù)數(shù).(2)令a=b=2,則f(4)=2f(2)-1.又f(4)=5,∴f(2)=3.原不等式即即為f(3m2-m-2)<f(2).由(1)知f(x)在R上是增函數(shù)數(shù),∴3m2-m-2<2.[反思感悟](1)若函數(shù)f(x)是增函數(shù),則f(x1)<f(x2)?x1<x2,函數(shù)不等式式(或方程)的求解,總是想方設設法去掉抽抽象函數(shù)的的符號,化為一般不不等式(或方程)求解,但無論如何何都必須在在定義域內(nèi)內(nèi)或給定的的范圍內(nèi)進進行.(2)在解答過程程中易出現(xiàn)現(xiàn)不能正確確構造f(x2-x1)的形式或不不能將不等等式右邊3轉(zhuǎn)化為f(2)從而不能應應用函數(shù)的的單調(diào)性求求解,導致此種錯錯誤的原因因是沒有熟熟練掌握單單調(diào)性的含含義及沒弄弄清如何利利用題目中中的已知條條件或者不不能正確地地將抽象不不等式進行行轉(zhuǎn)化.錯源一不不注意分段段函數(shù)的特特點[剖析]本題的錯誤誤在于沒有有注意分段段函數(shù)的特特點,只保證了函函數(shù)在每一一段上是單單調(diào)遞減的的,沒有使函數(shù)數(shù)f(x)在(-∞,1]上的最小值值大于(1,+∞∞)上的最大值值,從而得出錯錯誤結果.[答案]C錯源二判判斷復合合函數(shù)的單單調(diào)性時,未弄清內(nèi)?外函數(shù)的單單調(diào)性而致致錯技法一復復合法[方法與技巧巧]復合函數(shù)求求單調(diào)區(qū)間間是一個難難點,我們應明確確單調(diào)區(qū)間間必須是定定義域的子子集,當求單調(diào)區(qū)區(qū)間時,必須先求出出原復合函函數(shù)的定義義域,再根據(jù)基本本函數(shù)的單單調(diào)性與““同為增,異為減”的的原則判斷斷復合函數(shù)數(shù)的單調(diào)區(qū)區(qū)間.技法二定定義法[方法與技巧巧]利用函數(shù)單單調(diào)性的定定義求單調(diào)調(diào)區(qū)間的關關鍵有兩點點:一是對f(x1)-f(x2)要正確變形形,主要途徑有有:因式分解?配方?通分?有理化等