第一章 多項(xiàng)式

一、基本概念和重要結(jié)果第一章

多項(xiàng)式若數(shù)域P上的多項(xiàng)式f(x)與g(x)的最大公因式是1，則稱(chēng)f與g互素，并記為(f,g)=1。我們用g|f表示多項(xiàng)式g能除盡多項(xiàng)式f，同樣的，用a|b表示數(shù)a能除盡b，而用a|b表示數(shù)a除不盡b。用f

′(x)表示多項(xiàng)式f(x)的一階導(dǎo)數(shù)，一般用f(k)(x)表示f(x)的k階導(dǎo)數(shù)。1.互素（互質(zhì)）多項(xiàng)式(1)域F上的多項(xiàng)式f(x)與g(x)互素當(dāng)且僅當(dāng)存在多項(xiàng)式u(x)和v(x)，使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.以下設(shè)f，g，h，f1，f2是多項(xiàng)式。(2)若(f,g)=1且f|gh，則f|h.(3)若(f1,f2)=1且f1|g，f2|g,則f1f2|g.(4)若(f,g)=1,(f,h)=1，則(f,gh)=1.(5)若(f,g)=1，則(fg,f+g)=1.(6)若f無(wú)重因式，則(f,f′)=1.2.不可約多項(xiàng)式

數(shù)域P上次數(shù)≥1的多項(xiàng)式p(x)稱(chēng)為域P上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表成數(shù)域P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)低的多項(xiàng)式的乘積。(1)設(shè)p(x)是不可約多項(xiàng)式且p(x)|f(x)g(x)，則必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x).設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.如果有一個(gè)素?cái)?shù)p,使得

p

|

an;

p

|

an-1,an-2,…,a0;

p2

|

a0;那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式.(2)（Eisenstein判別法）

(3)不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式，則它是f′(x)的k-1重因式，從而它是f(x)，f′(x)，…，f(k-1)(x)的因式，但它不是f(k)(x)的因式3.多項(xiàng)式的根(1)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上有n個(gè)根。(2)a是多項(xiàng)式f(x)的根當(dāng)且僅當(dāng)f(a)=0.(3)設(shè)f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an，是f(x)的根,則其中（i1,i2,…,ik）是1,2,…,n取k個(gè)數(shù)的任一組合。(4)設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式，r/s是f(x)的有理根且r與s互素，則必有s|an，r|a0。特別地，若an=1,則f(x)的有理根都是整數(shù)，且一定是a0的約數(shù)（因子）。(5)f(x)的各項(xiàng)系數(shù)同號(hào)，則f(x)無(wú)正根。(6)若多項(xiàng)式f(x)的奇次項(xiàng)和偶次項(xiàng)符號(hào)相反，則f(x)無(wú)負(fù)根。(7)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的正根個(gè)數(shù)等于它的系數(shù)的變號(hào)數(shù)，或較系數(shù)的變號(hào)數(shù)多一個(gè)偶數(shù)。(8)奇次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式至少有一個(gè)實(shí)根。(9)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式實(shí)根個(gè)數(shù)與其次數(shù)有相同的奇偶性。4.對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式(1)下列多項(xiàng)式為基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式：……(2)任一對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式f(x1,x2,…,xn)都能表示為基本對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，即：(4)牛頓多項(xiàng)式設(shè)則當(dāng)k≤n時(shí)則當(dāng)k>n時(shí)二、基本方法

1.關(guān)于最大公因式的證明，一般有以下幾種方法：

(1)利用定義；

(2)證明等式兩邊能互相整除；

(3)如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且g(x)≠0，那么(f(x),g(x))=(g(x),r(x))

(4)如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有u(x)，v(x)∈P[x]使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，則d(x)是f(x)，g(x)的一個(gè)最大公因式。

2.將對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式表為初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的方法：方法一:逐步消去首項(xiàng)法第一步:首先找出對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式f的首項(xiàng)

