中考數(shù)學第三輪沖刺壓軸題專題復習 三角形綜合強化訓練

中考數(shù)學第三輪沖刺壓軸題專題復習：三角形綜合強化訓練1、如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）求證：△ABC≌△EAF；（2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結論．2、如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．3、已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點．（1）如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；（2）如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M．①當點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；②設D為邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長．4、如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求證：AD=BE；②求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN．5、從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．6、已知O為直線MN上一點，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點，DE⊥DC交MN于E．（1）如圖1，若點B在OP上，則①ACOE（填“＜”，“=”或“＞”）；②線段CA、CO、CD滿足的等量關系式是；（2）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（0°＜α＜45°），如圖2，那么（1）中的結論②是否成立？請說明理由；（3）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（45°＜α＜90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關系式．7、如圖1，在平面直角坐標系，O為坐標原點，點A（﹣1，0），點B（0，）．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關系？為什么？（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖2所示的位置，S1與S2的關系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．8、邊長為6的等邊△ABC中，點D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2（1）如圖1，將△DEC沿射線方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點為M，邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點N，當CC′多大時，四邊形MCND′為菱形？并說明理由．（2）如圖2，將△DEC繞點C旋轉∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD′、BE′．邊D′E′的中點為P．①在旋轉過程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；②連接AP，當AP最大時，求AD′的值．（結果保留根號）9、如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．（1）求證：△PCE≌△EDQ；（2）延長PC，QD交于點R．①如圖1，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．10、如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm，點D從O點出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運動，當D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連結DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）如圖2，當6＜t＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當點D在射線OM上運動時，是否存在以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．11、閱讀理解：我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡．問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM中點．理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，由平行線分線段成比例得：動點P為線段AM中點．由此你得到動點P的運動軌跡是：．知識應用：如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點，連結EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點Q的運動軌跡的長．拓展提高：如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），在線段AB的同側分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結AD、BC，交點為Q．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）若AB=6，求動點Q運動軌跡的長．12、問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；遷移應用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．①求證：△ADB≌△AEC；②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式；拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．①證明△CEF是等邊三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的長．13、尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c．求證：．該同學仔細分析后，得到如下解題思路：先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證．（1）請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程．（2）利用題中的結論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求的值．14、問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．（1）初步嘗試：如圖①，當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，則S1?S2=；（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉至如圖②所示位置，求S1?S2的值；（3）延伸拓展：當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如圖③，當點D在線段AB上運動時，設AD=a，BD=b，求S1?S2的表達式（結果用a，b和α的三角函數(shù)表示）．（Ⅱ）如圖④，當點D在BA的延長線上運動時，設AD=a，BD=b，直接寫出S1?S2的表達式，不必寫出解答過程．15、【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于30°），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板斜邊上取一點F，使CF=CD，線段AB上取點E，使∠DCE=30°，連接AF，EF．①求∠EAF的度數(shù)；②DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，先將三角板的90°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于45°），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板另一直角邊上取一點F，使CF=CD，線段AB上取點E，使∠DCE=45°，連接AF，EF，請直接寫出探究結果：①求∠EAF的度數(shù)；②線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關系．16、問題探究：1．新知學習若把將一個平面圖形分為面積相等的兩個部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．2．解決問題已知等邊三角形ABC的邊長為2．（1）如圖一，若AD⊥BC，垂