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文檔簡介
第6講不等式的證明常用的證明不等式的方法
(1)比較法:比較法證明不等式的一般步驟:作差—變形—判斷—結(jié)論.為了判斷作差后的符號,有時要把這個差變形為一個常數(shù),或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式,也可變形為幾個因式的積的形式,以便判斷其正負. (2)綜合法:利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì),推導出所要證明的不等式,這個證明方法叫綜合法.利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件.
綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是:A?B1?B2?…?Bn?B,及從已知條件A出發(fā),逐步推演不等式成立的必要條件,推導出所要證明的結(jié)論B.
(3)分析法:從求證的不等式出發(fā),分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題,即“執(zhí)果索因”.綜合過程有時正好是分析過程的逆推,所以常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程.
(4)反證法:可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設(shè)A≤B,由題設(shè)及其它性質(zhì),推出矛盾,從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時,可以考慮用反證法.(5)放縮法:要證明不等式A<B成立,借助一個或多個中間變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法. 放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有:①不等式的傳遞性;②等量加不等量為不等量;③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較.常用的放縮技巧有:①舍掉(或加進)一些項;②在分式中放大或縮小分子或分母;③應(yīng)用均值不等式進行放縮.值為()BA.1B.2D.3C.2
AA.A≤G≤HC.H≤G≤AB.A≤H≤G
D.G≤H≤A3.設(shè)a>0,且a≠1,若P=loga
(a3-1),Q=loga
(a2-1),則P與Q的大小關(guān)系為()AA.P>QB.P=QC.P<QD.不確定P>QA<B考點1比較法
.
解題思路:左減去右=ab(a-b)+bc(b-c)+a(c-a). 當a>b>c時,前兩項為正,最后一項為負,如何使得三項之和為正,成為問題的關(guān)鍵,需采用“拆”的技巧,把第三項并入前兩項中去,于是想到ca(c-a)=ca[(c-b)+(b-a)]=ca(c-b)+ca(b-a),問題便迎刃而解.
證明:左一右=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =ab(a-b)+bc(b-c)+ca[(c-b)+(b-a)] =a(a-b)(b-c)+c(b-c)(b-a) =(a-b)(b-c)(a-c).例1:已知:a>b>c,求證:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.∵a>b>c,∴(a-b)(b-c)(c-a)>0.因此:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.比較法證不等式步驟可歸納為:第一步:作差并化簡,其化簡目標應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式.第二步:判斷差值與零的大小關(guān)系,必要時須進行討論.第三步:得出結(jié)論.【互動探究】證明:∵a+b=1,∴ax2+by2-(ax+by)2
=ax2+by2-a2x2-2abxy-b2y2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+bay2-2abxy=ab(x-y)2.又a、b∈R+,∴ab(x-y)2
≥0.∴ax2+by2≥(ax+by)2.考點2綜合法【互動動探究究】1++b1++a考點點3反證證法法例3:已知知a>0,,b>0,,且且a+b>2.求求證證::1++ba,1++ab中至至少少解題題思思路路::由于于題題目目結(jié)論論是是::至至少少有有一一個個小小于于2,,情情況況較較復(fù)復(fù)雜,,討討論論起起來來比比較較繁繁,,宜宜采采用用反反證證法法..證明明::假設(shè)設(shè)1++ba,1++ab都不不小小于于2,,則則1+ba≥2,1+ab≥2.∵a>0,b>0,∴∴1+b≥2a,1+a≥2b,兩式相加加可得1+b+1+a≥2(a+b),即a+b≤2,這這與已知知a+b>2矛矛盾.故故假設(shè)不不成立..因此:,ab,中至少少有一個個小于2.有一個小小于2.從正難則則反的角角度考慮慮,即要要證明不不等式A>B,先假設(shè)A≤B,由題設(shè)設(shè)及其它它性質(zhì),,推出矛矛盾,從從而肯定定A>B,凡涉及到到的證明明不等式式為否定定命題、、惟一性性命題或或含有““至多””、“至少””、“不不存在””、“不不可能””等詞語語時,可可以考慮慮用反證證法.【互動探探究】3.若0<x、y、z<2,求求證:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于于1.錯源:利利用放縮縮法證明明不等式式時應(yīng)把把握好度度要證A>B,可適當當選擇一一個C,使得C≥B,反之亦然然.主要要應(yīng)用于于不等式式兩邊差差異較大大時的證證明.一一般的放縮技巧巧有:①分式放放縮:固固定分子子,放縮縮分母;;固定分分母,放放縮分子子.多見于分分式類不不等式的的證明;;②添舍放放縮:視視情況丟丟掉或增增多一些些項進行行放縮,,多見于于整式或根根式配方方后需要要放縮的的不等式式的證明明.【互動探探究】用分析法法論證““若A則B”這個命命題的模模式是::欲證命題題B為真,只只需證明明命題B1為真,從從而又只只需證明明命題B2為真,從從而又………只需需證明命命題A為真,今今已知A真,故B必真.簡簡寫為::B?B1?B2…?Bn?A.論中正確確的是()DA.(a-1)(c-1)>0C.a(chǎn)c=1B.a(chǎn)c>1D.a(chǎn)c<1解析:若1<a<b<c,f(x)=|lgx|=lgx單調(diào)遞增增,f(a)<f(b)<f(c),不成立,,若0<a<b<c<1,f(x)=|lgx|=-lgx單調(diào)遞減減,f(a)>f(b)>f(c),不成成立,故故0<a<1且且c>1,由f(a)>f(c)得:--lga>lgc,即lgac<0,∴∴0<ac<1.【互動探探究】5.設(shè)f(x)=|lgx|,若0<a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),則下下列結(jié)2.數(shù)學學歸納法法:當不不等式是是一個與與自然數(shù)數(shù)n
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