第二章 對(duì)稱圖形 -圓 輔助圓：定點(diǎn)定長(zhǎng)、定弦定角問(wèn)題 專題講義 九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

專題一輔助圓：定點(diǎn)定長(zhǎng)知識(shí)梳理最值問(wèn)題的必要條件是至少有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)問(wèn)題，所以才會(huì)有最值。動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是可以變的，比如點(diǎn)P的軌跡也可以是一個(gè)圓，在這類題目中，題目很少直接告訴我們動(dòng)點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，也很少把這個(gè)圓畫(huà)出來(lái)，因此，結(jié)合題目給的條件，分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問(wèn)題。若已經(jīng)確定了動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓，接下來(lái)求最值的問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了，比如：如下圖，A為圓外一點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)P使得PA最小。典型例題例1如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC＝5，點(diǎn)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l上有兩點(diǎn)A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AB的最小值為_(kāi)_______。例2如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長(zhǎng)度的最小值是__________。例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是__________。例4如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF＋PD的最小值是_________。例5如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'。當(dāng)PB＝6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求△ACB'面積的最大值。例6如圖①，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。（1）求線段BG的長(zhǎng)；（2）求證：DG平分∠EDF；（3）連接CG，如圖②，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG。 圖① 圖②例7如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BC=4，AB>2，若專題二定弦定角知識(shí)梳理【模型分析】若線段AB的長(zhǎng)度及其所對(duì)的∠ACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦的圓。（1）當(dāng)∠C<90°時(shí)，點(diǎn)C在如圖所示的優(yōu)弧結(jié)論：∠AOB=2∠C。（2）當(dāng)∠C=90°時(shí)，點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合）結(jié)論：弦AB為⊙O的直徑。（3）當(dāng)∠C<90°時(shí)，點(diǎn)C在如圖所示的劣弧典型例題例1如圖，邊長(zhǎng)為23的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為劣弧BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B沿劣弧BC例2已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE＝CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則PD的最小值為_(kāi)________。例3如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________。例4如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值是_________。例5如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB＝5，AC＝4．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為_(kāi)______________。例6如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為_(kāi)________。例7如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______________。課堂練習(xí)1、如圖①，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，AB=5（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）如圖②，連接BD，設(shè)DE、AB、BD的中點(diǎn)分別為M、N、P，連接MN、NP、PM，求∠MNP的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)AD、BE所在直線相交于Q，求△ABQ的最小值。2、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊長(zhǎng)的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED問(wèn)題探究：（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，分別以A（-2,3）、B（3,4）為圓心，以1、3為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試求PM+PN的最小值。問(wèn)題解決：（3）如圖③，該圖是某機(jī)器零件鋼構(gòu)件的模板，其外形是一個(gè)五邊形，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，邊框AB長(zhǎng)為2米，邊框BC長(zhǎng)為3米，∠DAB=∠B=∠C=90°，聯(lián)動(dòng)桿DE長(zhǎng)為2米，聯(lián)動(dòng)桿DE的兩端D、E允許在AD、3、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是________。4、如圖，AB是圓O的直徑，M、N是弧AB（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的角平分線交圓O于點(diǎn)D，∠BAC的