則一定有:k1≥k2≥…≥kn;第二步:由f的首項(xiàng)寫(xiě)出:第三步:作,并展開(kāi)化簡(jiǎn).再對(duì)f1按第一、二、三步進(jìn)行,構(gòu)造.如此反復(fù)進(jìn)行,直至出現(xiàn),則.方法二:待定系數(shù)法設(shè)f是m次齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式,用待定系數(shù)法求解的一般步驟為:第一步:根據(jù)f的首項(xiàng)指標(biāo)組寫(xiě)出所有可能的指標(biāo)組(k1,k2,…,kn),這些指標(biāo)組應(yīng)滿(mǎn)足①k1≥k2≥…≥kn;②k1+k2+…+kn=m;③前面的指標(biāo)組先于后面的指標(biāo)組.第二步:由指標(biāo)組(k1,k2,…,kn)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的方冪的乘積:第三步:設(shè)出f由所有初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的方冪乘積的線性表達(dá)式,其首項(xiàng)系數(shù)即為f的首項(xiàng)系數(shù),其余各項(xiàng)系數(shù)分別用a,b,c,…代替.第四步:分別選取適當(dāng)?shù)膞i(i=1,2,…,n)的值,計(jì)算及f,代入第三步中設(shè)出的表達(dá)式得到關(guān)于a,b,c,…的線性方程組,解這個(gè)線性方程組求得a,b,c,…的值,最后寫(xiě)出所求的f的表達(dá)式.三、例題選講

1.(大連理工大學(xué),2004年)設(shè)f(x),g(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式,且f(x),g(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)無(wú)公共根,則f(x),g(x)在有理數(shù)域上的最大公因式是

.解答:答案是1.因?yàn)閒(x),g(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)無(wú)公共根,那么他們?cè)趶?fù)數(shù)域上的最大公因式為1,又由有理數(shù)域?qū)儆趶?fù)數(shù)域,那么由多項(xiàng)式的性質(zhì)可知它們?cè)趶?fù)數(shù)域上的最大公因式與在有理數(shù)域上的最大公因式相同,都為1.

2.(南京大學(xué),2005年)設(shè)f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,則f(12)=

.解答:答案是2005.利用余數(shù)定理將f(x)用多項(xiàng)式的除法除以x-12.(一)填空題：

3.(天津大學(xué),2002年)設(shè)f(x)=x3-7x2+7x+15,g(x)=x2-x-20.則(f(x),g(x))=

.解答:答案是x-5.

4.(北京交通大學(xué),2005年)設(shè)p是素?cái)?shù),則多項(xiàng)式xp+px+p和x2+p的最大公因式為

.解答:答案是1.

5.(廈門(mén)大學(xué),2007年)設(shè)f(x),g(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式,且f(x),g(x)在復(fù)數(shù)域上有f(x)整除g(x),則在有理數(shù)域上

(選填“一定”或“未必”)有f(x)整除g(x).解答:答案是一定.(整除的定義與數(shù)域擴(kuò)大(或縮小)無(wú)關(guān))分析：可利用輾轉(zhuǎn)相除法或綜合除法得出答案。

6.(天津大學(xué),2002年)多項(xiàng)式x3+3px+q有重根的條件是

.解答:答案是

或

.解答:答案是1.

8.(北京交通大學(xué),2004年)已知方程2x4-x3+2x-3=0只有一個(gè)有理根,它就是x=

.解答:答案是1.

7.(大連理工大學(xué),2005年)設(shè)f(x)是有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式,為f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的一個(gè)根,則的重?cái)?shù)為

.

9.(北京交通大學(xué),2004年)如果f(x)=x3-3x+k有重根,則k=

.解答:答案是2或-2（不能寫(xiě)成±2）.解答:答案是rx3+qx2+px+1=0.

