廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)壓軸題訓(xùn)練

廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)壓軸題訓(xùn)練一．選擇題（共8小題）1．如圖，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝32．如圖，在⊙O中，弦AD等于半徑，B為優(yōu)弧AD上的一動(dòng)點(diǎn)，等腰△ABC的底邊BC所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．若⊙O的半徑等于1，則OC的長(zhǎng)不可能為（）A．2﹣ B． C．2 D．+13．如圖，直徑AB，CD的夾角為60°，P為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C，D重合）．PM，PN分別垂直于CD，AB，垂足分別為M，N．若⊙O的半徑長(zhǎng)為2，則MN的長(zhǎng)（）A．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，最大值為 B．等于 C．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，最小值為 D．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，沒(méi)有最值4．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、M，以PB為直角邊作等腰Rt△BPQ，點(diǎn)P在弧MN上由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．已知⊙O，AB是直徑，AB＝4，弦CD⊥AB且過(guò)OB的中點(diǎn)，P是劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，DF垂直AP于F，則P從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度（）A．π B． C．π D．27．如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A．2π B．π C．3 D．48．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，線段AQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（）A．2 B．1 C．4 D．二．填空題（共13小題）9．如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持OP＝2不變，連接BP，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PC，連接BC、AC，則線段AC長(zhǎng)的最大值是．10．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為2，以AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別交⊙M于點(diǎn)D、E，則線段CD的最大值為．11．如圖，已知AB＝10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是．12．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是．13．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為．14．已知線段AB＝8，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝2，BD＝4，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M為線段EF的中點(diǎn)，若∠AEP＝∠BFP，則當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為．15．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為16．已知線段AB＝10，C．D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為．17．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為．18．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝3，弧AC的度數(shù)是60°，P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AP到點(diǎn)Q，使AP?AQ＝AB2．若點(diǎn)P由B運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．19．如圖，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．20．如圖，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝AD，點(diǎn)M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，當(dāng)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．21．如圖，P為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DP繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE（E為D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），M為線段PE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為三．解答題（共4小題）22．在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過(guò)點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直線AQ交y軸于點(diǎn)C（1）當(dāng)a＝1時(shí)，①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和直線AQ的解析式；②點(diǎn)m在直線AQ上，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸下方一點(diǎn)，當(dāng)以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，直接寫(xiě)出答案．（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)．①求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的解析式；②當(dāng)AQ+BQ的值最小時(shí)求a的值，直接寫(xiě)出答案．23．如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x軸，OA＝2OB，AB＝5，反比例函數(shù)y＝（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）k＝；（2）如圖②，點(diǎn)P（x，y）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，連接PQ，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，n），求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，1），求△POQ的面積．24．如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，它的對(duì)稱軸是直線x＝2，動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接OP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B，連接OA，AB．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，⊙M為△AOB的外接圓，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請(qǐng)你探究：在1≤t≤5時(shí)，求點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度．25．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB'時(shí)，設(shè)A'B'與CB相交于點(diǎn)D，求證：△A'CD是等邊三角形．（2）若E為AC的中點(diǎn)，P為A'B'的中點(diǎn)，則EP的最大值是多少，這時(shí)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度．

