《二項(xiàng)分布及其應(yīng)用》同步練習(xí)

《二項(xiàng)分布及其應(yīng)用》同步練習(xí)1.已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()\f(3,10)\f(2,9)\f(7,8)\f(7,9)解析：設(shè)事件A為“第1次抽到是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到是卡口燈泡”，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(21,90)＝eq\f(7,30).在已知第1次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：D2．設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為eq\f(3,10)，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則事件A發(fā)生的概率為________________．解析：由題意知，P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(P(AB),P(B|A))＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)3．有一批種子的發(fā)芽率為，出芽后的幼苗成活率為，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________．解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為：P(B|A)＝，P(A)＝.根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，即這粒種子能成長為幼苗的概率為.答案：題組二相互獨(dú)立事件4.國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()\f(59,60)\f(3,5)\f(1,2)\f(1,60)解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案：B5．如圖所示的電路，有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為()\f(1,8)\f(1,4)\f(1,2)\f(1,16)解析：理解事件之間的關(guān)系，設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則燈亮應(yīng)為事件ACeq\o(B,\s\up6(－))，且A，C，eq\x\to(B)之間彼此獨(dú)立，且P(A)＝P(eq\x\to(B))＝P(C)＝eq\f(1,2)，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)·P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(1,8).答案：A6．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格．(1)分別求甲、乙兩人考試合格的概率；(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．解：(1)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)＝＝eq\f(2,3).P(B)＝＝eq\f(14,15).(2)因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－eq\f(2,3))(1－eq\f(14,15))＝eq\f(1,45)，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).題組三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)7.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點(diǎn)每次移動一個(gè)單位，移動的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移動的概率都是eq\f(1,2)，質(zhì)點(diǎn)P移動五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()A．(eq\f(1,2))3B．(eq\f(1,2))5C．(eq\f(1,2))3D．(eq\f(1,2))5解析：質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)移動到(2,3)，需要移動5次，且必須有2次向右，3次向上，所以質(zhì)點(diǎn)的移動方法有種，而每一次移動的概率都是eq\f(1,2)，所以所求的概率等于(eq\f(1,2))5.答案：B8．2009年12月底，一考生參加某大學(xué)的自主招生考試，需進(jìn)行書面測試，測試題中有4道題，每一道題能否正確做出是相互獨(dú)立的，并且每一道題被該考生正確做出的概率都是eq\f(3,4).(1)求該考生首次做錯(cuò)一道題時(shí)，已正確做出了兩道題的概率；(2)若該考生至少正確作出3道題，才能通過書面測試這一關(guān)，求這名考生通過書面測試的概率．解：(1)記“該考生正確做出第i道題”為事件Ai(i＝1,2,3,4)，則P(Ai)＝eq\f(3,4)，由于每一道題能否被正確做出是相互獨(dú)立的，所以這名考生首次做錯(cuò)一道題時(shí)，已正確做出了兩道題的概率為P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)·P(A2)·P(eq\x\to(A3))＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,64).(2)記“這名考生通過書面測試”為事件B，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故P(B)＝×(eq\f(3,4))3×eq\f(1,4)＋×(eq\f(3,4))4＝eq\f(189,256).題組四二項(xiàng)分布問題9.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為eq\f(65,81)，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為________．解析：A至少發(fā)生一次的概率為eq\f(65,81)，則A的對立事件eq\x\to(A)：事件A都不發(fā)生的概率為1－eq\f(65,81)＝eq\f(16,81)＝(eq\f(2,3))4，所以，A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)10．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊．問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？解：(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1.由題意，射擊4次，相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(2,3))4＝eq\f(65,81)，所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為eq\f(65,81).(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(8,27)，P(B2)＝×(eq\f(3,4))3×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(27,64).由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,8).(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i＝1,2,3,4,5)，則A3＝D5D4·eq\x\to(D3)·(eq\x