10.(北京交通大學(xué),2005年)設(shè)3次方程x3+px2+qx+r=0,r≠0,則以該方程的根的倒數(shù)為根的3次方程為

.(二)、綜合題考點(diǎn)1：數(shù)域、整除、最大公因式與互素多項(xiàng)式：主要考查數(shù)域的定義、多項(xiàng)式之間整除與輾轉(zhuǎn)相除法、最大公因式的定義和性質(zhì)，以及互素多項(xiàng)式的性質(zhì)。例1.1.1（上海交大，2002年）設(shè)f1(x)=af(x)+bg(x)，g1(x)=cf(x)+dg(x)，且證明:(f(x),g(x))=(f1(x),g1(x))證:令d(x)=(f(x),g(x))，d1(x)=(f1(x),g1(x))，顯然有d(x)|f(x)，d(x)|g(x).由f1(x)，g1(x)可以由f(x)，g(x)線性表出，可知d(x)|f1(x)，d(x)|g1(x)，那么有d(x)|d1(x).由于，則矩陣可逆，那么可以求出它的逆陣，使得f(x),g(x)可以被f1(x),g1(x)線性表出，與上面同樣的過(guò)程可以證得d1(x)|d(x)，又由d(x),d1(x)的首項(xiàng)系數(shù)都為1，可知d(x)=d1(x)□例1.1.2（哈工大，2005年）設(shè)f

(x)，g(x)都是實(shí)數(shù)域R上的多項(xiàng)式，a∈R.(1)證明:g(x)-g(a)|f(g(x))-f(g(a))(2)問(wèn)x3-a|f(x3)-f(a)是否成立，為什么？

(1)證:令y=g(x),考慮多項(xiàng)式：h(y)=f(y)-f(g(a))由h(g(a))=f(g(a))-f(g(a))=0可知(y-g(a))|h(y)即g(x)-g(a)|f(g(x))-f(g(a))

(2)解:令，注意用到上一問(wèn)的結(jié)論，將上一問(wèn)中的a換成這里的b，將上一問(wèn)的g(x)換成這里的x3，可得x3-a|f(x3)-f(a)□例1.1.3（哈工大，2006年）已知f

(x)，g(x)是數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，且存在u1(x),v1(x)∈P[x]，使得u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，問(wèn)是否存在，u(x),v(x)∈P[x]，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，，如果存在，這樣的u(x),v(x)是唯一的嗎？說(shuō)明理由。

解：由u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，若有u1(x)的次數(shù)大于g(x)的次數(shù)，由帶余除法有：u1(x)=g(x)q(x)+u(x),帶入上一式得：f(x)(g(x)q(x)+u(x))+g(x)v1(x)=1,即易得：f(x)(u1(x)-u2(x))=g(x)(v2(x)-v1(x))f(x)u(x)+g(x)(f(x)q(x)+v1(x))=1,令v(x)=f(x)q(x)+v1(x),則有：否則由比較次數(shù)可知上式將不可能成立。關(guān)于唯一性的證明，可以假設(shè)u2(x),v2(x)也滿(mǎn)足條件，那么有：u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=u2(x)f(x)+v2(x)g(x)=1由f(x)與g(x)互素，可知g(x)|(u1(x)-u2(x)又由可得u1(x)-u2(x)=0,即u1(x)=u2(x),這時(shí)有v1(x)=v2(x).□例1.1.4（華南理工大，2006年）設(shè)f

(x)，g(x)是實(shí)數(shù)域P上的多項(xiàng)式，證明：f(x)|g(x)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意大于1的自然數(shù)n，f

n(x)|gn(x).證明:必要性顯然成立，下證充分性。設(shè)g(x)在數(shù)域P上的不可約分解為：其中pi(x)為互不相同的不可約多項(xiàng)式，則：若有f

n(x)|gn(x)，則：其中d是某個(gè)常數(shù)，因此有：f(x)|g(x).□例1.1.4（天津大學(xué)，2002年）如果d(x)|f

(x)，d(x)|g(x),且d(x)為f(x)，g(x)的一個(gè)組合，證明：d(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。證明：顯然d(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)公因式，現(xiàn)在要證明它是最大公因式。任取h(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，由于d(x)可以表示為f(x)與g(x)的一個(gè)組合，那么有h(x)|d(x)，即d(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。（重大，2004，南京理工大，2004都考過(guò)）例1.1.6（北京科技大學(xué)，2004年）求一個(gè)三次多項(xiàng)式f