2021年廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)壓軸題訓(xùn)練參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝3【解答】解：如圖，連OI，PI，DI，∵△OPH的內(nèi)心為I，∴∠IOP＝∠IOD，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，在△OPI和△ODI中，，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO＝∠PIO＝135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，∵∠DIO＝135°，∴∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，∴∠DO′O＝90°，而OD＝6，∴OO′＝DO′＝3，∴r的值為3．故選：D．2．如圖，在⊙O中，弦AD等于半徑，B為優(yōu)弧AD上的一動(dòng)點(diǎn)，等腰△ABC的底邊BC所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．若⊙O的半徑等于1，則OC的長(zhǎng)不可能為（）A．2﹣ B． C．2 D．+1【解答】解：如圖1，連接OA、OD，則△OAD為等邊三角形，邊長(zhǎng)為1．作點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接O′A、O′D，則△O′AD也是等邊三角形，邊長(zhǎng)為半徑1，∴OO′＝×2＝．由題意可知，∠ACB＝∠ABC＝∠AOD＝30°，∴∠ACB＝∠AO′D，∴點(diǎn)C在半徑為1的⊙O′上運(yùn)動(dòng)．由圖可知，OC長(zhǎng)度的取值范圍是：＜OC≤+1．故選：A．3．如圖，直徑AB，CD的夾角為60°，P為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C，D重合）．PM，PN分別垂直于CD，AB，垂足分別為M，N．若⊙O的半徑長(zhǎng)為2，則MN的長(zhǎng)（）A．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，最大值為 B．等于 C．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，最小值為 D．隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，沒(méi)有最值【解答】解：如圖，當(dāng)PM⊥CD于圓心O時(shí)，延長(zhǎng)PM交圓與點(diǎn)E，PN⊥AB，延長(zhǎng)PN交圓于點(diǎn)F，連接EF，根據(jù)垂徑定理，MN＝EF，∵∠AOC＝120°，PM⊥CD，∴∠PMN＝30°，∠P＝60°，在Rt△PEF中，PE＝4，則EF＝2，∴MN＝，點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，由題意，∠P＝60°，根據(jù)在同圓中，圓周角相等，所對(duì)的弧相等，弦也相等，即弦長(zhǎng)為2，∴MN＝，故選：B．4．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【解答】解：連接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O為AB的中點(diǎn)，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度數(shù)為60°，∵直徑AC＝2，∴的長(zhǎng)為＝π，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)π．故選：B．5．如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、M，以PB為直角邊作等腰Rt△BPQ，點(diǎn)P在弧MN上由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接OP，AQ，設(shè)⊙O與AB相切于C，連接OC，則OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均為等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵點(diǎn)P在弧MN上由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為以A為圓心，AQ長(zhǎng)為半徑，圓心角為90°的扇形的圓弧，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為＝，故選：D．6．已知⊙O，AB是直徑，AB＝4，弦CD⊥AB且過(guò)OB的中點(diǎn)，P是劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，DF垂直AP于F，則P從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度（）A．π B． C．π D．2【解答】解：作DQ⊥AC于Q，如圖，當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與Q重合；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與E點(diǎn)重合，∵∠AFD＝90°，∴點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為，∵弦CD⊥AB且過(guò)OB的中點(diǎn)，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝CD＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴MQ和ME為中位線，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度＝＝π．故選：A．7．如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A．2π B．π C．3 D．4【解答】解：如圖，連接AC．∵AOCB是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵EF是直徑，∴∠EAF＝90°，∴∠APF＝∠AFP＝45°，∴∠EPF＝135°，∴點(diǎn)P在與K為圓心的圓上，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，在⊙K上取一點(diǎn)M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M＝180°﹣∠EPF＝45°，∴∠EKF＝2∠M＝90°，∵EF＝4，∴KE＝KF＝2，∴P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)＝＝π，故選：B．8．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，線段AQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（）A．2 B．1 C．4 D．【解答】解：如圖，連接AC，設(shè)AC的中點(diǎn)為O′．設(shè)BP的長(zhǎng)為xcm，CQ的長(zhǎng)為ycm．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值1cm．易知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是O→M→O，CQ最大時(shí)，MO＝CQ＝，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑的長(zhǎng)為2OM＝1，故選：B．二．填空題（共13小題）9．如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持OP＝2不變，連接BP，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PC，連接BC、AC，則線段AC長(zhǎng)的最大值是6．【解答】解：以BO為直角邊在BO上方作等腰直角三角形BOF，如圖，連接CF、AF．則＝，且∠OBP＝∠FBC，∴△OBP∽△FBC．∴＝，∵P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OP＝2為半徑的圓，∴C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以F為圓心，CF＝2為半徑的圓．∵AC≤AF+FC，AF＝4，F(xiàn)C＝2∴AC最大值為4+2＝6故答案為6．