不定積分知識點復(fù)習(xí)

不定積分知識點復(fù)習(xí)知識總述原函數(shù)與不定積分概念不定積分性質(zhì)不定積分基本解法習(xí)題小結(jié)

一,知識總述前面我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微分學(xué).但在實際的科學(xué)領(lǐng)域中,我們常常遇到與此相反的問題:即尋求一個(可導(dǎo))函數(shù),要求其導(dǎo)數(shù)等于一個已知函數(shù).這樣就產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué).積分學(xué)分為不定積分和定積分兩部分.本章我們學(xué)習(xí)的是不定積分,先從導(dǎo)數(shù)的逆運算引出不定積分的概念.然后介紹了其性質(zhì),最后系統(tǒng)地介紹一些常用的積分方法.

返回不定積分的基本概念和性質(zhì)---理解

基本積分公式---熟記

分部積分法和換元積分法---熟練運用換元積分法---如何做變量代換

分部積分法---如何選取分部積分公式中的“u”和“v”難點：重點：分部積分公式:

返回基本要求①正確理解原函數(shù)和不定積分概念②熟記基本積分公式③熟練地運用換元積分法和分部積分法④能用待定系數(shù)法求基本的有理函數(shù)積分

返回例定義：

二,原函數(shù)與不定積分概念

返回若存在可導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)的研究須討論解決下面兩個問題(1)是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子則由的定義關(guān)于原函數(shù)的說明：

返回（左、右極限存在且相等）而已知這樣得到矛盾.這說明沒有原函數(shù).既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù),那么具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)?連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù).對此我們有如下的結(jié)論:

返回（2）原函數(shù)是否唯一?若不唯一,它們之間有什么聯(lián)系?

①若，則對于任意常數(shù)，②若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）

返回任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達式積分變量為求不定積分,只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù),再加上積分常數(shù)即可.

返回例1求解:解:例2求

返回例3設(shè)曲線通過點(1，2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.解:設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為

返回由不定積分的定義，可知微分運算與求不定積分(不考慮后面的常數(shù)C)是逆運算。結(jié)論：

返回此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況

三,不定積分的性質(zhì)

返回即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合.注意到上式中有n個積分號,形式上含有n個任意常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù),故實際上只含有一個任意常數(shù).結(jié)合結(jié)論(1)與(2),我們可以得到

返回實例提問:能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？

既然積分運算和微分運算是互逆的,因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.

四,不定積分的基本解法

返回基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為

返回

返回以上13個公式是求不定積分的基礎(chǔ),稱為基本積分表,必須熟練掌握.

返回例4求積分解:根據(jù)積分公式（2）

返回例5求積分解:注1,從該題中我們可以看出熟記基本積分表的重要性.2,檢驗積分結(jié)果是否正確,只要把最后的結(jié)果求導(dǎo),看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù).

返回(第一類換元法)例6求積分解:原式

令u=2x+1,上式

返回令(第二類換元法)例7求積分那么解:原式

返回考慮公式(分部積分法)例8求積分那么解:原式

將看做公式中的看做公式中的

返回例9求積分解:原式(有理函數(shù)積分法)

返回解:所求曲線方程為

返回說明①求不定積分時一定要加上積分常數(shù),它表明一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個,即要求的是全體原函數(shù),若不加積分常數(shù)則表示只求出了其中一個原函數(shù).②寫成分項積分后,積分常數(shù)可以只寫一個.③積分的結(jié)果在形式上可能有所不同,但實質(zhì)上只相差一個常數(shù).

返回求下列不定積分.

五,習(xí)題

返回

不定積分作為高等數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容,前后連接著導(dǎo)數(shù)(或微分)與定積分的內(nèi)容.它既是求導(dǎo)思想的逆向運用,也是定積分的基礎(chǔ).同時它本身在數(shù)學(xué),物理等領(lǐng)域的實際模型構(gòu)造中有著重要作用.