(x)，使得f(x)+1能被(x-1)2整除，而f(x)-1能被(x+1)2整除。解：由題知f

/(x)能被x-1和x+1整除，又由f(x)是一個(gè)三次多項(xiàng)式，那么f

′(x)是一個(gè)二次多項(xiàng)式，于是可設(shè)f

′(x)=a(x+1)(x-1)=ax2-a，積分易得f(x)=(a/3)x3-ax+b（其中a,b為常數(shù)）由題可知：f(1)=-1，f(-1)=1，將這兩個(gè)條件代入方程中易解得,那么有：f(x)=(1/2)x3-(3/2)x□(中山大學(xué)，2007：試求一個(gè)9次多項(xiàng)式f(x)，使得f(x)+1能被(x-1)5整除，而f(x)-1能被(x+1)5整除。答案：中科院，2005：試求一個(gè)7次多項(xiàng)式f(x)，使得f(x)+1能被(x-1)4整除，而f(x)-1能被(x+1)4整除。答案：)考點(diǎn)2：因式分解與不可約多項(xiàng)式(1)證明：存在實(shí)數(shù)c(0<c<1)，使得f′(c)=0，這里f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。(2)在Q[x]中將f(x)分解為不可約因式之積例1.2.1（上交大，2005年）假設(shè)

(1)證:由而顯然f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在區(qū)間(0,1)上可導(dǎo)，根據(jù)Rolle定理，存在實(shí)數(shù)c(0<c<1)，使得f′(c)=0.

(2)解：對(duì)f(x)用初等列變換把第一行的第2、第3元素變?yōu)?之后并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算易得f(x)的表達(dá)式為：f(x)=-3x2(x-1)(2x3+2x2+x-2)假如要把f(x)分解為有理數(shù)域上不可約因子的乘積，在這里只要說(shuō)明它的最后一個(gè)因子g(x)=2x3+2x2+x-2在有理數(shù)域上不可約就行了，如果g(x)在有理數(shù)域上可約，那么由于它是一個(gè)3次的多項(xiàng)式，必然有一次的因子，即存在有理數(shù)的根，而假如x=q/p（其中p,q是互素的整數(shù)）是g(x)的根，那么必有p|2，q|(-2)，即p=±1,±2,q=±1,±2.把x=±(1/2),±1,±2依次代入g(x)中驗(yàn)證均不為0，于是有g(shù)(x)為有理數(shù)域上的不可約因式。□注：注意到以下定理的應(yīng)用：設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)次數(shù)n大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果q/p是f(x)的一個(gè)有理根，其中p,q是互素的整數(shù)，那么p|an,q|a0.另外，需要注意到的一點(diǎn)是：對(duì)于次數(shù)大于3的有理系數(shù)多項(xiàng)式，它可以在有理數(shù)域上分解并不代表它一定有有理根。例如：一個(gè)次數(shù)為4的有理系數(shù)多項(xiàng)式，它可能分解為兩個(gè)次數(shù)為2的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，而并不需要有有理根。例1.2.2（東南大學(xué)，2004年）設(shè)a1,a2,…,an為互不相同的整數(shù)，g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，(1)求證：g(x)在有理數(shù)域Q上不可約。(2)對(duì)于整數(shù)t≠-1，問(wèn)h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)+t在有理數(shù)域Q上是否可約，為什么？

(1)證:假設(shè)g(x)在有理數(shù)域上可約，由g(x)的首項(xiàng)系數(shù)是1，可知它必然是一個(gè)本原多項(xiàng)式。對(duì)于本原多項(xiàng)式，在有理數(shù)域上可約等價(jià)于在整數(shù)集合上可約，于是存在兩個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，k(x)，使得:g(x)=f(x)k(x)，注意到g(ai)=-1(i=1,2,…,n)。于是f(ai)k(ai)=-1(i=1,2,…,n)，注意到f(ai)，k(ai)是整數(shù)，顯然有f(ai)+k(ai)=0(i=1,2,…,n).由f(x)，k(x)的次數(shù)均小于g(x)的次數(shù)可知l(x)=f(x)+k(x)的次數(shù)小于n,又由l(x)有n個(gè)不同的根ai