10．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為2，以AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別交⊙M于點(diǎn)D、E，則線段CD的最大值為2．【解答】解：如圖，連接OA、OB、AD．∵OA＝OB＝2，AM＝BM＝．，∴OM⊥AB，∠AOM＝∠BOM，∴sin∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，∴∠AOB＝2∠AOM＝120°，∴∠C＝∠AOC＝60°，∵AB是⊙M的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，∵∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝BC，∴欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦AC的最大值，∵⊙O的直徑為4，∴弦AC的最大值為4，∴CD的最大值為2．故答案為2．11．如圖，已知AB＝10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是5．【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)H，過(guò)G作MN∥AB，分別交AH于M，BH于N，∵△APC和△BPD是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴△AHB是等邊三角形，∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，∵∠B＝∠CPA＝60°，∴BH∥PC，∴四邊形CPDH為平行四邊形，∴CD與HP互相平分．∵G為CD的中點(diǎn)，∴G正好為PH中點(diǎn)，∵△ABH是等邊三角形，∴在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡為△HAB的中位線MN．∴MN＝AB＝5，即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為5．故答案為：5．12．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是．【解答】解：連接OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面積，則點(diǎn)C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點(diǎn)C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．13．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為1．【解答】解：連接OC，OM、CM，如圖，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡為△ABC的中位線，∴點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)＝AB＝1．故答案為1．14．已知線段AB＝8，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝2，BD＝4，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M為線段EF的中點(diǎn)，若∠AEP＝∠BFP，則當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4﹣3．【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分．∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴M為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M始終為PH的中點(diǎn)，所以M的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為4﹣3．故答案是：4﹣3．15．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四邊形PEMF為平行四邊形，∴EF與MP互相平分．∵G為EF的中點(diǎn)，∴G正好為PM的中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PM的中點(diǎn)，∴G的運(yùn)行軌跡為△MCD的中位線HI，∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4．故答案為：416．已知線段AB＝10，C．D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為3．【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四邊形PEMF為平行四邊形，∴EF與MP互相平分．∵G為EF的中點(diǎn)，∴G正好為PM的中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PM的中點(diǎn)，∴G的運(yùn)行軌跡為△MCD的中位線HI，∵HI＝CD＝×（10﹣2﹣2）＝3，∴G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為3．故答案為：3．17．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為9．【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM（AAS）．∴MG＝MH．∴點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段．當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，BF1＝AE＝2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠EBF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴，即：，∴F1F2＝18，∵M(jìn)1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2＝F1F2＝9．故答案為：9．18．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝3，弧AC的度數(shù)是60°，P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AP到點(diǎn)Q，使AP?AQ＝AB2．若點(diǎn)P由B運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3．【解答】解：連接BQ，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∵AP?AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ為⊙O的切線，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為切線長(zhǎng)，∵弧AC的度數(shù)是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即點(diǎn)P由B運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3．故答案為3．19．如圖，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P為主動(dòng)點(diǎn)，M為從動(dòng)點(diǎn)，C為定點(diǎn)，由“瓜豆原理”得P運(yùn)動(dòng)路徑（AB）與M運(yùn)動(dòng)路徑之比等于，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為÷＝6，故答案為：6．20．如圖，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝AD，點(diǎn)M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，當(dāng)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3﹣．【解答】解：如圖1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，連接BM．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵M(jìn)P＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴點(diǎn)M的在射線BM上運(yùn)動(dòng)．