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人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第3節(jié)
等腰三角形第1課時等腰三角形第十三章軸對稱如圖,把一張長方形的紙按圖中虛線對折,并剪去陰影部分,再把它展開,得到的△ABC有什么特點?ABC導(dǎo)入新知剪刀剪過的兩條邊是相等的,即△ABC中AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.ABC1.了解等腰三角形的性質(zhì),體會等腰三角形“三線合一”的意義.2.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì),并用以解決實際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)剪出的等腰三角形是軸對稱圖形嗎?把剪出的等腰三角形ABC沿著折痕對折,找出其中重合的線段和角.重合的線段:AB與AC,BD與CD;重合的角:∠BAD與∠CAD,
∠B與∠C,
∠ADB與∠ADC.ACBD由得出的重合的線段和角,你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎?試試說出你的猜想.合作探究ACBD重合的線段:AB與AC,BD與CD;重合的角:∠BAD與∠CAD,
∠B與∠C,∠ADB與∠ADC.等腰三角形的兩個底角相等.折痕AD既是∠BAC的平分線,又是底邊BC的中線,也是底邊BC的高.在一張白紙上任意畫一個等腰三角形,把它剪下來,請試試折疊,此時猜想仍然成立嗎?等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).幾何語言:如圖,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.ABC新知等腰三角形的性質(zhì)應(yīng)用“等邊對等角”的前提條件是在同一個三角形中.證明:作底邊BC的中線AD.在△ABD和△ACD中,AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,∴△ABD
≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.ABCD已知:△ABC
中,AB=AC.求證:∠B=∠C.等腰三角形的性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).幾何語言:如圖,在△ABC中,①∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD.②∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC
,BD=CD.③∵AB=AC,BD=CD,
∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.BCDA如圖,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,求證:AD⊥BC,BD=CD.BCDA證明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
AB=AC,在△ABD和△ACD中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD,∠ADB=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°,∴AD⊥BC.
如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是底邊BC的中線,求證:AD⊥BC,AD平分∠BAC.BCDA證明:∵AD是底邊BC的中線,∴BD=CD.AB=AC,
在△ABD和△ACD中,BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD.∵∠ADB+∠ADC=180°,∴AD⊥BC.
如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是底邊BC的高,求證:AD平分∠BAC,BD=CD.BCDA證明:∵AD是底邊BC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
.(1)“三線合一”的性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛,可以用來證明角相等、線段相等或線段垂直.(2)等腰三角形是軸對稱圖形,對稱軸為頂角平分線(或底邊上的高或底邊上的中線)所在的直線.1.(2020·福建中考)如圖,AD是等腰三角形ABC的頂角平分線,BD=5,則CD等于()A.10 B.5 C.4 D.3BCDAB由“三線合一”,可知CD=BD鞏固新知2.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,D為BC的中點,∠BAD=35°,則∠C的度數(shù)為()A.35°B.45°C.55°D.60°解:∵AB=AC,D為BC的中點,
∴∠B=∠C,AD⊥BC.
∵∠B=90°-∠BAD=55°,
∴∠C=55°.C1.【2020·臨沂】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,則∠BCD=(
)A.40°B.50°C.60°D.70°D課堂練習(xí)2.【2020·自貢】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,連接CD,則∠ACD的度數(shù)是(
)A.50°B.40°C.30°D.20°D3.【2020·黃岡】已知:如圖,在△ABC中,點D在邊BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,則∠BAD=________度.404.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,BD=BE,∠A=100°,則∠DEC=(
)A.90°B.100°C.105°D.110°B5.【2020·青?!康妊切蔚囊粋€內(nèi)角為70°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是(
)A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°D6.【2020·紹興】問題:如圖,在△ABD中,BA=BD.在BD的延長線上取點E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度數(shù).答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“問題”中的條件“∠B=45°”去掉,其余條件不變,那么∠DAC的度數(shù)會改變嗎?說明理由.(2)如果把以上“問題”中的條件“∠B=45°”去掉,再將“∠BAE=90°”改為“∠BAE=n°”,其余條件不變,求∠DAC的度數(shù).7.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形,那么稱這條線段為這個三角形的特異線,稱這個三角形為特異三角形.(1)如圖,在△ABC中,線段AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E.若AB=EC,求證:AE是△ABC的一條特異線.證明:∵DE是線段AC的垂直平分線,∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形.∵AB=EC,∴AB=AE,即△EAB是等腰三角形.∴AE是△ABC的一條特異線.(2)若△ABC是特異三角形,∠A=30°,∠B
為鈍角,畫出其中一種情況的圖形,
并求出∠B的度數(shù).解:任選其中一種情況即可.如圖①,當(dāng)BD是特異線時,若AB=BD=DC,若AD=DB,DC=CB(或DC=BD,BD=CB),則∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合題意,舍去).
如圖②,當(dāng)AD是特異線時,AB=BD,AD=DC,設(shè)∠CAD=x°,∴∠C=x°,∠DAB=∠ADB=2x°.∴x°+2x°=30°,解得x=10.∴∠DAB=20°.則∠ABC=180°-20°-20°=140°.綜上所述,符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°.等腰三角形定義性質(zhì)有兩邊相等的三角形等邊對等角三線合一歸納新知D課后練習(xí)2.【2020·福建】如圖,AD是等腰三角形ABC的頂角平分線,BD=5,則CD等于(
)
A.10
B.5C.4D.3B3.【教材P75探究變式】如圖,將一張長方形紙按圖中虛線AD對折,再沿直線l剪開,再把它展開后得到△ABC,則下列結(jié)論錯誤的是(
)A.AD⊥BCB.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=CBD4.【2020·呼倫貝爾】如圖,AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D,若∠C=65°,則∠DBC的度數(shù)是(
)A.25°B.20°C.30°D.15°D
5.如圖,在△ABE中,BA=BE,F(xiàn)為AE的中點.若∠ABC=34°,∠C=50°,則∠ADB的度數(shù)為(
)A.60°B.63°C.67°D.70°C6.【2020·衡陽】如圖,在△ABC中,∠B=∠C,過BC的中點D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為點E,F(xiàn).(1)求證DE=DF;(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度數(shù).解:連接AD.由(1)可知AD平分∠BAC.由“AAS”可證△ABD≌△ACD,∴AB=AC.∴AD⊥BC.∴∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°.∴∠BAD=∠BDE=40°.∴∠BAC=2∠BAD=80°.7.【2020·重慶】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度數(shù);解:∵AB=AC,AD⊥BC于點D,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.(2)若點E在邊
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