(i=1,2,…,n)，知l(x)=0，于是f(x)=-k(x)，可得g(x)=-(k(x))2≤0，而由g(x)的首項(xiàng)是xn，知當(dāng)n足夠大時(shí)，總可以使得g(x)>0，這將導(dǎo)致矛盾。于是g(x)在有理數(shù)域上不可約。

(2)解:對(duì)于整數(shù)t≠-1，h(x)在有理數(shù)域上可能可約，也可能不可約。例如，t=0時(shí)，顯然有h(x)在有理數(shù)域上可約。將t=1，n=2，a1=1，a2=0代入，可得h(x)=x2-x+1，顯然它在有理數(shù)域上不可約?！踝ⅲ罕驹囗?xiàng)式的定義為：一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式：g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b0

，如果它的各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)只有±1，則g(x)是一個(gè)本原多項(xiàng)式。對(duì)于本原多項(xiàng)式或整系數(shù)多項(xiàng)式，有如下重要的性質(zhì)：若整系數(shù)多項(xiàng)式（或者本原多項(xiàng)式）在有理數(shù)域上可約，則它在整數(shù)集合上也可約，即可分解為次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式之積。

(2)在有理數(shù)域上求多項(xiàng)式g(x)=x4+2x3-11x2-12x+36的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例1.2.3（四川大學(xué)，2004年）(1)設(shè)多項(xiàng)式f(x)=(x-1)(x-2)…(x-2(n-1))+1，其中n為非負(fù)整數(shù)，證明：f(x)在有理數(shù)域上一定可約。

(1)證:若f(x)在有理數(shù)域上可約，那么由它是整系數(shù)多項(xiàng)式，則有它在整數(shù)集合上可分解。于是存在兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式h(x),k(x),使得f(x)=h(x)k(x).注意到f(i)=1，i=1,2,…2n-1，于是h(i)k(i)=1，i=1,2,…2n-1.令l(x)=h(x)-k(x).由h(x)與k(x)的次數(shù)小于2n-1知l(x)的次數(shù)也小于2n-1，但是l(x)有2n-1個(gè)不同的根為x=1,2,…,2n-1，那么有l(wèi)(x)=0，于是h(x)=k(x)，推得：f(x)=(k(x))2≥0.但是f(0)<0，矛盾，于是f(x)在有理數(shù)域上不可約。解(2):注意到g(2)=g(-3)=0，由綜合除法可得：g(x)=(x-2)2(x+3)2，此式為g(x)在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式?！踝ⅲ盒枰煊浺粋€(gè)關(guān)于多項(xiàng)式的定理是：K[x]中的n次多項(xiàng)式(n≥0)在K中至多有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。由此定理可以推得：若一個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式有n個(gè)不同的根，那么它必然是零多項(xiàng)式，即為0.另外，多項(xiàng)式的綜合除法在簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的一次因子的分解計(jì)算中起著重要的作用?？键c(diǎn)3：重因式、多項(xiàng)式函數(shù)與根例1.3.1（清華大學(xué)，2003年）任給互異復(fù)數(shù)a,b和a0,a1,a2,b0,b1,b2，是否存在多項(xiàng)式f(x)使得f(i)(a)=ai，f(i)(b)=bi(i=0,1,2)？證明之。(其中，