如圖2中，由題意，當(dāng)PQ∥AC時(shí)，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，當(dāng)P1Q1落在BC上時(shí)，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，設(shè)BM交AC于G，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是G→M→M1∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案為3﹣．21．如圖，P為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DP繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE（E為D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），M為線段PE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為【解答】解：如圖，當(dāng)P與B重合時(shí)，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，AE＝AD＝2，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，點(diǎn)E與B重合，BE的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段M1M2，易知M1M2＝EC＝?＝．理由：如下圖，作EH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，作M2K⊥CH于K．易證△EPH≌△DPC，∴EH＝PC，PH＝CD＝BC，∵EM2＝M2P，M2K∥EH，∴KH＝PK＝CM1，∴KM1＝PC，∴M2K＝EH＝PC＝KM1，∵tan∠M2M1K＝，tan∠DE′C＝tan∠E′CH＝，∴tan∠M2M1K＝tan∠E′CH，∴∠M2M1H＝∠E′CH，∴M1M2∥CE′，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段M1M2．故答案為．三．解答題（共4小題）22．在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過(guò)點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直線AQ交y軸于點(diǎn)C（1）當(dāng)a＝1時(shí)，①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和直線AQ的解析式；②點(diǎn)m在直線AQ上，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸下方一點(diǎn)，當(dāng)以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，直接寫(xiě)出答案．（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)．①求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的解析式；②當(dāng)AQ+BQ的值最小時(shí)求a的值，直接寫(xiě)出答案．【解答】解：（1）①過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，，∴△PEA≌△PFQ（AAS），∴PE＝PF，EA＝QF，∵a＝1，∴P（1，3）．∴OE＝BP＝1，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝1．∴PF＝3，QF＝1．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）．設(shè)AQ的解析式為：y＝kx+b，則，解得：．則AQ的解析式為；y＝2x﹣4；②（﹣1，﹣2），（，﹣），（，）．（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3），則PF＝PE＝3，QF＝AE＝|2﹣a|．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+3，5﹣a）．∵無(wú)論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+3，5﹣a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x+8，∴點(diǎn)Q始終在直線y＝﹣x+8上運(yùn)動(dòng)．設(shè)直線y＝﹣x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，如圖2所示．當(dāng)x＝0時(shí)y＝8，當(dāng)y＝0時(shí)x＝8．∴OM＝ON＝8．∵∠AOB＝90°，∴∠OMN＝45°．過(guò)點(diǎn)A關(guān)于直線MN作對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′Q、A′M，則A′Q＝AQ，A′M＝AM＝6，∠A′MN＝∠AMN＝45°．∴∠A′MA＝90°，AQ+BQ＝A′Q+BQ．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+BQ＝A′Q+BQ最短，最小值為A′B長(zhǎng)．設(shè)直線BP與A′M相交于點(diǎn)H，則BH⊥A′M．在Rt△A′HB＝90°，BH＝OM＝8，A′H＝A′M﹣MH＝6﹣3＝3，∴A′B＝＝＝，當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可得：＝＝，解得xQ＝，∴a+3＝，∴a＝，∴當(dāng)a＝時(shí)，AQ+BQ的值最小為．故答案為：（4，4）、（，）．23．如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x軸，OA＝2OB，AB＝5，反比例函數(shù)y＝（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）k＝8；（2）如圖②，點(diǎn)P（x，y）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，連接PQ，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，n），求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，1），求△POQ的面積．【解答】解：（1）設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)C，如圖所示，在Rt△AOB中，OA＝2OB＝2x，OB＝x，AB＝5，根據(jù)勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x＝，∴OA＝2，OB＝，∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OC，∴OC＝＝＝2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝4，∴A（4，2），把A坐標(biāo)代入反比例解析式得：k＝8；故答案為：8；（2）分別過(guò)P，Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，∵∠QOM+∠OQM＝90°，∠QOM+∠PON＝90°，∴∠OQM＝∠PON，∵∠QMO＝∠PNO＝90°，∴△OQM∽△PON，∴＝＝＝，∵Q（m，n），∴OM＝﹣m，QM＝n，∴PN＝﹣2m，ON＝2n，即P（2n，﹣2m），把P坐標(biāo)代入反比例解析式得：﹣4mn＝8，即﹣mn＝2，則n與m的函數(shù)解析式為n＝﹣（﹣2＜m＜﹣）；（3）根據(jù)題意及（2）得：n＝1，m＝﹣2，即Q（﹣2，1），P（2，4），∴QM＝1，PN＝4，OM＝2，ON＝2，即MN﹣2+2＝4，∴S△POQ＝S梯形PQMN﹣S△QOM﹣S△PON＝×4×（1+4）﹣×1×2﹣×2×4＝10﹣1﹣4＝5．24．如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，它的對(duì)稱軸是直線x＝2，動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接OP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B，連接OA，AB．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，⊙M為△AOB的外接圓，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請(qǐng)你探究：在1≤t≤5時(shí)，求點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度．【