f(i)(a)表示f(x)的i次微商在a的取值。)解：不妨先考慮對(duì)于a=0，b=1的情形。取一個(gè)五次多項(xiàng)式g(y)=c5y5+c4y4+c3y3+c2y2+c1y+c0使它對(duì)y=0和y=1滿(mǎn)足題目的條件，即有：可得到關(guān)于系數(shù)c5,c4,c3,c2,c1,c0的六個(gè)線性方程組，其系數(shù)矩陣為對(duì)于任給的六個(gè)復(fù)數(shù)，對(duì)于任意六個(gè)數(shù)a0,a1,a2,b0,b1,b2，可以令：易算得行列式|A|=4≠0，即方程組存在唯一解，于是可以令，有注意到，顯然取：即知可以找到這樣g(y)的滿(mǎn)足條件，于是有為滿(mǎn)足條件的多項(xiàng)式?！趵?.3.2（上交大，2004年）求下面多項(xiàng)式的根：分析：表面上是考查多項(xiàng)式，實(shí)際上是對(duì)矩陣的行列式與特征值的考查，本題可以直接計(jì)算行列式的值，然后再看多項(xiàng)式的根，但是計(jì)算量偏大，可以直接利用矩陣的特征值理論節(jié)省計(jì)算量。解：不妨設(shè)a1=1，并設(shè)顯然將x=2代入矩陣A，即得到的矩陣為-B，有：顯然有r(B)=1，且|B|=0，令y=x-2，考查B的特征多項(xiàng)式f(y)=|yIn-B|，方程組BX=0的解空間的維數(shù)為n-r(B)=n-1，注意到B是對(duì)稱(chēng)陣，知其有n-1個(gè)特征值0（即f(y)的n-1個(gè)根），還有一個(gè)根可以用：得到為：即為f(y)的最后一個(gè)根，將a1=1代入，并注意x=y+2可知：f(x)的根為2（n-1重）和（1重）□?=+niia123注：注意一下結(jié)論：(1)K[x]中的多項(xiàng)式f(x)沒(méi)有重因式的充要條件是：f(x)和它的導(dǎo)數(shù)f′(x)互素，即(f(x),f′(x))=1.特別地，在復(fù)數(shù)域上，(f(x),f′(x))=1當(dāng)且僅當(dāng)f(x)沒(méi)有重根。(2)K[x]中的多項(xiàng)式f(x)，若令d(x)=(f(x),f′(x))，那么有：是一個(gè)沒(méi)有重因式的多項(xiàng)式，且這個(gè)多項(xiàng)式的每個(gè)不可約因子與f(x)的不可約因子相同。特別地，對(duì)于復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式f(x)，是一個(gè)沒(méi)有重根的多項(xiàng)式，且這個(gè)多項(xiàng)式是f(x)的所有不同的一次因子的乘積的倍數(shù)。分析：對(duì)多項(xiàng)式根與系數(shù)關(guān)系的考查。例1.3.3（中南大學(xué)，2003年）證明：若方程x3+px+q=0的兩個(gè)根與有關(guān)系式則-q=(p-q)2證明：設(shè)方程的一個(gè)根為，注意方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為零，于是由Vieta定理有：根據(jù)已知條件有：又根據(jù)Vieta定理有：兩式聯(lián)立，消去有：-q=(p-q)2□注：Vieta定理：K[x]中的多項(xiàng)式f(x)=xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn在數(shù)域K上有n個(gè)根x1,x2,…,xn，則：…………例1.3.4(重慶大學(xué),2005年)設(shè)f(x)=x3+6x2+3px+8，試確定p的值并使f(x)有重根并求其根解：注意f′(x)=3(x2+4x+p)，若要f(x)有重根，那么必須有(f(x),f′(x))≠1，由f(x)對(duì)f′(x)作除法運(yùn)算可知：3f(x)=f′(x)(x+2)+3(2p-8)(x-1).若2p-8=0，那么將p=4代入易得：f(x)=(x+2)3，其重根為-2（3重）若2p-8≠0，那么必須有:(x-1)|f′(x)，即有f′(1)=0，由此可得p=-5，于是有f(x)=(x-1)2(x+8)，其根為1（重2），-8（1重）。□考點(diǎn)4：Eisenstein判別法的應(yīng)用注：有時(shí)直接利用Eisenstein判別法無(wú)法判別f(x)是否在有理數(shù)域上不可約，這時(shí)需要利用以下結(jié)論：設(shè)f(x)=anxn+…+a1x+a0是次數(shù)n大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式，設(shè)b是任意給定的一個(gè)整數(shù)，令g(x)=f(x+b)=an(x+b)n+…+a1(x+b)+a0，則f(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是g(x)在有理數(shù)域上不可約。這意味著，如果我們能夠證明：g(x)=f(x+b)在有理數(shù)域上不可約，那么就有f(x)在有理數(shù)域上不可約。這個(gè)結(jié)論在解題過(guò)程中往往會(huì)用到。例1.4.1(上海